111 年 國立中正大學光機電整合工程研究所《電磁學》

核心觀念

本題考查光子的能量與光功率之間的關係。

單一光子的能量為

$$E_{\text{photon}}=hf=\frac{hc}{\lambda},$$

其中：

• $h=6.626\times10^{-34}\ \text{J·s}$：普朗克常數
• $c=3.00\times10^8\ \text{m/s}$：光速
• $\lambda$：光波長

燈泡每秒發出的光能量等於其光功率。若每秒發射 $N$ 個光子，則

$$P_{\text{light}}=N E_{\text{photon}},$$

因此光子發射率為

$$N=\frac{P_{\text{light}}}{E_{\text{photon}}}.$$

解題方法

燈泡總功率為 $100\ \text{W}$，其中 $2.5\%$ 的電能轉換為黃色光，因此實際光功率為

$$P_{\text{light}}=100\times 0.025=2.5\ \text{W}.$$

黃色光的平均波長為

$$\lambda=550\ \text{nm} =550\times10^{-9}\ \text{m}.$$

單一光子的能量為

$$E_{\text{photon}} =\frac{hc}{\lambda} =\frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {550\times10^{-9}}.$$

計算得

$$E_{\text{photon}} \approx 3.61\times10^{-19}\ \text{J}.$$

所以每秒發出的光子數為

核心觀念

本題考查光線通過兩種介質交界面時的折射方向，使用史涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

其中，$\theta_1$、$\theta_2$ 分別是入射角與折射角，兩者都以介面法線為基準。本題 $n_1=1.6>n_2=1.5$，光由折射率較大的介質進入折射率較小的介質；若為斜射，折射光會偏離法線，亦即 $\theta_2>\theta_1$。

解題方法

圖中介面上方標示 $n_1=1.6$、下方標示 $n_2=1.5$；路徑 a 垂直入射，b 折射後偏離法線，c 斜射後沿原直線前進，d 折射後靠近法線。逐一依折射定律判斷：垂直入射時兩角皆為 $0^\circ$，方向不變；斜射由高折射率進入低折射率時，折射角須大於入射角。

選項分析

核心觀念

本題考查電磁波在平面介電質介面（Dielectric Interface）斜入射時的全內反射（Total Internal Reflection, TIR）物理機制、臨界角（Critical Angle）推導與發生條件。
核心理論依據為邊界連續條件所導出的斯乃爾定律（Snell's Law of Refraction）：
$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$
其中 $n_1$ 與 $n_2$ 分別為兩介質之折射率，$\theta_1$（或記為 $\theta_i$）為入射角，$\theta_2$（或記為 $\theta_t$）為折射角（透射角）。

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解題方法與詳細推導

第一部分：全反射公式與臨界角之求法 (5%)

1. 物理情境設定：
   設均勻無耗損平面電磁波由介質 1（折射率 $n_1$）入射至介質 2（折射率 $n_2$），介面法線方向定義入射角為 $\theta_i$、透射角為 $\theta_t$。

2. 臨界狀態定義：
   隨入射角 $\theta_i$ 增大，折射角 $\theta_t$ 亦隨之增大。當折射角達到物理極限 $\theta_t = 90^\circ$（$\frac{\pi}{2}\text{ rad}$）時，折射波沿著介面掠射，此時對應的入射角即定義為全反射臨界角（Critical Angle, $\theta_c$）。

3. 公式推導：
   由斯乃爾定律（Snell's Law）：
   $n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t$
   代入臨界條件 $\theta_i = \theta_c$ 與 $\theta_t = 90^\circ$：
   $n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin(90^\circ) = n_2 \cdot 1$
   整理可得臨界角之正弦值與臨界角公式：
   $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$
   $\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$
   若以相對介電常數（非磁性介質 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$）表示，由於 $n = \sqrt{\epsilon_r}$，亦可寫為：
   $\theta_c = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}}\right)$

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第二部分：全反射發生的必備條件 (5%)

全內反射現象的發生必須同時滿足以下兩項條件：

核心觀念

本題考查光線由水進入空氣時的折射現象，使用斯涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_r$$

其中：

• $n_1=1.3$：水的折射率
• $n_2=1$：空氣的折射率
• $\theta_i$：入射角，光線與法線的夾角
• $\theta_r$：折射角，折射光線與法線的夾角

由水進入空氣時，光線由高折射率介質進入低折射率介質，因此會偏離法線，折射角大於入射角。

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(a) 折射角

已知入射角為 $10^\circ$，代入斯涅耳定律：

$$1.3\sin 10^\circ=1\cdot\sin\theta_r$$

因此：

$$\sin\theta_r=1.3\sin10^\circ$$ $$\sin\theta_r=1.3(0.17365)=0.22575$$

所以：

$$\theta_r=\sin^{-1}(0.22575)$$ $$\boxed{\theta_r\approx13.0^\circ}$$

折射角大於入射角，符合由水進入空氣時偏離法線的物理特性。

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(b) 使折射角不大於 $45^\circ$ 的入射角

題意要求：

$$\theta_r\leq45^\circ$$

由斯涅耳定律：

$$1.3\sin\theta_i=\sin\theta_r$$

當入射角增加時，折射角也會增加，因此入射角的最大值發生在：

$$\theta_r=45^\circ$$

代入：

$$1.3\sin\theta_i=\sin45^\circ$$ $$\sin\theta_i=\frac{\sin45^\circ}{1.3}$$ $$\sin\theta_i=\frac{0.7071}{1.3}=0.5439$$

因此：

$$\theta_i=\sin^{-1}(0.5439)$$ $$\boxed{\theta_i\approx32.9^\circ}$$

所以入射角必須滿足：

$$\boxed{\theta_i\leq32.9^\circ}$$

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核心觀念

本題考查均勻平面波在自由空間中的基本性質：

• 電場與磁場的 Maxwell 方程式關係
• 電場、磁場與傳播方向的相互垂直關係
• 平面波的定義
• 相位速度
• 時間平均坡印廷向量

題目採用時間因子 $e^{i\omega t}$，因此場的相位為

$$-kz+\omega t$$

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解題方法

在自由空間中沒有電荷與電流，因此 Maxwell 方程式為

$$\nabla\times\vec{E}=-\mu_0\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}$$ $$\nabla\times\vec{H}=\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$$

題目給定

$$\vec{E}=\hat{y}E_0e^{-ikz+i\omega t}$$ $$\vec{H}=\hat{x}H_0e^{-ikz+i\omega t}$$

由於時間微分會產生因子 $i\omega$，空間對 $z$ 微分會產生因子 $-ik$。

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(a) 求 $H_0$ 與 $E_0$ 的關係

先計算電場的旋度。因為電場只有 $y$ 分量，且僅隨 $z$ 變化，

$$\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial E_y}{\partial z}\hat{x}$$

而

$$\frac{\partial E_y}{\partial z} = -ikE_0e^{-ikz+i\omega t}$$

所以

$$\nabla\times\vec{E} = ikE_0e^{-ikz+i\omega t}\hat{x}$$

另一方面，

$$-\mu_0\frac{\partial\vec{H}}{\partial t} = -i\omega\mu_0H_0e^{-ikz+i\omega t}\hat{x}$$

代入 Faraday 定律：

$$ikE_0=-i\omega\mu_0H_0$$

約去 $i$ 後得

$$kE_0=-\omega\mu_0H_0$$

因此

$$\boxed{H_0=-\frac{k}{\omega\mu_0}E_0}$$

在自由空間中，

$$k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$$

故也可寫成

$$\boxed{H_0=-\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}E_0}$$

或利用自由空間波阻抗 $\eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}$：

$$\boxed{H_0=-\frac{E_0}{\eta_0}}$$

負號表示磁場方向與 $\hat{x}$ 的正方向相反，並非磁場振幅為負。

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(b) 是否為均勻平面波？

是。

均勻平面波的特徵是：場量只依賴傳播方向的座標，而不依賴垂直於傳播方向的座標。

本題的電磁場皆具有形式

$$e^{-ikz+i\omega t}$$

只依賴 $z$ 與 $t$，完全不依賴 $x$、$y$。因此在任意固定的 $z$ 平面上，電場與磁場大小及相位皆相同。

所以：

$$\boxed{\text{本題電磁場是均勻平面波}}$$

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(c) 波的傳播方向

令相位保持不變：

$$-kz+\omega t=\text{常數}$$

整理得

$$z=\frac{\omega}{k}t+\text{常數}$$

隨著時間增加，$z$ 增加，因此波沿著正 $z$ 軸方向傳播。

故

$$\boxed{\text{波沿 }+\hat{z}\text{ 方向傳播}}$$

也可由坡印廷向量方向判斷：

$$\vec{E}\times\vec{H} = \hat{y}\times(-\hat{x}) = \hat{z}$$

因此能量亦沿正 $z$ 方向傳播。

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(d) 波的速度

波的相位速度為

$$v=\frac{\omega}{k}$$

由自由空間的色散關係

$$k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$$

可得

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$

這就是光速：

核心觀念

本題考查平面電磁波入射介面時的兩項基本工具：

1. 麥克斯威方程式所給出的介面邊界條件。
2. 介面上的相位連續性所導出的反射定律。

介面位於 $z=0$。入射波由介質 1 傳向介質 2，入射角與反射角皆定義為「波向量與介面法線的夾角」。

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解題方法

將電場分成入射波、反射波與透射波：

$$\vec{E}_i=\vec{E}_{0i}e^{-j\vec{k}_i\cdot\vec{r}+j\omega t}$$ $$\vec{E}_r=\vec{E}_{0r}e^{-j\vec{k}_r\cdot\vec{r}+j\omega t}$$ $$\vec{E}_t=\vec{E}_{0t}e^{-j\vec{k}_t\cdot\vec{r}+j\omega t}$$

在 $z=0$ 的整個介面上，邊界條件必須對所有介面位置成立。因此，各波在介面上的相位必須一致，進而得到波向量的切向分量相等：

$$\vec{k}_{i\parallel}=\vec{k}_{r\parallel}=\vec{k}_{t\parallel}$$

反射定律即由前兩個等式，配合介質 1 中入射波與反射波的波數大小相同而得。

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（a）介面邊界條件

設介面法向單位向量由介質 1 指向介質 2，記為 $\hat{\mathbf n}$。一般介面邊界條件為：

1. 電場切向分量

由法拉第定律可得

$$\hat{\mathbf n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=0$$

因此

$$\vec{E}_{1\parallel}=\vec{E}_{2\parallel}$$

也就是介面兩側的電場切向分量連續。

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2. 磁場切向分量

若介面上存在自由表面電流密度 $\vec{J}_s$，則

$$\hat{\mathbf n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J}_s$$

對一般沒有外加表面電流的介面，$\vec{J}_s=0$，所以

$$\vec{H}_{1\parallel}=\vec{H}_{2\parallel}$$

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3. 電位移向量法向分量

由高斯定律可得

$$\hat{\mathbf n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_s$$

其中 $\rho_s$ 為自由表面電荷密度。

若介面上沒有自由表面電荷，$\rho_s=0$，則

$$D_{1n}=D_{2n}$$

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4. 磁通密度法向分量

由磁場高斯定律可得

$$\hat{\mathbf n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0$$

因此

$$B_{1n}=B_{2n}$$

磁通密度的法向分量在介面上必定連續。

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無自由表面電荷與電流時的整理

本題未指定介面存在外加表面電荷或表面電流，因此通常採用

$$\vec{E}_{1\parallel}=\vec{E}_{2\parallel}$$ $$\vec{H}_{1\parallel}=\vec{H}_{2\parallel}$$ $$D_{1n}=D_{2n}$$ $$B_{1n}=B_{2n}$$

其中前兩項是推導反射與透射波的重要條件。

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（b）反射定律推導

1. 介面上的相位匹配

取介面上的位置向量為

$$\vec{r}_{\parallel}=x\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}$$

因為介面位於 $z=0$，波的相位在介面上只包含波向量的切向分量：

$$\vec{k}\cdot\vec{r} = \vec{k}_{\parallel}\cdot\vec{r}_{\parallel}$$

為了使入射波與反射波在整個介面上都能滿足相同的邊界條件，必須有

$$\vec{k}_{i\parallel}=\vec{k}_{r\parallel}$$

同理，透射波也須滿足

$$\vec{k}_{i\parallel}=\vec{k}_{t\parallel}$$

因此得到一般的相位匹配條件：

核心觀念

本題考查二導體傳輸線的分布參數：

• $R$：單位長度的串聯電阻
• $L$：單位長度的串聯電感
• $G$：單位長度的並聯電導
• $C$：單位長度的並聯電容

其單位長度等效電路如下：

$$\text{串聯支路： } R\Delta z+j\omega L\Delta z$$ $$\text{並聯支路： } G\Delta z+j\omega C\Delta z$$

因此，傳輸線的電報方程式為

$$\frac{\partial V}{\partial z}=-(R+j\omega L)I$$ $$\frac{\partial I}{\partial z}=-(G+j\omega C)V$$

其中 $R$ 與 $G$ 代表傳輸線中的耗能效應，$L$ 與 $C$ 則主要描述儲能效應。

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(a) $R、L、G、C$ 的 MKSA 單位

由於這些參數都是「每單位長度」的分布參數：

1. 分布電阻 $R$

$$[R]=\frac{\Omega}{\text{m}}$$

即歐姆／公尺。

2. 分布電感 $L$

$$[L]=\frac{\text{H}}{\text{m}}$$

即亨利／公尺。

3. 分布電導 $G$

$$[G]=\frac{\text{S}}{\text{m}} =\frac{1}{\Omega\cdot\text{m}}$$

即西門子／公尺。

4. 分布電容 $C$

$$[C]=\frac{\text{F}}{\text{m}}$$

即法拉／公尺。

所以答案為

$$\boxed{ R:\Omega/\text{m},\quad L:\text{H}/\text{m},\quad G:\text{S}/\text{m},\quad C:\text{F}/\text{m} }$$

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(b) $R$ 與 $G$ 所代表的物理效應

分布電阻 $R$：導體損耗

$R$ 描述兩條導體本身的有限導電率所造成的能量損失。當電流流過導體時，會產生焦耳熱：

$$P_{\text{loss}}=I^2R$$

對傳輸線而言，$R$ 是單位長度的串聯電阻，因此長度為 $\Delta z$ 的小段，其串聯電阻為

$$R\Delta z$$

在高頻時還會產生集膚效應，使電流集中在導體表面，減小有效導電截面積，導致高頻等效電阻增加。因此，$R$ 主要造成導體損耗，並使訊號沿線傳播時逐漸衰減。

分布電導 $G$：介質漏電損耗

$G$ 描述兩導體之間介質並非理想絕緣體所造成的漏電。兩導體間的電壓會在介質中產生漏電電流：

$$I_G=GV$$