111 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《材料力學》

本題考驗學生對斜面應力分析的概念。當材料受力時，若連接處為斜面，則斜面上的應力會與垂直於斜面的應力（正向應力）及平行於斜面的應力（剪應力）有關。我們需要找出作用在膠合面上的正向應力與剪應力，並根據其最大允許值來反推所需的最小斷面寬度。

解題步驟：

1. 計算作用在膠合面上的應力分量：
   作用在斷面上的軸向力為 $P$。此力與膠合面 $pq$ 的夾角為 $\alpha$。
   將力 $P$ 分解到垂直於膠合面 $pq$ 的方向（法線方向）和與膠合面 $pq$ 平行的方向（切線方向）。
   垂直於膠合面的力 $P_n = P \cos \alpha$。
   平行於膠合面的力 $P_t = P \sin \alpha$。

2. 計算膠合面的面積：
   斷面為寬度為 $b$ 的正方形，則斷面面積為 $A_{total} = b^2$。
   膠合面的面積 $A_{glue}$ 為斷面面積投影到斜面上的面積。
   $A_{glue} = \frac{A_{total}}{\cos \alpha} = \frac{b^2}{\cos \alpha}$。

3. 計算膠合面上的正向應力 $\sigma_{glue}$ 和剪應力 $\tau_{glue}$：
   正向應力 $\sigma_{glue} = \frac{P_n}{A_{glue}} = \frac{P \cos \alpha}{\frac{b^2}{\cos \alpha}} = \frac{P \cos^2 \alpha}{b^2}$。
   剪應力 $\tau_{glue} = \frac{P_t}{A_{glue}} = \frac{P \sin \alpha}{\frac{b^2}{\cos \alpha}} = \frac{P \sin \alpha \cos \alpha}{b^2}$。

4. 根據允許應力限制求解 $b$：
   已知允許正向應力為 $\sigma_{allow} = 750$ psi，允許剪應力為 $\tau_{allow} = 500$ psi。
   我們必須同時滿足：
   $\sigma_{glue} \le \sigma_{allow} \implies \frac{P \cos^2 \alpha}{b^2} \le 750$
   $\tau_{glue} \le \tau_{allow} \implies \frac{P \sin \alpha \cos \alpha}{b^2} \le 500$

   代入已知數值：$P = 8000$ lb，$\alpha = 40^\circ$。
   $\cos 40^\circ \approx 0.766$
   $\sin 40^\circ \approx 0.6428$

核心觀念

本題考查圓軸扭轉：

1. 軸內部扭矩由截面一側的外加扭矩代數和決定。
2. 實心圓軸最大剪應力：
   $\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}$
3. 實心圓軸極慣性矩：
   $J=\frac{\pi d^4}{32}$
4. 扭轉角關係：
   $\frac{d\theta}{dx}=\frac{T}{GJ}$

軸在 $A$、$E$ 處為軸承，且可自由轉動，因此軸承不提供扭矩反力。外加扭矩恰好平衡：

$T_2=T_1+T_3=275+175=450\ \text{N}\cdot\text{m}$

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解題方法

取逆時針為正方向，則

$T_2=+450\ \text{N}\cdot\text{m}$

而 $T_1$、$T_3$ 為阻抗扭矩：

$T_1=-275\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad T_3=-175\ \text{N}\cdot\text{m}$

軸各段內力矩如下：

• $AB$ 段：左側沒有外加扭矩，因此
  $T_{AB}=0$

• $BC$ 段：
  $T_{BC}=-275\ \text{N}\cdot\text{m}$

• $CD$ 段：
  $T_{CD}=-275+450=175\ \text{N}\cdot\text{m}$

• $DE$ 段：右側沒有外加扭矩，因此
  $T_{DE}=0$

直徑為 $30\ \text{mm}$，故

$J=\frac{\pi(30)^4}{32}=79\,522\ \text{mm}^4$

取 $c=d/2=15\ \text{mm}$，並將扭矩換成 $\text{N}\cdot\text{mm}$。

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各段最大剪應力

$AB$、$DE$ 段：

$\tau_{AB}=\tau_{DE}=0$

$BC$ 段：

$$\tau_{BC,\max} =\frac{(275\times10^3)(15)}{79\,522} =51.9\ \text{MPa}$$

$CD$ 段：

核心觀念

本題考查：

• 集中力與均布載重造成的剪力、彎矩。
• 以整體梁作靜力平衡，求支承反力。
• 剪力圖與彎矩圖的關係：

$$\frac{dM}{dx}=V,\qquad \frac{dV}{dx}=-w$$

取剪力正號為「截面左側向上」，彎矩正號為下凹彎矩。圖中梁的幾何位置為：

• 左端集中力：$250\ \text{lb}$ 向下，位於 $x=0$
• 支承 $A$：$x=4\ \text{ft}$
• 均布載重：$150\ \text{lb/ft}$，作用於 $4<x<10$
• 支承 $B$：$x=10\ \text{ft}$
• 右端集中力：$250\ \text{lb}$ 向下，位於 $x=14$

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解題方法：先求支承反力

均布載重可等效為：

$$W=150(10-4)=900\ \text{lb}$$

作用位置在載重區間中央：

$$x=7\ \text{ft}$$

設支承反力為 $A_y$、$B_y$。由垂直力平衡：

$$A_y+B_y-250-900-250=0$$ $$A_y+B_y=1400$$

以 $A$ 點取力矩：

$$250(4)-900(3)-250(10)+B_y(6)=0$$

因此：

$$1000-2700-2500+6B_y=0$$ $$B_y=700\ \text{lb}$$

故：

$$A_y=1400-700=700\ \text{lb}$$

兩支承反力皆為向上：

$$\boxed{A_y=B_y=700\ \text{lb}}$$

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剪力函數 $V(x)$

區間一：$0\le x<4\ \text{ft}$

左側只有左端向下集中力 $250\ \text{lb}$：

$$\boxed{V(x)=-250\ \text{lb}}$$

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區間二：$4<x<10\ \text{ft}$

由左端至截面 $x$ 的均布載重為 $150(x-4)$，因此：

$$V(x)=-250+700-150(x-4)$$

整理得：

$$\boxed{V(x)=1050-150x\ \text{lb}}$$

其中：

$$V(4^+)=450\ \text{lb},\qquad V(10^-)=-450\ \text{lb}$$

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區間三：$10<x<14\ \text{ft}$

通過支承 $B$ 後，剪力增加 $700\ \text{lb}$：

$$V(x)=-450+700$$

所以：

$$\boxed{V(x)=250\ \text{lb}}$$

在右端受到 $250\ \text{lb}$ 向下集中力後，剪力降回零，符合整體平衡。

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彎矩函數 $M(x)$

由於梁的兩端為自由端，且端部沒有外加力矩：

$$M(0)=0,\qquad M(14)=0$$

區間一：$0\le x<4\ \text{ft}$

$$M(x)=-250x$$

因此：

$$\boxed{M(x)=-250x\ \text{lb}\cdot\text{ft}}$$

在 $A$ 點左側：

$$M(4)=-250(4)=-1000\ \text{lb}\cdot\text{ft}$$

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區間二：$4<x<10\ \text{ft}$

由 $x=4$ 處開始積分剪力：

$$M(x)=M(4)+\int_4^x V(s)\,ds$$

核心觀念

本題為平面應力狀態轉換，要求：

1. 主應力 $\sigma_1,\sigma_2$。
2. 最大平面剪應力 $\tau_{\max}$。
3. 對應的平均正應力。
4. 主應力面與最大剪應力面的方向。

由圖可得：

• $x$ 方向正應力：$\sigma_x=125\ \text{MPa}$
• $y$ 方向正應力為壓應力：$\sigma_y=-75\ \text{MPa}$
• 剪應力大小為 $50\ \text{MPa}$，右側正面剪力向下，因此依標準符號：

$$\tau_{xy}=-50\ \text{MPa}$$

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解題方法

平面應力圓的圓心為平均正應力：

$$\sigma_{\text{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{125-75}{2} =25\ \text{MPa}$$

半徑為：

$$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$ $$R=\sqrt{\left(\frac{125-(-75)}{2}\right)^2+(-50)^2} =\sqrt{100^2+50^2} =111.80\ \text{MPa}$$

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(a) 主應力

主應力為：

$$\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R =25+111.80 =136.80\ \text{MPa}$$ $$\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R =25-111.80 =-86.80\ \text{MPa}$$

因此：

$$\boxed{\sigma_1=136.8\ \text{MPa}}$$ $$\boxed{\sigma_2=-86.8\ \text{MPa}}$$

主應力方向由：

$$\tan 2\theta_p =\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{2(-50)}{125-(-75)} =-0.5$$

取使 $\sigma_{x'}=\sigma_1$ 的方向：

$$2\theta_p=-26.565^\circ$$ $$\boxed{\theta_p=-13.28^\circ}$$

也就是說，最大主應力元素的 $x'$ 軸相對原本 $x$ 軸順時針旋轉 $13.28^\circ$。另一主應力面與其相差 $90^\circ$：

$$\boxed{\theta_p+90^\circ=76.72^\circ}$$

在主應力元素上：

• $x'$ 面為拉應力 $\sigma_1=136.8\ \text{MPa}$
• $y'$ 面為壓應力 $\sigma_2=-86.8\ \text{MPa}$
• 剪應力為零

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