113 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《材料力學》

核心觀念

本題考查簡支梁的：

• 三角形分布載重等效合力
• 支承反力
• 截面內力平衡
• 截面內力 $V$、彎矩 $M$ 與軸力 $N$

梁長為

$$L=1.5+3+1.5=6\ \text{m}$$

分布載重由 A 點的 $4\ \text{kN/m}$ 線性遞減至 B 點的 $0$，因此為三角形分布載重。

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解題方法

1. 求分布載重的等效合力

三角形載重的總合力為面積：

$$W=\frac{1}{2}(6)(4)=12\ \text{kN}$$

其作用位置位於大端 A 點起算的 $1/3$ 底邊處：

$$x_W=\frac{6}{3}=2\ \text{m}$$

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2. 求支承反力

設 A、B 的垂直反力分別為 $A_y$、$B_y$。

取 A 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$B_y(6)-12(2)=0$$

因此

$$B_y=4\ \text{kN}$$

再由垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y-12=0$$ $$A_y=8\ \text{kN}$$

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3. 取 D 點左側梁段

D 點距離 A 為

$$x_D=1.5+3=4.5\ \text{m}$$

在 A 至 D 的載重為梯形，其左端強度為 $4\ \text{kN/m}$，D 點強度為：

$$w_D=4\left(1-\frac{4.5}{6}\right)=1\ \text{kN/m}$$

因此 A 至 D 的載重合力為梯形面積：

$$W_{AD}=\frac{4+1}{2}(4.5)=11.25\ \text{kN}$$

此題考查扭轉變形與扭矩傳遞，涉及固定端軸的扭矩分析與角度變化計算。

核心觀念：

• 扭矩在齒輪傳動中的傳遞與大小關係。
• 固定端軸的扭矩平衡。
• 扭轉角度與扭矩、長度、極慣性矩、剪力彈性模數的關係。

解題步驟：

1. 分析齒輪傳動與扭矩傳遞：
   圖 2 顯示了兩個互相連接的軸 AB 和 CD，由齒輪 E 和 F 傳動。
   施加在齒輪 E 上的扭矩為 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   齒輪 E 的半徑 $r_E = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}$。
   齒輪 F 的半徑 $r_F = 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}$。
   根據齒輪傳動的扭矩關係，施加在 E 上的扭矩會通過軸傳遞，並在 F 處產生反作用扭矩。
   傳遞的扭矩大小與齒輪半徑成反比：
   $T_E \cdot r_E = T_F \cdot r_F$
   $500 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.1 \, \text{m} = T_F \times 0.05 \, \text{m}$
   $50 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 = T_F \times 0.05 \, \text{m}$
   $T_F = \frac{50 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}{0.05 \, \text{m}} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   這個扭矩 $T_F$ 是由軸 CD 傳遞的。

2. 建立軸的扭矩平衡方程式：
   軸 AB 和軸 CD 都是固定端軸。
   軸 AB (連接 A 和 C)：
   軸 AB 的左端 A 是固定支撐。
   C 點通過軸 CD 傳遞了扭矩 $T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$（假設為順時針方向，根據圖示 E 施加扭矩後，F 應承受反向扭矩）。
   因此，在 A 點產生的反作用扭矩 $T_A$ 必須平衡 C 點傳來的扭矩。
   $T_A + T_{C \to A} = 0$
   如果 $T_F$ 是順時針扭矩作用在 C 點，那麼 A 點的反作用扭矩 $T_A$ 應為逆時針。
   $T_A = T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   軸 CD (連接 C 和 B)：
   軸 CD 的右端 B 是固定支撐。
   C 點承受來自齒輪 F 的扭矩 $T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   因此，在 B 點產生的反作用扭矩 $T_B$ 必須平衡 C 點傳來的扭矩。
   $T_B + T_{C \to B} = 0$
   如果 $T_F$ 是順時針扭矩作用在 C 點，那麼 B 點的反作用扭矩 $T_B$ 應為逆時針。
   $T_B = T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   注意： 題目要求的是「reactions at A and B」。對於固定端軸，反力是扭矩。
   如果我們將扭矩定義為順時針為正。
   由圖示，E 點的扭矩 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$，假設是順時針。
   則 $T_F = -1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$ (逆時針)。
   此扭矩 $T_F$ 作用在 C 點。
   軸 AB：A 端固定，C 端承受 $T_F$ (逆時針)。
   故 A 端反力 $T_A$ 必須是順時針，大小為 $1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   軸 CD：B 端固定，C 端承受 $T_F$ (逆時針)。
   故 B 端反力 $T_B$ 必須是順時針，大小為 $1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   然而，圖示 E 的扭矩 500 N.m 是作用在軸 AB 上，通過齒輪 E 施加的。
   E 是一個齒輪，它連接到軸 AB。F 是一個齒輪，它連接到軸 CD。
   A 端和 B 端是固定支撐。C 和 D 是軸承，允許自由旋轉。
   扭矩 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$ 作用在 E 齒輪上。
   E 齒輪的半徑 $r_E = 100 \, \text{mm}$。
   F 齒輪的半徑 $r_F = 50 \, \text{mm}$。
   根據扭矩傳遞，E 齒輪上的扭矩 $T_E$ 傳遞到軸 AB，同時 E 齒輪與 F 齒輪之間有扭矩交換。
   $T_{E \to C} \cdot r_E = T_{F \to D} \cdot r_F$
   這裡的 $T_{E \to C}$ 是傳遞到軸 AB 的扭矩，$T_{F \to D}$ 是傳遞到軸 CD 的扭矩。
   但是，E 和 F 是固定連接的齒輪，它們之間直接傳遞扭矩。
   扭矩 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$ 作用在 E 齒輪上。
   這個扭矩會引起 E 齒輪與 F 齒輪之間的扭矩交換。
   $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$ (假設順時針)。
   這個扭矩會傳遞到軸 AB。
   同時，E 和 F 齒輪也相互作用。
   $T_E \times r_E = T_{F} \times r_F$
   $500 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.1 \, \text{m} = T_F \times 0.05 \, \text{m}$
   $T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   此 $T_F$ 是作用在 F 齒輪上的扭矩，它會傳遞到軸 CD。
   因此，軸 AB 承受來自 E 齒輪的扭矩 $T_{AB} = T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   軸 CD 承受來自 F 齒輪的扭矩 $T_{CD} = T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   固定支撐的反力扭矩：

   • 軸 AB： 端點 A 是固定支撐。軸 AB 承受扭矩 $T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
     因此，A 點的反作用扭矩 $T_A = T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   • 軸 CD： 端點 B 是固定支撐。軸 CD 承受扭矩 $T_{CD} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
     因此，B 點的反作用扭矩 $T_B = T_{CD} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   總結反力：
   $T_A = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$
   $T_B = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$

3. 計算齒輪 E 的旋轉角度：
   要求的是齒輪 E 的旋轉角度，這相當於軸 AB 的 C 端（即 E 齒輪連接點）的扭轉角度 $\phi_C$。
   軸 AB 的長度為 $L_{AB} = 1.5 \, \text{m}$。
   軸 CD 的長度為 $L_{CD} = 0.75 \, \text{m}$。
   兩個軸都是 A-36 鋼，剪力彈性模數 $G = 75 \, \text{GPa} = 75 \times 10^9 \, \text{N/m}^2$。
   兩個軸的直徑 $d = 25 \, \text{mm} = 0.025 \, \text{m}$。
   半徑 $c = d/2 = 0.0125 \, \text{m}$。

   計算極慣性矩 J：
   對於實心圓軸，極慣性矩 $J = \frac{\pi}{2} c^4 = \frac{\pi}{2} (0.0125 \, \text{m})^4$。
   $J = \frac{\pi}{2} \times (1.5625 \times 10^{-8} \, \text{m}^4) \approx 2.454 \times 10^{-8} \, \text{m}^4$。

   計算軸 AB 的扭轉角度：
   軸 AB 承受的扭矩是 $T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   公式為 $\phi = \frac{TL}{JG}$。
   這裡的 $\phi$ 是整個軸的總扭轉角度。
   我們要計算的是 C 點相對於 A 點的扭轉角度 $\phi_C$。
   $\phi_C = \frac{T_{AB} \cdot L_{AB}}{J \cdot G}$
   $\phi_C = \frac{(500 \, \text{N} \cdot \text{m}) \times (1.5 \, \text{m})}{(2.454 \times 10^{-8} \, \text{m}^4) \times (75 \times 10^9 \, \text{N/m}^2)}$
   $\phi_C = \frac{750 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}{1.8405 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}$
   $\phi_C \approx 0.4075 \, \text{radians}$。

   計算軸 CD 的扭轉角度：
   軸 CD 承受的扭矩是 $T_{CD} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   我們要計算的是 C 點相對於 B 點的扭轉角度 $\phi_C'$。
   $\phi_C' = \frac{T_{CD} \cdot L_{CD}}{J \cdot G}$
   $\phi_C' = \frac{(1000 \, \text{N} \cdot \text{m}) \times (0.75 \, \text{m})}{(2.454 \times 10^{-8} \, \text{m}^4) \times (75 \times 10^9 \, \text{N/m}^2)}$
   $\phi_C' = \frac{750 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}{1.8405 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}$
   $\phi_C' \approx 0.4075 \, \text{radians}$。

   修正： 題目的圖示和描述有些地方需要仔細釐清。
   E 齒輪在軸 AB 上，F 齒輪在軸 CD 上。
   E 施加扭矩 500 N.m。
   A 和 B 是固定支撐。C 和 D 是軸承。

   重新分析扭矩傳遞與反力：
   假設 E 施加的扭矩 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$ 是順時針。
   E 齒輪半徑 $r_E = 0.1 \, \text{m}$。
   F 齒輪半徑 $r_F = 0.05 \, \text{m}$。
   E 齒輪與 F 齒輪的扭矩交換：$T_E \cdot r_E = T_F \cdot r_F$。
   $500 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.1 \, \text{m} = T_F \times 0.05 \, \text{m} \implies T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   F 齒輪上的扭矩 $T_F$ 方向與 $T_E$ 相反，所以是逆時針。

   軸 AB (A-C)：
   A 是固定端。E 齒輪固定在 C 點附近（圖示 C 和 E 似乎是同一點，或者 E 作用在 C 點）。
   軸 AB 承受的扭矩是 $T_{AB} = T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   A 點的反力扭矩 $T_A$ 必須平衡此扭矩。
   若 $T_E$ 是順時針，則 A 點的反力扭矩 $T_A$ 是逆時針，大小為 $500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   軸 CD (C-B)：
   B 是固定端。F 齒輪固定在 D 點附近（圖示 D 和 F 似乎是同一點，或者 F 作用在 D 點）。
   軸 CD 承受的扭矩是 $T_{CD} = T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   B 點的反力扭矩 $T_B$ 必須平衡此扭矩。
   若 $T_F$ 是逆時針，則 B 點的反力扭矩 $T_B$ 是順時針，大小為 $1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   因此，反應在 A 和 B 的扭矩為：
   $T_A = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$
   $T_B = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$

   計算齒輪 E 的旋轉角度：
   齒輪 E 在 C 點。我們需要計算 C 點相對於 A 點的扭轉角度 $\phi_C$。
   軸 AB 承受扭矩 $T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   軸 AB 的長度 $L_{AB} = 1.5 \, \text{m}$。
   $\phi_C = \frac{T_{AB} \cdot L_{AB}}{J \cdot G}$
   $\phi_C = \frac{(500 \, \text{N} \cdot \text{m}) \times (1.5 \, \text{m})}{(2.454 \times 10^{-8} \, \text{m}^4) \times (75 \times 10^9 \, \text{N/m}^2)}$
   $\phi_C = \frac{750 \, \text{N} \cdot \text{m}^2}{1.8405 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}^2} \approx 0.4075 \, \text{radians}$。

   但是，題目的圖示中，E 作用在軸 AB 上，F 作用在軸 CD 上。
   A 和 B 是固定端。C 和 D 是軸承。
   E 齒輪的半徑是 100 mm，F 齒輪的半徑是 50 mm。
   E 齒輪的軸是軸 AB，F 齒輪的軸是軸 CD。
   A 是軸 AB 的固定端。B 是軸 CD 的固定端。
   C 點是軸 AB 與軸 CD 的連接點（或相鄰點）。
   D 點是軸 CD 的位置。
   E 齒輪位於軸 AB 的 C 點附近，F 齒輪位於軸 CD 的 D 點附近。

   重新解讀圖示與題目：
   圖 2 顯示：

   • 軸 AB，長度 1.5 m，固定端 A。
   • 軸 CD，長度 0.75 m，固定端 B。
   • C 點是軸 AB 和軸 CD 的連接點（可能是通過齒輪 E）。
   • D 點是軸 CD 上的點，F 齒輪在此。
   • E 齒輪半徑 $r_E = 100 \, \text{mm}$，F 齒輪半徑 $r_F = 50 \, \text{mm}$。
   • 施加在 E 齒輪上的扭矩 $T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   扭矩傳遞：
   E 齒輪上的扭矩 $T_E$ 傳遞給軸 AB，並在 A 點產生反力。
   E 齒輪與 F 齒輪的扭矩交換：
   $T_E \cdot r_E = T_F \cdot r_F$
   $500 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 0.1 \, \text{m} = T_F \times 0.05 \, \text{m} \implies T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   此扭矩 $T_F$ 作用在 F 齒輪上，並傳遞給軸 CD，在 B 點產生反力。

   固定端反力：

   • 軸 AB 承受扭矩 $T_{AB} = T_E = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
     A 端是固定支撐，所以反力扭矩 $T_A = T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   • 軸 CD 承受扭矩 $T_{CD} = T_F = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
     B 端是固定支撐，所以反力扭矩 $T_B = T_{CD} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}$。

   計算齒輪 E 的旋轉角度：
   齒輪 E 位於 C 點。我們需要計算 C 點相對於 A 點的扭轉角度 $\phi_C$。
   軸 AB 承受扭矩 $T_{AB} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
   軸 AB 的長度 $L_{AB} = 1.5 \, \text{m}$。
   $\phi_C = \frac{T_{AB} \cdot L_{AB}}{J \cdot G}$
   $J = \frac{\pi}{2} (0.0125)^4 \approx 2.454 \times 10^{-8} \, \text{m}^4$
   $G = 75 \times 10^9 \, \text{N/m}^2$

核心觀念

本題考查圓形實心截面承受垂直剪力 $V$ 時，截面內剪應力的分布。使用梁的剪應力公式：

$$\tau=\frac{VQ}{Ib}$$

其中：

• $Q$：所求位置以上（或以下）部分面積對中性軸的一次矩
• $I$：整個圓形截面對中性軸的慣性矩
• $b$：該水平位置的截面寬度

設圓心為原點，$y$ 軸為垂直方向，圓半徑為 $c$。

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(a) 距中性軸 $y$ 處的剪應力

圓形截面的方程式為

$$x^2+y^2=c^2$$

因此，在座標 $y$ 處的截面寬度為

$$b=2\sqrt{c^2-y^2}$$

取水平線以上的部分計算一次矩 $Q$。在高度 $y'$ 處，其微小面積為

$$dA=2\sqrt{c^2-y'^2}\,dy'$$

所以

$$Q=\int_y^c y'\,dA =\int_y^c 2y'\sqrt{c^2-y'^2}\,dy'$$

積分得

$$Q=\frac{2}{3}(c^2-y^2)^{3/2}$$

實心圓截面對中性軸的慣性矩為

$$I=\frac{\pi c^4}{4}$$

代入剪應力公式：

$$\tau_y =\frac{VQ}{Ib}$$ $$\tau_y = \frac{ V\left[\frac{2}{3}(c^2-y^2)^{3/2}\right] }{ \left(\frac{\pi c^4}{4}\right) \left[2\sqrt{c^2-y^2}\right] }$$

化簡後：

核心觀念

本題在考圓形實心軸同時承受：

• 彎矩造成的正應力
• 扭矩造成的扭轉剪應力
• 橫向剪力造成的剪應力
• 平面應力狀態下的主應力

圖中 $25\ \text{mm}$ 為軸半徑，因此

$$r=25\ \text{mm}$$

考察截面位於力 $800\ \text{N}$ 作用線右方 $450\ \text{mm}$ 處。

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解題方法

1. 截面彎矩

由 $800\ \text{N}$ 所造成的彎矩為

$$M_F=800(450)=360000\ \text{N}\cdot\text{mm} =360\ \text{N}\cdot\text{m}$$

圖示的外加彎矩為 $45\ \text{N}\cdot\text{m}$，方向與橫向力造成的彎矩相同，因此截面 B 的總彎矩為

$$M=360+45=405\ \text{N}\cdot\text{m} =405000\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

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2. 圓形截面的幾何性質

實心圓軸的截面二次矩與極慣性矩為

$$I=\frac{\pi r^4}{4} =\frac{\pi(25)^4}{4} =306796\ \text{mm}^4$$ $$J=\frac{\pi r^4}{2} =\frac{\pi(25)^4}{2} =613592\ \text{mm}^4$$

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(a) Point A 的正應力

彎曲正應力為

$$\sigma_A=\frac{Mr}{I}$$

代入數值：

$$\sigma_A = \frac{(405000)(25)}{306796} = 32.99\ \text{MPa}$$

依圖示 Point A 所在位置為彎曲受拉側，因此

$$\boxed{\sigma_A=+33.0\ \text{MPa}}$$

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(b) Point A 的剪應力

扭矩造成的剪應力

扭矩為

$$T=300\ \text{N}\cdot\text{m} =300000\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

Point A 位於圓軸外表面，扭轉剪應力為

$$\tau_T=\frac{Tr}{J}$$

因此