113 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《工程數學》

核心觀念

本題考查一階自治微分方程

$$\frac{dx}{dt}=f(x)$$

的相線圖（phase portrait）與平衡解判斷。

對自治方程而言：

• 若 $f(x)>0$，則 $\dfrac{dx}{dt}>0$，所以 $x(t)$ 隨時間增加，箭頭向右。
• 若 $f(x)<0$，則 $\dfrac{dx}{dt}<0$，所以 $x(t)$ 隨時間減少，箭頭向左。
• 若 $f(x)=0$，則 $x(t)$ 為常數，對應平衡解。

本題中

$$f(x)=x(a-bx),$$

且 $a,b>0$。

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解題方法

1. 找出平衡點

令 $f(x)=0$：

$$x(a-bx)=0.$$

因此

$$x=0 \quad\text{或}\quad a-bx=0.$$

得到兩個平衡點：

$$x=0,\qquad x=\frac{a}{b}.$$

由於 $a,b>0$，所以

$$0<\frac{a}{b}.$$

這兩點將 $x$ 軸分成三個區間：

$$(-\infty,0),\qquad \left(0,\frac{a}{b}\right),\qquad \left(\frac{a}{b},\infty\right).$$

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2. 判斷各區間的符號

區間一：$x<0$

當 $x<0$ 時，

$$x<0, \qquad a-bx>a>0.$$

因此

$$f(x)=x(a-bx)<0.$$

所以

$$\frac{dx}{dt}<0,$$

解沿著相線向左移動。

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區間二：$0<x<\dfrac{a}{b}$

此時

$$x>0, \qquad a-bx>0.$$

因此

$$f(x)>0.$$

所以

$$\frac{dx}{dt}>0,$$

解沿著相線向右移動。

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區間三：$x>\dfrac{a}{b}$

此時

$$x>0, \qquad a-bx<0.$$

因此

$$f(x)<0.$$

所以

$$\frac{dx}{dt}<0,$$

解沿著相線向左移動。

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相線圖（Phase Portrait）

由下方相線可直接看出解的移動方向：

$$\longleftarrow\quad \bullet\;0 \quad\longrightarrow\quad \bullet\;\frac{a}{b} \quad\longleftarrow$$

更完整地表示為：

$$(-\infty,0):\ \longleftarrow \qquad \left(0,\frac{a}{b}\right):\ \longrightarrow \qquad \left(\frac{a}{b},\infty\right):\ \longleftarrow$$

其中：

• $x=0$ 左側箭頭向左、右側箭頭向右，因此解會遠離 $x=0$，所以 $x=0$ 是不穩定平衡點。

核心觀念

本題考查空間向量函數的參數曲線，以及如何由參數式判斷曲線的形狀。

令

$$\vec r(\alpha)=x(\alpha)\hat i+y(\alpha)\hat j+z(\alpha)\hat k, \qquad \alpha\ge 0$$

則

$$x=2\cos\alpha,\qquad y=2\sin\alpha,\qquad z=\alpha.$$

判斷空間曲線時，可分別觀察：

1. $x,y$ 在 $xy$ 平面上的投影；
2. $z$ 隨參數的變化；
3. 參數增加時曲線的運動方向。

解題方法

1. 求 $xy$ 平面上的投影

由

$$x=2\cos\alpha,\qquad y=2\sin\alpha$$

可得

$$x^2+y^2 =4\cos^2\alpha+4\sin^2\alpha =4.$$

因此曲線在 $xy$ 平面的投影為半徑 $2$、圓心在原點的圓：

$$x^2+y^2=4.$$

這表示空間曲線始終位於以 $z$ 軸為中心、半徑 $2$ 的圓柱面上。

2. 觀察高度變化

由

$$z=\alpha,\qquad \alpha\ge 0$$

可知：

• $\alpha=0$ 時，$z=0$；
• $\alpha$ 增加時，$z$ 持續增加；
• 曲線向上延伸，且沒有上界。

每當參數增加 $2\pi$，$x$ 與 $y$ 恢復原來的位置，但高度增加

$$\Delta z=2\pi.$$

因此曲線每旋轉一圈上升 $2\pi$，螺距為 $2\pi$。

3. 判斷旋轉方向

當 $\alpha$ 從 $0$ 增加時，曲線依序經過

核心觀念

1. 曲線的切線方向向量可用參數導數 $\dfrac{d\vec r}{dt}$ 表示。
2. 若切線方向平行於向量 $(P,Q)$，則
   $\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}.$
3. 參數曲線 $\vec r(t)=(x(t),y(t))$ 在 $t=t_0$ 處的切線方向向量為
   $\vec r'(t_0)=\bigl(x'(t_0),y'(t_0)\bigr).$
   切線斜率為 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$，法線斜率則為其負倒數。

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第 3 題（1）

已知曲線在 $(x,y)$ 處的切線方向平行於

$$\vec v=(x^2-y^2,\,-2xy).$$

因此曲線的微分方向 $(dx,dy)$ 滿足

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{x^2-y^2}.$$

整理為微分形式：

$$(x^2-y^2)\,dy+2xy\,dx=0.$$

觀察到

$$d\left(x^2y-\frac{y^3}{3}\right) =2xy\,dx+(x^2-y^2)\,dy.$$

所以原方程可寫成

$$d\left(x^2y-\frac{y^3}{3}\right)=0.$$

積分得

$$x^2y-\frac{y^3}{3}=C.$$

將常數倍併入任意常數，也可寫成

$$\boxed{3x^2y-y^3=C}.$$

快速驗算

令

$$F(x,y)=x^2y-\frac{y^3}{3},$$

則

$$\nabla F=(2xy,\ x^2-y^2).$$

而曲線的切線方向向量為

$$(x^2-y^2,-2xy).$$

兩者內積為

$$(2xy)(x^2-y^2)+(x^2-y^2)(-2xy)=0,$$

表示切線方向確實垂直於梯度方向，故推導正確。

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第 3 題（2）

曲線為

$$\vec r(t)= \left(\frac{1+t}{t^2}\right)\hat i+ \left(\frac{3+t}{2t^2}\right)\hat j.$$

因此

$$x(t)=\frac{1+t}{t^2},\qquad y(t)=\frac{3+t}{2t^2}.$$

先求對應參數

由 $x=2$：

核心觀念

設 $D$ 為簡單閉曲線 $C$ 所包圍的區域，面積為 $A$。本題使用平面 Green 定理：

$$\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dA.$$

題目中的等式成立須假設 $C$ 採正向，即逆時針方向繞行；若採順時針方向，兩個線積分的符號皆會相反。

證明面積公式

取

$$P=-y,\qquad Q=0.$$

則

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0-(-1)=1.$$

由 Green 定理，

$$\oint_C (-y)\,dx = \iint_D 1\,dA = A.$$

因此

$$\boxed{A=-\oint_C y\,dx}.$$

再取

$$P=0,\qquad Q=x.$$

則

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1-0=1.$$

同樣由 Green 定理，

$$\oint_C x\,dy = \iint_D 1\,dA = A.$$

所以

$$\boxed{A=\oint_C x\,dy}.$$

綜合可得

$$\boxed{ A=-\oint_C y\,dx=\oint_C x\,dy }.$$

計算橢圓所包圍的面積

橢圓為

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

其中 $a,b>0$。採用逆時針參數表示：

核心觀念

矩陣 $A$ 的反矩陣 $A^{-1}$ 定義為

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I,$$

其中 $I$ 為單位矩陣。反矩陣存在的充要條件是

$$\det(A)\ne 0.$$

本題採用高斯–喬登消去法，將增廣矩陣 $[A\mid I]$ 化為 $[I\mid A^{-1}]$。

解題方法

先計算行列式：

$$\begin{aligned} \det(A) &= 1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&-2 \end{vmatrix} -(-4) \begin{vmatrix} 0&-1\\ 1&-2 \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{vmatrix} \\ &=(-2)+4(1)+4(-1)\\ &=-2\ne 0. \end{aligned}$$

因此 $A^{-1}$ 存在。

建立增廣矩陣：

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&-4&4&1&0&0\\ 0&1&-1&0&1&0\\ 1&0&-2&0&0&1 \end{array} \right].$$

先以 $R_1\leftarrow R_1+4R_2$ 消去第一列的 $-4$：

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&1&4&0\\ 0&1&-1&0&1&0\\ 1&0&-2&0&0&1 \end{array} \right].$$

再以 $R_3\leftarrow R_3-R_1$：

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&1&4&0\\ 0&1&-1&0&1&0\\ 0&0&-2&-1&-4&1 \end{array} \right].$$

將第三列除以 $-2$：

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值與特徵向量。

若非零向量 $\mathbf{x}$ 滿足

$$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x},$$

則 $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的特徵值，$\mathbf{x}$ 稱為對應的特徵向量。特徵值必須滿足特徵方程

$$\det(A-\lambda I)=0,$$

再將各特徵值代回

$$(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$$

即可求得對應的特徵向量。

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解題方法：求特徵值

令

$$A= \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$

採用 $\det(\lambda I-A)=0$，則

$$\lambda I-A= \begin{bmatrix} \lambda-2 & 2 & -3\\ -1 & \lambda-1 & -1\\ -1 & -1 & \lambda+1 \end{bmatrix}.$$

沿第一列展開：

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1\\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -1 & -1\\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix}\\ &\quad-3 \begin{vmatrix} -1 & \lambda-1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}. \end{aligned}$$

各二階行列式為

$$\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1\\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} =(\lambda-1)(\lambda+1)-1=\lambda^2-2,$$ $$\begin{vmatrix} -1 & -1\\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} =-(\lambda+1)-1=-\lambda-2,$$ $$\begin{vmatrix} -1 & \lambda-1\\ -1 & -1 \end{vmatrix} =1+(\lambda-1)=\lambda.$$

因此

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-2)(\lambda^2-2)-2(-\lambda-2)-3\lambda\\ &=\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda+8. \end{aligned}$$

所以特徵方程為

$$\boxed{\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda+8=0}.$$

此三次方程沒有有理數根，其三個根可表示為

$$\lambda_1 = \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{-73+\sqrt{3132}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{-73-\sqrt{3132}}{27}},$$

以及另外兩根

$$\lambda_{2,3} = \frac{2}{3} -\frac{u+v}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}(u-v)i,$$

其中

$$u=\sqrt[3]{\frac{-73+\sqrt{3132}}{27}}, \qquad v=\sqrt[3]{\frac{-73-\sqrt{3132}}{27}}.$$

數值近似為

$$\boxed{\lambda_1\approx -1.8751}$$

以及

$$\boxed{\lambda_{2,3}\approx 1.9376\pm 0.7157i}.$$

因此，矩陣 $A$ 有一個實特徵值與一對共軛複數特徵值。

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求特徵向量

設特徵向量為

因 $f(a) \neq 0$ 且 $g(z)$ 在 $z = a$ 處有二階零點（order 2 zero），故 $g(a) = 0$、$g'(a) = 0$ 且 $g''(a) \neq 0$。函數 $H(z) = \frac{f(z)}{g(z)}$ 在 $z = a$ 處具有二階極點（order 2 pole）。

將 $f(z)$ 與 $g(z)$ 在 $z = a$ 處展開為泰勒級數（令 $w = z - a$）：

$f(z) = f(a) + f'(a) w + \frac{f''(a)}{2!} w^2 + \cdots$

$g(z) = \frac{g''(a)}{2!} w^2 + \frac{g'''(a)}{3!} w^3 + \cdots = \frac{g''(a)}{2} w^2 \left[ 1 + \frac{g'''(a)}{3 g''(a)} w + \cdots \right]$

將兩式相除並利用幾何級數展開 $(1 + x)^{-1} = 1 - x + \cdots$：