112 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《工程數學》

(a) 求解 $f(x)$

對原微分方程取拉普拉斯轉換：
$\mathcal{L}\{f''(x)\} + a \mathcal{L}\{f(x)\} = \mathcal{L}\{u(x)\}$

代入初始條件公式 $s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) + a F(s) = U(s)$，整理得：
$F(s) = \frac{s f_0 + f_1}{s^2 + a} + \frac{U(s)}{s^2 + a}$

代入已知條件 $a = -\omega^2$、$u = 0$、$f_0 = 1$、$f_1 = 2$：
$F(s) = \frac{s + 2}{s^2 - \omega^2} = \frac{s}{s^2 - \omega^2} + \frac{2}{\omega} \cdot \frac{\omega}{s^2 - \omega^2}$

取拉普拉斯反轉換得：
$f(x) = \cosh(\omega x) + \frac{2}{\omega} \sinh(\omega x)$

【答案】$f(x) = \cosh(\omega x) + \frac{2}{\omega} \sinh(\omega x)$ （或表示為

(a)

【特徵方程式與特徵根】
齊次常係數線性微分方程式 $\frac{d^4f}{dx^4} - \beta^4 f = 0$ 之特徵方程式（Characteristic Equation）為：
$r^4 - \beta^4 = 0 \implies (r^2 - \beta^2)(r^2 + \beta^2) = 0$
解得特徵根為：
$r = \pm \beta, \quad r = \pm i\beta$

【基底轉換與通解】
對應之實數型態線性獨立解基底為 $\{ e^{\beta x}, e^{-\beta x}, \cos(\beta x), \sin(\beta x) \}$。
利用雙曲函數與指數函數之定義：
$\cosh(\beta x) = \frac{e^{\beta x} + e^{-\beta x}}{2}, \quad \sinh(\beta x) = \frac{e^{\beta x} - e^{-\beta x}}{2}$
基底 $\{ e^{\beta x}, e^{-\beta x} \}$ 可等價線性組合轉換為雙曲函數基底 $\{ \cosh(\beta x), \sinh(\beta x) \}$。

因此，一般通解可表示為四個獨立基底之線性組合：
$f(x) = A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x) + C \cosh(\beta x) + D \sinh(\beta x)$
得證。

(b)

【導數計算】
對通解 $f(x)$ 求二階導數：
$f''(x) = -\beta^2 A \cos(\beta x) - \beta^2 B \sin(\beta x) + \beta^2 C \cosh(\beta x) + \beta^2 D \sinh(\beta x)$

【帶入邊界條件】

1. 由 $f(0) = 0$：
   $f(0) = A(1) + B(0) + C(1) + D(0) = A + C = 0 \implies C = -A$

核心觀念

質量慣性矩矩陣的主慣性矩與主軸，分別由矩陣的特徵值與單位特徵向量決定：

• 主慣性矩：$I$ 的特徵值 $\lambda$
• 主軸方向：對應於 $\lambda$ 的特徵向量
• 對稱慣性矩矩陣的不同特徵值，其特徵向量彼此正交

已知

$$I= \begin{bmatrix} 6&-2\\ -2&3 \end{bmatrix}$$

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(a) 主質量慣性矩與主軸

1. 求特徵值

特徵值滿足

$$\det(I-\lambda I_2)=0$$

其中 $I_2$ 為二階單位矩陣，因此

$$\det \begin{bmatrix} 6-\lambda&-2\\ -2&3-\lambda \end{bmatrix} =0$$

展開得

$$(6-\lambda)(3-\lambda)-4=0$$ $$18-9\lambda+\lambda^2-4=0$$ $$\lambda^2-9\lambda+14=0$$

因式分解：

$$(\lambda-7)(\lambda-2)=0$$

所以兩個主質量慣性矩為

$$\lambda_1=7,\qquad \lambda_2=2$$

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2. 求 $\lambda_1=7$ 對應的主軸

代入特徵方程

$$(I-7I_2)\mathbf{v}_1=0$$

即

$$\begin{bmatrix} -1&-2\\ -2&-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$$

由第一列得

$$-x-2y=0$$

取 $x=2,\ y=-1$，得到特徵向量

$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}$$

其長度為

$$\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$$

因此單位主軸向量取為

$$\mathbf{e}_1= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}$$

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3. 求 $\lambda_2=2$ 對應的主軸

代入特徵方程

$$(I-2I_2)\mathbf{v}_2=0$$

即

$$\begin{bmatrix} 4&-2\\ -2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$$

由第一列得

$$4x-2y=0$$

因此

$$y=2x$$

取 $x=1,\ y=2$，得到特徵向量

$$\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$$

其長度為

$$\|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

所以單位主軸向量取為

$$\mathbf{e}_2= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$$

兩主軸確實互相垂直：

$$\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2 = \frac{1}{5}(2\cdot1+(-1)\cdot2)=0$$

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(b) 將外加扭矩表示於主軸座標

已知

第 4 題詳解

一、核心觀念

本題考查傅立葉分析的兩種主要形式：

1. 傅立葉級數（Fourier series）：將週期函數分解成基頻與整數倍頻率的正弦、餘弦波。
2. 傅立葉轉換（Fourier transform）：將非週期訊號分解成連續頻率上的複數指數波。

兩者的共同觀念是：複雜訊號可以表示為許多不同頻率之簡單波形的線性組合。

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二、(a) 傅立葉級數與傅立葉轉換

1. 傅立葉級數

設 $f(t)$ 為週期為 $T$ 的週期函數，基本角頻率為

$$\omega_0=\frac{2\pi}{T}.$$

傅立葉級數的三角形式為

$$f(t)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos(n\omega_0t) +b_n\sin(n\omega_0t) \right],$$

其中係數由下列公式決定：

$$a_0=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\,dt,$$ $$a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\cos(n\omega_0t)\,dt,$$ $$b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\sin(n\omega_0t)\,dt.$$

積分區間可選擇任意長度為 $T$ 的區間。這些公式成立的根本原因是不同頻率的正弦、餘弦函數彼此正交。

傅立葉級數也可寫成複數形式：

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t},$$ $$c_n=\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t)e^{-jn\omega_0t}\,dt.$$

其中 $c_n$ 同時包含第 $n$ 次諧波的振幅與相位資訊。

例：對稱方波的傅立葉級數

考慮週期為 $2\pi$ 的方波：

$$f(t)= \begin{cases} 1, & 0<t<\pi,\\ -1, & -\pi<t<0, \end{cases}$$

並以週期 $2\pi$ 延拓。

此函數是奇函數，因此

$$a_0=0,\qquad a_n=0.$$

只需計算 $b_n$：

$$b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.$$

由於 $f(t)$ 與 $\sin(nt)$ 皆為奇函數，其乘積為偶函數，因此

$$\begin{aligned} b_n &=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(nt)\,dt\\ &=\frac{2}{\pi} \left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^\pi\\ &=\frac{2}{n\pi}\left[1-\cos(n\pi)\right]\\ &=\frac{2}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]. \end{aligned}$$

因此

$$b_n= \begin{cases} \dfrac{4}{n\pi}, & n\text{ 為奇數},\\ 0, & n\text{ 為偶數}. \end{cases}$$

方波的傅立葉級數為

$$\boxed{ f(t)=\frac{4}{\pi} \left( \sin t+\frac{1}{3}\sin 3t +\frac{1}{5}\sin 5t+\cdots \right) }.$$

此結果表示方波可由基頻、三次諧波、五次諧波等奇次諧波疊加而成。在跳躍不連續點，傅立葉級數收斂至左右極限的平均值；方波在不連續點的級數值為 $0$。

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2. 傅立葉轉換

對非週期訊號 $x(t)$，採用角頻率 $\omega$ 的傅立葉轉換定義：

$$X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt.$$

逆傅立葉轉換為

$$x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega.$$

其中：

• $x(t)$ 是時域訊號；
• $X(\omega)$ 是頻域表示；
• $|X(\omega)|$ 表示各頻率成分的大小；
• $\arg X(\omega)$ 表示各頻率成分的相位。