112 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《近代物理》

觀念與公式

1. 光圈值（f-number, $N$）：定義為鏡頭焦距 $f$ 與光圈孔徑直徑 $D$ 之比值：
   $N = \frac{f}{D} \implies D = \frac{f}{N}$
2. 進光能量與曝光量：
   單位時間進光能量 $P$ 正比於光圈面積 $A \propto D^2 \propto \frac{1}{N^2}$。
   總曝光能量 $E$ 為單位時間進光能量與曝光時間 $t$ 的乘積：
   $E = P \times t \propto \frac{t}{N^2}$

此題考驗對光學中馬氏角（Brewster's angle）的理解、計算及其在偏振現象中的應用。

核心觀念：

1. 馬氏角 (Brewster's Angle)：當光從一種介質入射到另一種介質的界面時，如果入射角等於馬氏角，則反射光將是完全線偏振的，且偏振方向垂直於入射平面。此時，折射角與入射角之和為 90 度。
2. 馬氏角公式: 由馬氏定律 ($\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{n_2}{n_1}$) 和馬氏角條件 ($\theta_i + \theta_r = 90^\circ$ 或 $\theta_r = 90^\circ - \theta_i$) 推導得出。
   將 $\theta_r = 90^\circ - \theta_i$ 代入折射定律：
   $\frac{\sin \theta_i}{\sin (90^\circ - \theta_i)} = \frac{n_2}{n_1}$
   $\frac{\sin \theta_i}{\cos \theta_i} = \frac{n_2}{n_1}$
   $\tan \theta_i = \frac{n_2}{n_1}$
   因此，馬氏角 $\theta_B$ 的公式為 $\tan \theta_B = \frac{n_2}{n_1}$，其中 $n_1$ 是入射介質的折射率，$n_2$ 是折射介質的折射率。
3. 偏振態:
   • 入射光（未偏振）包含平行（p-polarized）與垂直（s-polarized）兩種偏振分量。
   • 在馬氏角入射時，反射光是完全垂直偏振（s-polarized）的。
   • 折射光則包含平行偏振分量，且其垂直偏振分量也可能存在。
   • 在馬氏角入射時，反射光與折射光之間夾角為 90 度。

解題過程：

(a) 馬氏角 $\theta_B$ 的意義 (10%)
馬氏角（Brewster's angle, $\theta_B$）是指當光線從一種透明介質入射到另一種透明介質的界面時，如果入射角恰好等於馬氏角，那麼從界面反射回來的光將是完全線偏振光，且其電場振動方向垂直於入射平面。在這種情況下，折射角與入射角之和為 90 度。這個現象對於理解和利用光的偏振非常重要，例如在偏光眼鏡的設計中。

(b) 計算馬氏角 $\theta_B$ (10%)
題目給定兩種物質的折射率：
入射介質的折射率 $n_1 = 1$ (通常代表空氣或真空)。
折射介質的折射率 $n_2 = 1.33$ (通常代表水)。

根據馬氏角公式：
$\tan \theta_B = \frac{n_2}{n_1}$
$\tan \theta_B = \frac{1.33}{1} = 1.33$

計算 $\theta_B$：
$\theta_B = \arctan(1.33)$

觀念說明

燈泡每秒輻射出的光能（光功率 $P$）為總功率乘以發光效率：
$P = P_{\text{總}} \times \eta$

單一黃光光子的能量為：
$E = \frac{hc}{\lambda}$

每秒發射的光子數 $N$ 即為光功率除以單一光子能量：
$N = \frac{P}{E} = \frac{\eta P_{\text{總}} \lambda}{hc}$

---

詳細計算

已知數據：

• 總功率 $P_{\text{總}} = 100 \text{ W} = 100 \text{ J/s}$
• 發光效率 $\eta = 5.0\% = 0.05$
• 波長 $\lambda = 550 \text{ nm} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$

核心觀念

本題考查金屬的 Sommerfeld 自由電子模型：

• 金屬導電電子近似為在三維空間自由運動的非交互作用電子。
• 電子是自旋 $1/2$ 的費米子，遵守 Pauli 不相容原理。
• $T=0$ 時電子由低能量能態依序填滿，最高被佔據能量為費米能量 $E_F$。
• 有限溫度下，單一量子態的平均佔據率服從 Fermi–Dirac 分布。

---

(a) 自由電子模型的假設與成功

基本假設

1. 金屬中的價電子脫離個別原子束縛，形成可在金屬內自由移動的電子氣。

2. 正離子晶格只提供固定的正電背景，使整體維持電中性；電子所感受到的週期性晶格勢能先予以忽略。

3. 電子之間的交互作用忽略，電子的單粒子能量為

   $$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$$

4. 電子在兩次碰撞之間自由運動，碰撞主要來自晶格振動、雜質與邊界，通常以平均碰撞時間 $\tau$ 描述。

5. 電子是不可分辨的自旋 $1/2$ 費米子，遵守 Pauli 不相容原理；每一個完整的量子態最多容納一個電子。若只看空間軌域，因自旋簡併，每個軌域最多容納兩個電子。

6. 金屬可視為體積為 $V$ 的三維大盒子，採週期性邊界條件。

模型的成功

• 可解釋金屬具有高電導率，並得到 Drude 型結果

  $$\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}.$$

• 可說明電子同時傳遞電流與熱，並得到 Wiedemann–Franz 定律

  $$\frac{\kappa}{\sigma T} =L_0 =\frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_B}{e}\right)^2.$$

• Sommerfeld 模型可解釋金屬電子熱容量很小，且低溫時呈

  $$C_e\propto T$$

  而非古典理論預測的溫度無關結果。

• 可說明費米能量、費米動量、費米速度，以及金屬電子的量子簡併特性。

• 可定性解釋部分金屬的負 Hall 係數與 Pauli 順磁性。

其主要限制是忽略晶格週期勢能，因此無法完整說明能帶、能隙、半導體與絕緣體等現象。

---

(b) 費米能量的推導

設金屬為邊長 $L$ 的立方體，體積為 $V=L^3$。週期性邊界條件使動量分量只能取

$$p_x=\frac{h}{L}n_x,\qquad p_y=\frac{h}{L}n_y,\qquad p_z=\frac{h}{L}n_z.$$

因此，在動量空間中，單一自旋的量子態間隔所占體積為

$$\left(\frac{h}{L}\right)^3=\frac{h^3}{V}.$$

考慮電子的兩種自旋狀態，每一個動量態有兩重自旋簡併。$T=0$ 時，電子填滿動量空間中半徑為 $p_F$ 的費米球，因此

$$N =2\left(\frac{V}{h^3}\right) \left(\frac{4\pi p_F^3}{3}\right).$$

整理得

$$N=\frac{8\pi Vp_F^3}{3h^3}.$$

電子密度定義為

$$n=\frac{N}{V},$$

所以

$$n=\frac{8\pi p_F^3}{3h^3},$$

進而得到費米動量

$$p_F=h\left(\frac{3n}{8\pi}\right)^{1/3}.$$

費米能量是費米球表面電子的動能：

$$E_F=\frac{p_F^2}{2m}.$$

代入 $p_F$：

$$\boxed{ E_F=\frac{h^2}{2m} \left(\frac{3n}{8\pi}\right)^{2/3} }.$$

等價地，利用 $p_F=\hbar k_F$，也可寫成

$$k_F=(3\pi^2n)^{1/3}, \qquad E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}.$$

---

(c) $T=0\ \mathrm{K}$ 時費米能量的意義

嚴格地說，$T=0$ 時並不是每一個電子都具有 $E_F$。電子的能量由低到高分布於

$$0\leq E\leq E_F,$$

其中最高能量電子的能量為 $E_F$。

原因如下：

1. 電子是費米子，每一個完整量子態最多只能放入一個電子。
2. $T=0$ 時沒有熱能提供激發，系統必須處於最低總能量狀態。
3. 因此電子由最低能量態開始依序填入，直到所有電子填完為止。
4. 最後一個被佔據的能量就是 $E_F$。

零溫時的分布為階梯函數：

$$f(E)= \begin{cases} 1,&E<E_F,\\ 0,&E>E_F. \end{cases}$$

物理意義

• $E_F$ 是 $T=0$ 時最高被佔據的單粒子能量。

• 它是費米球的邊界能量，對應費米動量

  $$p_F=\sqrt{2mE_F}$$

  與費米速度

  $$v_F=\frac{p_F}{m}.$$

• 在理想自由電子系統中，$E_F$ 等於零溫化學勢：

  $$\mu(0)=E_F.$$

  也就是在零溫下增加一個電子所需的化學能尺度。

• $E_F$ 不等於金屬的功函數。若真空能階為 $E_{\mathrm{vac}}$，功函數為

  $$\Phi=E_{\mathrm{vac}}-E_F.$$

---

(d) 電子分布函數 $f(E)$ 的推導

設能量為 $E_i$ 的一組能態共有 $g_i$ 個，其中放有 $N_i$ 個電子。由 Pauli 不相容原理，

$$0\leq N_i\leq g_i.$$

將 $g_i$ 個能態選出 $N_i$ 個放置電子的方法數為

$$W_i=\binom{g_i}{N_i}.$$

總方法數為

$$W=\prod_i W_i.$$

在熱平衡時，系統取最概然分布，也就是使熵

(a) Hund's rules（洪特規則）

核心觀念

洪特規則用來判定多電子原子的基態電子組態，特別是基態的總自旋角動量 $S$、總軌道角動量 $L$ 與總角動量 $J$。原子項符號寫成

$${}^{2S+1}L_J$$

其中 $2S+1$ 為自旋多重度，$L=0,1,2,3,\cdots$ 分別以 $S,P,D,F,\cdots$ 表示，而

$$J=|L-S|, |L-S|+1,\cdots,L+S.$$

解題方法

判定基態時依序使用三條規則：

1. 總自旋 $S$ 最大者能量最低。
   也就是讓未成對電子的自旋盡量平行，使自旋多重度 $2S+1$ 最大。這與交換作用及泡利不相容原理有關。

2. 在相同 $S$ 下，總軌道角動量 $L$ 最大者能量最低。

3. 判定 $J$ 的最低能階：

   • 次殼層少於半滿時，最小的 $J$ 能量最低：
     $J=|L-S|.$
   • 次殼層超過半滿時，最大的 $J$ 能量最低：
     $J=L+S.$
   • 半滿次殼層通常有 $L=0$，因此 $J=S$。

第三條規則源自自旋—軌道耦合，其能量修正與

$$\mathbf L\cdot\mathbf S =\frac{1}{2}\left[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)\right]\hbar^2$$

有關，且少於半滿與超過半滿時的有效耦合常數符號相反。

例子與解題技巧

以 $p^2$ 為例：

• 先取最大總自旋：$S=1$。
• 在 $S=1$ 下取最大 $L$：$L=1$，即 $P$ 項。
• 因為 $p$ 次殼層少於半滿，取最小 $J$：$J=0$。

因此基態項符號為

$${}^3P_0.$$

快速判斷時，務必記住順序是「先最大 $S$，再最大 $L$，最後依半滿程度判定 $J$」。洪特規則主要用來判定基態，不能任意套用於所有激發態。

---

(b) Selection rules（選擇定則）

核心觀念

選擇定則說明量子態之間的躍遷何時具有非零躍遷機率。對最常見的電偶極躍遷（electric dipole transition, E1），躍遷強度正比於

$$\left|\langle f|\mathbf d|i\rangle\right|^2,$$

其中 $\mathbf d=-e\mathbf r$ 為電偶極矩。若此矩陣元素為零，該躍遷在電偶極近似下即為禁戒躍遷。

解題方法

在單電子近似下，E1 躍遷的主要選擇定則為：

$$\Delta l=\pm1,$$ $$\Delta m_l=0,\pm1,$$ $$\Delta s=0.$$

也就是軌道角動量量子數必須改變一個單位，自旋不改變。由於電偶極算符 $\mathbf r$ 具有奇宇稱，因此還必須滿足宇稱改變：

$$\pi_f=-\pi_i.$$

對採用 $LS$ 耦合的多電子原子，常用形式為：

$$\Delta S=0,$$ $$\Delta L=0,\pm1, \qquad L=0\not\leftrightarrow L'=0,$$ $$\Delta J=0,\pm1, \qquad J=0\not\leftrightarrow J'=0,$$ $$\Delta M_J=0,\pm1.$$

此外，躍遷仍須滿足能量守恆：

$$h\nu=E_i-E_f.$$

例子與解題技巧

• $2p\rightarrow1s$：$\Delta l=-1$，且宇稱改變，屬於允許的 E1 躍遷。
• $2s\rightarrow1s$：$\Delta l=0$，且宇稱沒有改變，因此為 E1 禁戒躍遷。
• 若外加電場沿 $z$ 軸，相關擾動為 $z$，因此只涉及 $\Delta m=0$ 的耦合。

選擇定則是「強躍遷」的判斷工具；禁戒不代表絕對不會發生。磁偶極躍遷、電四極躍遷，以及自旋—軌道混合，都可能使禁戒線以較弱強度出現。判斷時先確認題目討論的是 E1、磁偶極或其他多極躍遷，不能混用不同躍遷的定則。

---

(c) de Broglie wavelength（德布羅意波長）

核心觀念

德布羅意提出，所有具有動量的物質粒子也具有波動性，其波長為

$$\lambda=\frac{h}{p},$$

其中 $h$ 是普朗克常數，$p$ 是粒子的動量。相對論量子關係還包括