112 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學》

核心觀念

本題考查均勻流與偶極流（doublet）疊加形成的圓柱繞流。假設：

• 均勻來流速度為 $U$，方向沿 $+x$ 軸；
• 圓柱半徑為 $a$，圓心位於原點；
• 流體為不可壓、無黏、無旋的勢流；
• 無循環流（circulation），因此不考慮渦流項。

圓柱表面必須滿足不可穿透條件：

$$u_r(r=a)=0$$

---

解題方法

1. 建立流函數

沿 $+x$ 方向的均勻流，其流函數為

$$\psi_U=Ur\sin\theta$$

為使圓柱表面 $r=a$ 成為流線，加入強度適當的偶極流：

$$\psi_D=-\frac{Ua^2}{r}\sin\theta$$

兩者疊加後，圓柱外部的總流函數為

$$\boxed{\psi =U\left(r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta}$$

流函數可加任意常數，本題取常數為零。於圓柱表面 $r=a$：

$$\psi(a,\theta) =U\left(a-\frac{a^2}{a}\right)\sin\theta=0$$

因此圓柱表面 $\psi=0$，符合不可穿透條件。

---

2. 求速度分布

在極座標中，速度分量與流函數的關係為

$$u_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}$$ $$u_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}$$

由

$$\psi=U\left(r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta$$

可得徑向速度：

$$u_r =\frac{1}{r} U\left(r-\frac{a^2}{r}\right)\cos\theta$$

因此

$$\boxed{ u_r =U\left(1-\frac{a^2}{r^2}\right)\cos\theta }$$

切向速度為

$$u_\theta =-U\left(1+\frac{a^2}{r^2}\right)\sin\theta$$

所以

$$\boxed{ u_\theta =-U\left(1+\frac{a^2}{r^2}\right)\sin\theta }$$

這就是圓柱外部 $r\geq a$ 的速度分布。

---

3. 圓柱表面的速度

在圓柱表面 $r=a$：

$$u_r(a,\theta) =U(1-1)\cos\theta=0$$

符合不可穿透條件。

切向速度為

$$u_\theta(a,\theta) =-U(1+1)\sin\theta$$

因此

$$\boxed{ u_\theta(a,\theta)=-2U\sin\theta }$$

表面速度大小為

$$\boxed{ |u_s|=2U|\sin\theta| }$$

當 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$ 時，表面速度大小達最大值：

Reynolds Transport Theorem (RTT) 是一個非常重要的定理，它提供了一個將「物質隨時間變化的微分方程式」轉換為「控制體積內物質隨時間變化的積分方程式」的數學工具。簡單來說，它連結了物質的「物質導數」（material derivative，描述一個固定質點的性質變化）和「控制體積導數」（rate of change within a control volume，描述一個固定空間區域內物質的變化）。

RTT 的核心應用在於流體力學中的守恆定律（質量守恆、動量守恆、能量守恆）的建立。這些守恆定律最初是以拉格朗日觀點（Lagrangian viewpoint）描述的，即追蹤一個流體質點的運動。然而，在分析實際的流體系統時，我們通常更關心一個固定空間區域（控制體積）內的現象，例如一個泵浦、一個管道彎頭或一個噴嘴。

RTT 的應用主要體現在以下幾個方面：

1. 從質點觀點推導控制體積觀點的守恆定律：
   • 質量守恆（連續方程式，Continuity Equation）：RTT 可以用來證明，對於一個任意的控制體積，其內質量的淨變化率等於通過其表面流入或流出的質量率。

這兩個向量是描述流體運動的關鍵微分算子，分別代表了流體的「散度」（divergence）和「旋度」（curl）。它們在流體動力學中具有重要的物理意義。

1. 散度 (Divergence) $\nabla \cdot \vec{V}$：

   • 數學定義：散度是一個純量算子，它衡量一個向量場在某一點的「向外散開」的程度。對於速度向量場 $\vec{V}$，$\nabla \cdot \vec{V}$ 表示在某一點單位體積內，流體離開該點的淨體積流率。
   • 物理意義：
     • 正值 ($\nabla \cdot \vec{V} > 0$)：表示該點是流體的「源」（source），流體從該點向外擴散或膨脹。例如，在一個膨脹的流體（如氣體加熱膨脹）中，散度為正。
     • 負值 ($\nabla \cdot \vec{V} < 0$)：表示該點是流體的「匯」（sink），流體匯聚到該點。例如，在一個壓縮的流體中，散度為負。
     • 零值 ($\nabla \cdot \vec{V} = 0$)：表示該點是「不可壓縮」的。對於不可壓縮流體，流體進入某個體積的總體積流率等於離開的總體積流率，沒有淨的體積膨脹或收縮。在連續方程式（質量守恆）中，對於不可壓縮流體，$\nabla \cdot \vec{V} = 0$ 是核心條件。
   • 在流體力學中的應用：散度是連續方程式（質量守恆）的核心部分。對於不可壓縮流體，散度為零。對於可壓縮流體，散度與密度的時間變化率有關。

2. 旋度 (Curl) $\nabla \times \vec{V}$：

   • 數學定義：旋度是一個向量算子，它衡量一個向量場在某一點的「旋轉」趨勢。

此題要求利用 Navier-Stokes 方程式推導兩平行板間的穩定層流速度分佈。這是一個經典的 Couette 流問題的變形，其中上下兩板以相反方向運動，且壓力梯度為零。

1. 建立座標系與假設：

• 我們建立一個笛卡兒座標系 $(x, y, z)$，其中 x 軸平行於板的方向，y 軸垂直於板的方向（向上），z 軸垂直於頁面。
• 流體是不可壓縮且黏滯的。
• 流動是穩定的（時間無關），即 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
• 流動是層流（laminar flow）。
• 流動是二維的，只在 x 和 y 方向有速度分量，且速度不隨 z 方向變化。即 $\vec{V} = (u(x, y), v(x, y), 0)$。
• 板是無限長的，因此速度和壓力不隨 x 方向變化。即 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
• 題目指出 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
• 唯一的體力是流體重量。在 y 方向，重力為 $-g$（假設重力沿負 y 方向，或假設重力沿負 y 方向，與 y 軸向上相反）。若重力沿負 y 方向，則 $\vec{g} = (0, -g, 0)$。

2. 寫出 Navier-Stokes 方程式（不可壓縮流體，常物性）：
在笛卡兒座標系下，不可壓縮流體的 Navier-Stokes 方程式為：
$\rho \left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{V} + \rho \vec{g}$
其中 $\rho$ 是密度，$\mu$ 是動力黏度，$\vec{g}$ 是重力加速度。

3. 應用假設簡化 Navier-Stokes 方程式：

• 動量守恆（x 方向）：
  $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$
  根據假設：$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$, $u \frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $v \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ (因為 $u$ 只與 $y$ 有關), $w=0$, $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$, $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$, $g_x = 0$。
  因此，x 方向的動量方程式簡化為：
  $0 = 0 + \mu \left( 0 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0 \right) + 0$
  $\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = 0$
  由於 $\mu \ne 0$，所以 $\frac{d^2 u}{d y^2} = 0$。

• 動量守恆（y 方向）：
  $\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right) + \rho g_y$
  根據假設：$\frac{\partial v}{\partial t} = 0$, $u \frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $v \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ (因為 $v$ 只與 $y$ 有關), $w=0$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial z} = 0$。
  重力為 $\vec{g} = (0, -g, 0)$，所以 $g_y = -g$。
  因此，y 方向的動量方程式簡化為：

核心觀念

本題考查軸承內潤滑油的黏滯剪力。由於軸以速度 $V$ 移動，且題目指定間隙內速度分布為線性，因此可採用牛頓黏性定律：

$$\tau=\mu\frac{dV}{dy}$$

線性速度分布下，

$$\frac{dV}{dy}=\frac{V}{h}$$

其中 $h$ 為潤滑油膜厚度。軸表面受到的黏滯阻力為

$$P=\tau A$$

接觸面積為軸的側表面積：

$$A=\pi DL$$

解題方法與計算

已知：

• 軸徑：$D=30\text{ mm}=0.030\text{ m}$
• 軸承長度：$L=0.5\text{ m}$
• 潤滑油間隙：$h=0.35\text{ mm}=3.5\times10^{-4}\text{ m}$
• 軸速：$V=4\text{ m/s}$
• 運動黏度：$\nu=7.0\times10^{-4}\text{ m}^2/\text{s}$
• 比重：$SG=0.8$

水的密度取 $\rho_{\text{water}}=1000\text{ kg/m}^3$，因此潤滑油密度為

$$\rho=SG\cdot\rho_{\text{water}} =0.8(1000) =800\text{ kg/m}^3$$

運動黏度與動力黏度的關係為

核心觀念

本題使用靜止流體的壓力關係：

$$\Delta p=\rho g\Delta z$$

重量 $W$ 施加在活塞上所增加的壓力為：

$$\Delta p=\frac{W}{A_p}$$

其中 $A_p$ 為活塞面積。

解題方法

斜管內液面由點 $(1)$ 上升至點 $(2)$，沿管長上升 $0.2\ \text{m}$，斜管與水平夾角為 $30^\circ$，因此垂直上升高度為

$$\Delta z=0.2\sin 30^\circ=0.1\ \text{m}$$

由於管內與汽缸內皆為同一種油，且液面上方皆承受大氣壓，活塞下方因液面上升所增加的壓力為

$$\Delta p=\rho g\Delta z$$

代入 $\rho=800\ \text{kg/m}^3$：

$$\Delta p =800(9.81)(0.1) =784.8\ \text{Pa}$$

活塞直徑為 $0.2\ \text{m}$，其面積為

此題主要考驗學生對流體加速度的理解，包括局部加速度（local acceleration）和對流加速度（convective acceleration），以及如何根據給定的速度分佈來計算它們。題目給出了一個沿 x 方向的速度分佈模型 $V(x) = ax + b$，並在兩個點給定了具體的速度值和位置。

1. 理解加速度的組成：
流體質點的總加速度 $\vec{a}$ 可以分解為兩個部分：

• 局部加速度 (Local Acceleration)：描述流體質點在某固定點的速度隨時間的變化率。對於定常流（steady flow），局部加速度為零。
• 對流加速度 (Convective Acceleration)：描述流體質點由於空間位置的改變而引起的速度變化。它取決於速度場的空間梯度以及質點的運動。

在三維空間中，對於速度向量 $\vec{V}(x, y, z, t)$，總加速度的 x 分量為：
$a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}$
其中 $u, v, w$ 分別是速度在 x, y, z 方向的分量。
第一項 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 是局部加速度。
後三項 $u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}$ 是對流加速度。

2. 分析題目給定的條件：

• 流動是定常的（constant flow），這意味著 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。因此，局部加速度為零。
• 速度分佈僅沿 x 方向，且與 x 位置有關：$V_x(x) = V(x) = ax + b$。
• 速度在 y 和 z 方向為零，即 $v=0$，$w=0$。
• 我們需要計算在點 (1) $(x_1=0)$ 和點 (2) $(x_2=1)$ 的局部加速度、對流加速度和總加速度。

3. 確定速度分佈中的常數 $a$ 和 $b$：
已知：

• 在點 (1)：$x_1 = 0 \text{ m}$, $V_1 = 5 \text{ m/s}$。
• 在點 (2)：$x_2 = 1 \text{ m}$, $V_2 = 20 \text{ m/s}$。

根據 $V(x) = ax + b$：

• 在點 (1)：$V(0) = a(0) + b = b = 5 \text{ m/s}$。
• 在點 (2)：$V(1) = a(1) + b = a + b = 20 \text{ m/s}$。

將 $b=5$ 代入第二個方程式：$a + 5 = 20 \implies a = 15 \text{ m/s}^2$。
所以，速度分佈為 $V(x) = 15x + 5$ (單位：m/s)。

4. 計算加速度：

• 局部加速度 (Local Acceleration):
  由於流動是定常的，局部加速度為零。
  對於 x 方向的速度 $u = V(x) = 15x + 5$，局部加速度 $a_{local, x} = \frac{\partial u}{\partial t} = 0$。
  這個值在任何位置（包括點 (1) 和點 (2)）都是零。

• 對流加速度 (Convective Acceleration):
  對於 x 方向的速度 $u = V(x) = ax + b$，且 $v=0, w=0$。
  對流加速度的 x 分量為：
  $a_{conv, x} = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}$
  由於 $v=0, w=0$，且 $u = V(x)$ 只與 x 有關，則 $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$ 和 $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$。
  所以，對流加速度的 x 分量簡化為：
  $a_{conv, x} = u \frac{\partial u}{\partial x} = V(x) \frac{dV}{dx}$
  我們有 $V(x) = ax + b$，所以 $\frac{dV}{dx} = a = 15 \text{ m/s}^2$。
  因此，對流加速度為：
  $a_{conv, x} = (ax+b) \times a = a(ax+b)$
  代入 $a=15$ 和 $b=5$：
  $a_{conv, x} = 15(15x+5)$

  • 在點 (1) ($x_1 = 0$) 的對流加速度：