112 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《動力學》

本題考查圓周運動與能量守恆定律。

(a) 求最低點瞬間繩子的張力

在最低點 ($\theta = 0$)，球受到重力 $mg$ 和繩子的張力 $T$。由於球在做圓周運動，合力提供向心力。
由牛頓第二運動定律，在徑向方向上：
$\sum F_r = m a_r$
$T - mg = m \frac{v^2}{L}$
其中 $m$ 是球的質量， $v$ 是球的速度， $L$ 是繩子的長度。
已知 $m = 2$ kg， $v = 4$ m/s， $g = 9.8$ m/s²。從圖中可知繩子長度 $L = 2$ m。
將數值代入：
$T - (2)(9.8) = 2 \frac{(4)^2}{2}$
$T - 19.6 = 2 \frac{16}{2}$
$T - 19.6 = 16$
$T = 16 + 19.6 = 35.6 \text{ N}$
【答案】最低點瞬間繩子的張力為 35.6 N。

(b) 求球擺動停止的角度

當球擺動到某個角度 $\theta$ 時，速度瞬間為零，此時球會暫時停止。這可以用能量守恆定律來分析。
我們將最低點 ($\theta = 0$) 的位置設為零勢能位準。
初始狀態（最低點）：動能 $K_i = \frac{1}{2}mv^2$，勢能 $U_i = 0$。

核心觀念

本題考查平面剛體的相對速度與相對加速度。先利用連桿接點 $C$ 的速度，求出 $BC$、$CD$ 的角速度；再利用同一接點的加速度求角加速度，最後由 $CD$ 繞固定點 $D$ 轉動，計算點 $E$ 的速度與加速度。

取逆時針為角速度、角加速度正方向，座標取向右為 $x$ 軸正向、向上為 $y$ 軸正向。由圖可讀得：

$$\vec r_{B/A}=(0,0.4)\ \text{m},\qquad \vec r_{C/B}=(0.7,-0.4)\ \text{m},\qquad \vec r_{C/D}=(-0.4,0)\ \text{m},\qquad \vec r_{E/D}=(0.7,0)\ \text{m}$$

已知 $\omega_{AB}=20\ \text{rad/s}$、$\alpha_{AB}=-100\ \text{rad/s}^2$。

解題方法

(a) 求 $BC$、$CD$ 的角速度

剛體上兩點的相對速度關係為

$$\vec v_C=\vec v_B+\boldsymbol{\omega}_{BC}\times\vec r_{C/B}$$

點 $B$ 繞固定點 $A$ 轉動，因此

$$\vec v_B=\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\vec r_{B/A}=(-8,0)\ \text{m/s}$$

代入 $BC$ 的相對速度式：

$$\vec v_C=(-8,0)+\omega_{BC}(0.4,0.7)$$

另一方面，$C$ 隨桿 $CD$ 繞固定點 $D$ 轉動：

$$\vec v_C=\boldsymbol{\omega}_{CD}\times\vec r_{C/D}=(0,-0.4\omega_{CD})$$

比較 $x$ 分量與 $y$ 分量：

$$-8+0.4\omega_{BC}=0 \quad\Rightarrow\quad \omega_{BC}=20\ \text{rad/s}$$ $$0.7\omega_{BC}=-0.4\omega_{CD} \quad\Rightarrow\quad \omega_{CD}=-35\ \text{rad/s}$$

因此 $BC$ 逆時針轉動，$CD$ 順時針轉動。

(b) 求 $BC$、$CD$ 的角加速度

固定點轉動的加速度為

$$\vec a=\boldsymbol{\alpha}\times\vec r-\omega^2\vec r$$

先求點 $B$ 的加速度：

$$\vec a_B =\boldsymbol{\alpha}_{AB}\times\vec r_{B/A} -\omega_{AB}^2\vec r_{B/A} =(40,-160)\ \text{m/s}^2$$

核心觀念

本題考查固定軸轉動剛體的：

• 固定點 $O$ 的力矩方程式
• 平行軸定理
• 質心平移加速度
• 牛頓第二定律求鉸鏈反力

桿由靜止釋放，因此初始瞬間角速度 $\omega=0$，質心加速度只有切向加速度。

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1. 求桿的角加速度

桿長 $L=100\ \text{m}$，質量 $m=50\ \text{kg}$，桿繞端點 $O$ 轉動。

由平行軸定理，

$$I_O=I_G+m\left(\frac{L}{2}\right)^2$$

且

$$I_G=\frac{mL^2}{12}$$

因此

$$I_O=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4} =\frac{mL^2}{3}$$

以 $O$ 點取力矩。重力作用於質心，力臂的水平距離為 $\frac{L}{2}\cos\theta$，故

$$\sum M_O= -mg\left(\frac{L}{2}\cos\theta\right)$$

取逆時針為正，轉動方程式為

$$-mg\frac{L}{2}\cos\theta=I_O\alpha$$

代入 $I_O=\frac{mL^2}{3}$：

$$\alpha =-\frac{3g\cos\theta}{2L}$$

在 $\theta=30^\circ$ 時，

$$\alpha =-\frac{3(9.81)\cos30^\circ}{2(100)} =-0.127\ \text{rad/s}^2$$

負號表示順時針方向。因此角加速度大小為

$$\boxed{\alpha=0.127\ \text{rad/s}^2\ \text{（順時針）}}$$

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2. 求質心加速度

質心位置相對於 $O$ 為

$$\vec r_G =\frac{L}{2}\cos\theta\,\mathbf i -\frac{L}{2}\sin\theta\,\mathbf j$$

由於初始瞬間 $\omega=0$，

$$\vec a_G=\boldsymbol{\alpha}\times\vec r_G$$

所以

$$a_{Gx}=\alpha\frac{L}{2}\sin\theta$$ $$a_{Gy}=\alpha\frac{L}{2}\cos\theta$$

代入 $\alpha=-\frac{3g\cos\theta}{2L}$：

本題考查連動機構的能量守恆與虛功原理，涉及圓盤滾動無滑動條件。

系統的自由度與運動學關係
該系統是一個雙連桿機構，由兩個相同的連桿 $AB$ 和 $BC$ 以及兩個圓盤 $A$ 和 $C$ 組成。
兩個連桿的長度皆為 $L=3$ m。
兩個圓盤的質量皆為 $m_d = 10$ kg，半徑皆為 $r = 0.5$ m。
兩個連桿的質量皆為 $m_b = 8$ kg。
圓盤 $A$ 和 $C$ 的轉動慣量 $I_{dA} = I_{dC} = m_d r^2 / 2$。
連桿 $AB$ 和 $BC$ 的轉動慣量 $I_{AB} = I_{BC} = m_b L^2 / 12$。

當系統從靜止釋放時，兩個連桿和圓盤會一起運動。
$\theta$ 是連桿與水平線的夾角。
圓盤 $A$ 和 $C$ 的質心位置：
圓盤 $A$ 的質心 $O_A$ 在點 $A$。
圓盤 $C$ 的質心 $O_C$ 在點 $C$。
由於圓盤滾動無滑動，圓盤質心的速度與角速度有關。

讓我們定義系統的廣義座標。
可以選擇 $\theta$ 作為廣義座標。
當 $\theta$ 從 $60^\circ$ 變化到 $30^\circ$ 時，系統的能量變化。

能量守恆
系統的總能量 $E = T + U$，其中 $T$ 是動能，$U$ 是勢能。
初始狀態：$\theta_0 = 60^\circ$， $v_{A0} = 0$, $v_{C0} = 0$, $\omega_{AB0} = 0$, $\omega_{BC0} = 0$。
最終狀態：$\theta = 30^\circ$。

勢能計算
我們選擇最低點（當 $\theta = 0$ 時）作為零勢能位準。
或者，我們可以選擇圓盤 $A$ 的中心點作為零勢能位準。
讓我們選擇圓盤 $A$ 的質心 $A$ 作為零勢能位準。
連桿 $AB$ 的質心 $G_{AB}$ 在 $A$ 點上方 $L/2$ 處。
連桿 $BC$ 的質心 $G_{BC}$ 在 $B$ 點下方 $L/2$ 處。
圓盤 $C$ 的質心 $C$ 的高度。

讓我們以 $A$ 點為參考點，高度為 0。
連桿 $AB$ 的質心 $G_{AB}$ 的高度：$h_{G_{AB}} = (L/2)\sin\theta$。
連桿 $BC$ 的質心 $G_{BC}$ 的高度：
點 $B$ 的高度：$h_B = L\sin\theta$。
點 $C$ 的高度：$h_C$。
圓盤 $C$ 的質心 $C$ 的高度：$h_C = h_B + (L/2)\sin\theta = L\sin\theta + (L/2)\sin\theta = (3/2)L\sin\theta$。
連桿 $BC$ 的質心 $G_{BC}$ 相對於 $B$ 的位置是 $(L/2)\sin\theta$ 向下。
所以 $h_{G_{BC}} = h_B - (L/2)\sin\theta = L\sin\theta - (L/2)\sin\theta = (L/2)\sin\theta$。

總勢能 $U = m_{G_{AB}} g h_{G_{AB}} + m_{G_{BC}} g h_{G_{BC}} + m_{dC} g h_C$
$U = m_b g (L/2)\sin\theta + m_b g (L/2)\sin\theta + m_d g (3/2)L\sin\theta$
$U = m_b g (L/2)\sin\theta + m_b g (L/2)\sin\theta + m_d g (3/2)L\sin\theta$
$U = (m_b L/2 + m_b L/2 + (3/2)m_d L)\sin\theta g$
$U = (m_b L + (3/2)m_d L) g \sin\theta$
$U = L (m_b + (3/2)m_d) g \sin\theta$。

代入數值：
$L = 3$ m, $m_b = 8$ kg, $m_d = 10$ kg, $g = 9.8$ m/s²。
$U = 3 (8 + (3/2)10) (9.8) \sin\theta = 3 (8 + 15) (9.8) \sin\theta$
$U = 3 (23) (9.8) \sin\theta = 69 \times 9.8 \sin\theta = 676.2 \sin\theta$ Joules。

初始勢能 $U_0 = 676.2 \sin(60^\circ) = 676.2 \times (\sqrt{3}/2) \approx 676.2 \times 0.866 \approx 585.75$ J。
最終勢能 $U = 676.2 \sin(30^\circ) = 676.2 \times 0.5 = 338.1$ J。

動能計算
系統的總動能 $T = T_{AB} + T_{BC} + T_{dA} + T_{dC}$。
$T_{dA} = 0$ (因為圓盤 $A$ 的質心不動)。
$T_{dC}$ 是圓盤 $C$ 的動能。
$T_{AB}$ 是連桿 $AB$ 的動能。
$T_{BC}$ 是連桿 $BC$ 的動能。

圓盤 $C$ 的質心是 $C$ 點。
$v_C$ 是 $C$ 點的速度。
$C$ 點的高度是 $h_C = (3/2)L\sin\theta$。
$v_C = \frac{d h_C}{dt} = (3/2)L \cos\theta \dot{\theta}$。
$C$ 點的角速度 $\omega_{dC}$。
由於圓盤 $C$ 滾動無滑動， $v_C = \omega_{dC} r$。
$\omega_{dC} = v_C / r = ((3/2)L \cos\theta \dot{\theta}) / r$。
$T_{dC} = \frac{1}{2} m_d v_C^2 + \frac{1}{2} I_{dC} \omega_{dC}^2$
$T_{dC} = \frac{1}{2} m_d ((3/2)L \cos\theta \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} (m_d r^2 / 2) (\frac{(3/2)L \cos\theta \dot{\theta}}{r})^2$
$T_{dC} = \frac{1}{2} m_d (9/4)L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{4} m_d r^2 \frac{(9/4)L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2}{r^2}$
$T_{dC} = \frac{1}{2} m_d (9/4)L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{4} m_d (9/4)L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2$
$T_{dC} = \frac{3}{2} m_d (9/4)L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2 = \frac{27}{8} m_d L^2 \cos^2\theta \dot{\theta}^2$。
代入數值：$m_d = 10$ kg, $L = 3$ m, $r = 0.5$ m。
$T_{dC} = \frac{27}{8} (10) (3^2) \cos^2\theta \dot{\theta}^2 = \frac{270}{8} \times 9 \cos^2\theta \dot{\theta}^2 = \frac{2430}{8} \cos^2\theta \dot{\theta}^2 = 303.75 \cos^2\theta \dot{\theta}^2$。

連桿 $AB$ 的質心 $G_{AB}$ 的速度。
$h_{G_{AB}} = (L/2)\sin\theta$。
$v_{G_{AB}} = \frac{d h_{G_{AB}}}{dt} = (L/2)\cos\theta \dot{\theta}$。
$T_{AB} = \frac{1}{2} m_b v_{G_{AB}}^2 + \frac{1}{2} I_{AB} \omega_{AB}^2$。
$\omega_{AB} = \dot{\theta}$。
$I_{AB} = m_b L^2 / 12$。
$T_{AB} = \frac{1}{2} m_b ((L/2)\cos\theta \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} (m_b L^2 / 12) \dot{\theta}^2$
$T_{AB} = \frac{1}{2} m_b (L^2/4)\cos^2\theta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{24} m_b L^2 \dot{\theta}^2$
$T_{AB} = (\frac{1}{8} m_b L^2 \cos^2\theta + \frac{1}{24} m_b L^2) \dot{\theta}^2$。
代入數值：$m_b = 8$ kg, $L = 3$ m。
$T_{AB} = (\frac{1}{8} \times 8 \times 3^2 \cos^2\theta + \frac{1}{24} \times 8 \times 3^2) \dot{\theta}^2$
$T_{AB} = (9 \cos^2\theta + 3) \dot{\theta}^2$。

連桿 $BC$ 的質心 $G_{BC}$ 的速度。
$h_{G_{BC}} = (L/2)\sin\theta$。
$v_{G_{BC}} = (L/2)\cos\theta \dot{\theta}$。
$T_{BC} = \frac{1}{2} m_b v_{G_{BC}}^2 + \frac{1}{2} I_{BC} \omega_{BC}^2$。
$\omega_{BC} = \dot{\theta}$。
$I_{BC} = m_b L^2 / 12$。
$T_{BC} = \frac{1}{2} m_b ((L/2)\cos\theta \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} (m_b L^2 / 12) \dot{\theta}^2$
$T_{BC} = (\frac{1}{8} m_b L^2 \cos^2\theta + \frac{1}{24} m_b L^2) \dot{\theta}^2$。
$T_{BC} = (9 \cos^2\theta + 3) \dot{\theta}^2$。

總動能 $T = T_{AB} + T_{BC} + T_{dC}$
$T = 2 \times (9 \cos^2\theta + 3) \dot{\theta}^2 + 303.75 \cos^2\theta \dot{\theta}^2$
$T = (18 \cos^2\theta + 6) \dot{\theta}^2 + 303.75 \cos^2\theta \dot{\theta}^2$
$T = (321.75 \cos^2\theta + 6) \dot{\theta}^2$。

能量守恆方程
$T_0 + U_0 = T + U$
初始狀態：$\theta_0 = 60^\circ$, $\dot{\theta}_0 = 0$。
$T_0 = 0$。
$U_0 = 676.2 \sin(60^\circ) \approx 585.75$ J。

最終狀態：$\theta = 30^\circ$, $\dot{\theta}$ 是我們要找的。
$T = (321.75 \cos^2(30^\circ) + 6) \dot{\theta}^2$
$T = (321.75 (\sqrt{3}/2)^2 + 6) \dot{\theta}^2 = (321.75 (3/4) + 6) \dot{\theta}^2$
$T = (241.3125 + 6) \dot{\theta}^2 = 247.3125 \dot{\theta}^2$。
$U = 676.2 \sin(30^\circ) = 338.1$ J。

$0 + 585.75 = 247.3125 \dot{\theta}^2 + 338.1$
$247.3125 \dot{\theta}^2 = 585.75 - 338.1 = 247.65$
$\dot{\theta}^2 = 247.65 / 247.3125 \approx 1.00136$
$\dot{\theta} = \sqrt{1.00136} \approx 1.00068$ rad/s。