112 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《電磁學》

核心觀念

本題考查：

• 安培定律
• 均勻電流密度
• 圓柱對稱性
• 磁場方向的右手定則

導線為半徑 $R$ 的長直圓柱，總電流為 $I$，且電流在截面上均勻分布。要求導線內部、距離軸心 $r$ 處的磁場，其中 $0\le r\le R$。

解題方法與推導

由於導線很長且具有圓柱對稱性，距離軸心相同的位置，磁場大小相同，磁場方向沿圓周切線方向，即 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 方向。

均勻電流密度為

$$J=\frac{I}{\pi R^2}.$$

取半徑為 $r$ 的圓形安培迴路，且位於導線內部。此迴路所包住的電流為

$$I_{\mathrm{enc}}=J\pi r^2 =\frac{I}{\pi R^2}\pi r^2 =I\frac{r^2}{R^2}.$$

依安培定律，

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} =\mu_0 I_{\mathrm{enc}}.$$

在半徑 $r$ 的圓形迴路上，磁場大小為定值，且 $\mathbf B$ 與 $d\mathbf l$ 同方向，因此

$$B(2\pi r)=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2}.$$

解得導線內部的磁場：

$$\boxed{ B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r } \qquad (0\le r\le R).$$

以向量表示為

核心觀念

本題考查導體靜電平衡的兩個基本性質：

1. 導體內部的電場為零：
   $\mathbf{E}=0$

2. 靜電平衡時，導體為等電位體，因此導體內部各點的電位相同。

球殼半徑為 $R$、總電荷為 $Q$，且取無限遠處電位為零。由球對稱性，電荷均勻分布於半徑 $R$ 的球面上。

解題方法

以球心為中心、半徑為 $r$ 的高斯球分析電場。

1. 球殼外部：$r>R$

高斯定律為

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

當 $r>R$ 時，高斯球包住全部電荷 $Q$，因此

$$E(4\pi r^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$

得到

$$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$

以無限遠處電位 $V(\infty)=0$ 為基準，球殼外部電位為

$$V(r)=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$$

因此

$$V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}, \qquad r\ge R$$

在球殼表面 $r=R$，

$$V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}$$

2. 球殼內部：$r<R$

當 $r<R$ 時，高斯球未包住任何電荷，因此

$$Q_{\text{enc}}=0$$

由高斯定律可得

$$E(r)=0$$

導線內電流密度與軸向電場為

$$\mathbf J=\frac{I}{\pi b^2}\hat{\mathbf z}, \qquad \mathbf E=\frac{\mathbf J}{\sigma} =\frac{I}{\sigma\pi b^2}\hat{\mathbf z}.$$

導線表面 $r=b$ 的磁場為

$$\mathbf H=\frac{I}{2\pi b}\hat{\boldsymbol\phi}.$$

故 Poynting 向量

$$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H =-\frac{I^2}{2\pi^2\sigma b^3}\hat{\mathbf r},$$

方向徑向向內，表示電磁能由導線表面流入並轉化為焦耳熱。

核心觀念

本題考查光線在介質交界面的折射定律（斯涅耳定律），以及光由高折射率介質射向低折射率介質時的臨界角。

斯涅耳定律為

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

其中角度均相對於界面法線量度。當光由折射率較高的介質射向較低的介質，且折射光恰好沿界面前進時，入射角稱為臨界角 $\theta_c$，滿足

$$\sin\theta_c=\frac{n_{\text{低}}}{n_{\text{高}}}$$

解題方法

依原圖，光線從空氣射入玻璃平板，再由玻璃射回空氣；兩側空氣的折射率皆為 $n_1=1$，玻璃折射率為 $n_2=1.52$。入射角為 $\theta_1=10^\circ$。

(a) 求 $\theta_2$ 與 $\theta_3$

在空氣與玻璃的上表面套用斯涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$ $$\sin\theta_2=\frac{1}{1.52}\sin 10^\circ$$

核心觀念

馬呂斯定律描述線偏振光通過分析器後的透射強度。設偏振光強度為 $I_0$，偏振方向與分析器透光軸的夾角為 $\theta$，則

$$I=I_0\cos^2\theta$$

布儒斯特角則滿足

$$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$$

其中 $n_1$ 是入射介質折射率，$n_2$ 是被照射介質折射率。題目未另給入射介質，依一般設定取空氣，故 $n_1\approx 1$。

解題方法

(a) 馬呂斯定律

分析器只透射電場在透光軸方向的分量。若入射電場振幅為 $E_0$，透射振幅為 $E_0\cos\theta$。光強與電場振幅平方成正比，因此

$$\frac{I}{I_0}=\frac{(E_0\cos\theta)^2}{E_0^2} =\cos^2\theta$$

所以透射光強為 $I=I_0\cos^2\theta$。兩軸平行時透射光最強；兩軸互相垂直時透射光強為零。

(b) 繪製強度變化圖

將 $\theta=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 代入馬呂斯定律，可得：

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$I$	$I_0$	$0$	$I_0$	$0$	$I_0$

圖形為 $\cos^2\theta$ 曲線：