112 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《半導體元件物理》

核心觀念

本題考查量子侷限效應。電子侷限在寬度為 $L$ 的量子井中，若以無限深方形量子井近似，第 $n$ 個能階相對於量子井底部的能量差為

$$\Delta E_n=\frac{n^2h^2}{8m^*L^2}$$

其中：

• $n$：量子數；
• $h$：普朗克常數；
• $m^*$：量子井中的電子有效質量；
• $L$：量子井寬度。

題目所稱的 barrier height $\Delta E_n$，依所給資料應解讀為第 $n$ 個量子化能階相對於井底的能量高度。若要求有限深量子井的真正能障高度，還需要提供井外材料的能帶位差。

解題方法

已知

$$m^*=0.087m_e$$

因此

$$m^*=0.087(9.1\times10^{-31}) =7.917\times10^{-32}\ \text{kg}$$

量子井寬度為

$$L=15\ \text{nm}=15\times10^{-9}\ \text{m}$$

先計算基態 $n=1$：

$$\Delta E_1 =\frac{(1)^2(6.624\times10^{-34})^2} {8(7.917\times10^{-32})(15\times10^{-9})^2}$$

其中

$$(15\times10^{-9})^2=225\times10^{-18}\ \text{m}^2$$

所以

$$\Delta E_1 =3.08\times10^{-21}\ \text{J}$$

換算為電子伏特：

$$\Delta E_1 =\frac{3.08\times10^{-21}} {1.6\times10^{-19}} \ \text{eV}$$ $$\boxed{\Delta E_1\approx1.92\times10^{-2}\ \text{eV}}$$

亦即

本題考查 p-n 接面的基本特性，包括載子濃度、空間電荷密度、電場在平衡（equilibrium）與開路（open circuit）狀態下的行為。

核心觀念：

1. 載子濃度 (Carrier Concentrations)：在半導體中，電子（$n$）和電洞（$p$）的濃度是決定其導電性質的關鍵。在 p 型半導體中，多數載子是電洞，少數載子是電子；在 n 型半導體中，多數載子是電子，少數載子是電洞。
2. 擴散與漂移 (Diffusion and Drift)：當不同濃度的載子接觸時，會發生擴散。同時，由於材料中的缺陷或雜質，也可能存在內建電場，導致載子發生漂移。
3. 空間電荷區 (Space Charge Region)：在 p-n 接面處，由於多數載子的擴散，會留下帶有固定電荷的離子（p 區留下受主離子，n 區留下施主離子），形成空間電荷區（或稱耗盡區）。
4. 內建電場 (Built-in Electric Field)：空間電荷區內的淨電荷會產生一個電場，此電場稱為內建電場。它會阻止多數載子的進一步擴散，並促使少數載子向對方區域漂移。
5. 平衡狀態 (Equilibrium)：當接面兩端的電壓為零，且沒有外加光照或熱源時，達到熱平衡狀態。此時，擴散電流與漂移電流在每個區域都達到平衡，淨電流為零。
6. 開路狀態 (Open Circuit)：在開路狀態下，接面兩端沒有外接電路，因此總電流為零。這通常發生在光照產生光電流時，接面兩端會產生一個光生電壓（Voc）。

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圖示說明：
圖中顯示一個 p-n 接面。
左側為 p 型區域：標示為 $p$，有多數載子電洞 ($h^+$) 和少數載子電子 ($e^-$)。
右側為 n 型區域：標示為 $n$，有多數載子電子 ($e^-$) 和少數載子電洞 ($h^+$)。
在接面中心，可以看到密集的帶負電的受主離子（在 p 區）和帶正電的施主離子（在 n 區），這是空間電荷區的來源。

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詳細說明：

(a) 載子濃度 (Carrier Concentrations)

• 平衡狀態 (Equilibrium):

  • 在 p 型區域：電洞濃度 $p \approx N_A$（受主濃度），電子濃度 $n = n_i^2 / N_A$。
  • 在 n 型區域：電子濃度 $n \approx N_D$（施主濃度），電洞濃度 $p = n_i^2 / N_D$。
  • 在空間電荷區（耗盡區）：由於載子被移除，電子和電洞的濃度都非常低，接近於本質載子濃度 $n_i$ 的數量級，但由於是耗盡區，其濃度效應不如擴散區顯著。
  • 整體而言，在 p 型區域，電洞是多數載子，$p \gg n$；在 n 型區域，電子是多數載子，$n \gg p$。

• 開路狀態 (Open Circuit):

  • 開路狀態通常與有外加條件（如光照）產生非平衡載子有關。如果假設是光照，那麼會產生額外的光生電子和光生電洞。
  • 在 p 型區域，光生電子會增加，總電子濃度變為 $n_p = n_p(\text{thermal}) + n_p(\text{photo})$。
  • 在 n 型區域，光生電洞會增加，總電洞濃度變為 $p_n = p_n(\text{thermal}) + p_n(\text{photo})$。
  • 如果沒有外加光照，只是單純討論開路電壓的情形（例如由溫度變化引起），那麼載子濃度分佈與平衡時類似，只是接面兩端會產生一個電壓，但這個電壓是為了使總電流為零而產生的。
  • 在非平衡狀態下，載子濃度會偏離其熱平衡值。

(b) 淨空間電荷密度 (Net Space Charge Density)

• 平衡狀態 (Equilibrium):
  • 在 p 型區域（遠離接面）：整體呈電中性，淨電荷密度為零。
  • 在 n 型區域（遠離接面）：整體呈電中性，淨電荷密度為零。
  • 在空間電荷區（耗盡區）：
    • 在 p 區靠近接面處，有帶負電的固定受主離子（$N_A^-$），電子濃度極低，因此淨電荷密度為負，$\rho \approx -q N_A$。
    • 在 n 區靠近接面處，有帶正電的固定施主離子（$N_D^+$），電洞濃度極低，因此淨電荷密度為正，$\rho \approx +q N_D$。

核心觀念

Si 摻入 GaAs 後，會依其取代的晶格位置呈現不同電性：

• Si 取代 Ga：Ga 為 IIIA 族，Si 為 IVA 族，多出一個電子，因此形成施體，屬於 donor。
• Si 取代 As：As 為 VA 族，Si 少一個價電子，因此形成受體，屬於 acceptor。

本題使用三個基本關係：

1. 施體與受體濃度：

   $N_D,\quad N_A$

2. 電中性條件：

   $p+N_D=n+N_A$

3. 質量作用定律：

   $np=n_i^2$

以下採用 GaAs 在 $300\ \text{K}$ 的常用參數：

$N_C=4.7\times10^{17}\ \text{cm}^{-3}$

$N_V=7.0\times10^{18}\ \text{cm}^{-3}$

$E_g=1.42\ \text{eV}$

$n_i\approx2.0\times10^6\ \text{cm}^{-3}$

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(a) 施體與受體濃度

Si 總濃度為

$N_{\text{Si}}=10^{20}\ \text{cm}^{-3}$

其中 $10\%$ 取代 Ga，形成 donor：

$N_D=0.10N_{\text{Si}}$

$$N_D=0.10(10^{20}) =1.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$$

其中 $90\%$ 取代 As，形成 acceptor：

$N_A=0.90N_{\text{Si}}$

$$N_A=0.90(10^{20}) =9.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$$

因此材料的淨摻雜性質為受體型，淨受體濃度為

$$N_A-N_D =9.0\times10^{19}-1.0\times10^{19}$$

$N_A-N_D=8.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$

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(b) 電子與電洞濃度

由電中性條件：

$p+N_D=n+N_A$

移項得

$p-n=N_A-N_D$

因此

$p-n=8.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$

再配合質量作用定律：

$np=n_i^2$

可令

$p=n+(N_A-N_D)$

代入 $np=n_i^2$：

$n\left[n+(N_A-N_D)\right]=n_i^2$

整理為

$n^2+(N_A-N_D)n-n_i^2=0$

其正值解為

$$n= \frac{-(N_A-N_D)+ \sqrt{(N_A-N_D)^2+4n_i^2}}{2}$$

由於

$N_A-N_D=8.0\times10^{19}\gg n_i$

可直接使用補償摻雜的近似：

$p\approx N_A-N_D$

所以

$p\approx8.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$

電子濃度為

$n=\frac{n_i^2}{p}$

$$n= \frac{(2.0\times10^6)^2} {8.0\times10^{19}}$$

$n\approx5.0\times10^{-8}\ \text{cm}^{-3}$

因此：

$\boxed{p\approx8.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}}$

$\boxed{n\approx5.0\times10^{-8}\ \text{cm}^{-3}}$

材料為高度補償但整體呈現強烈的 $p$ 型。

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(c) 費米能階位置

方法一：利用電洞濃度求費米能階

在非簡併、玻爾茲曼近似下：

$p=N_V\exp\left(\frac{E_V-E_F}{kT}\right)$

因此

$E_F-E_V=kT\ln\left(\frac{N_V}{p}\right)$

在 $300\ \text{K}$ 時：

$kT\approx0.0259\ \text{eV}$

代入 $N_V=7.0\times10^{18}\ \text{cm}^{-3}$ 與
$p=8.0\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$：

$$E_F-E_V =0.0259\ln\left( \frac{7.0\times10^{18}} {8.0\times10^{19}} \right)$$

核心觀念

本題考查本質半導體費米能階位置，以及摻雜後由費米能階反推載子濃度。

在非簡併、熱平衡條件下：

$$n=N_C\exp\left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right)$$ $$p=N_V\exp\left(-\frac{E_F-E_V}{kT}\right)$$

其中導帶與價帶有效狀態密度分別為

$$N_C\propto (m_n^*)^{3/2},\qquad N_V\propto (m_p^*)^{3/2}$$

本題假設雜質為室溫下完全游離的受體，且沒有補償型摻雜。

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(a) 本質費米能階相對於能隙中心的位置

本質半導體中電子與電洞濃度相等：

$$n=p$$

本質費米能階 $E_i$ 為

$$E_i=\frac{E_C+E_V}{2} +\frac{kT}{2}\ln\left(\frac{N_V}{N_C}\right)$$

由於

$$\frac{N_V}{N_C} = \left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right)^{3/2}$$

因此

$$E_i-\frac{E_C+E_V}{2} = \frac{3}{4}kT\ln\left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right)$$

題目給定

$$\frac{m_p^*}{m_n^*}=5$$

在 $T=300\ \text{K}$ 時，

$$kT=(8.617\times10^{-5})(300) \approx 0.02585\ \text{eV}$$

所以

$$E_i-E_{\text{mid}} = \frac{3}{4}(0.02585)\ln 5$$ $$E_i-E_{\text{mid}} \approx 0.0312\ \text{eV}$$

因此，本質費米能階位於能隙中心上方約 $0.031\ \text{eV}$，也就是稍微靠近導帶。

這個方向也符合物理直覺：因為 $m_p^*>m_n^*$，所以 $N_V>N_C$。為了使本質狀態下 $n=p$，費米能階必須向導帶方向上移。

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(b) 由費米能階位置求摻雜濃度

題目給定摻雜後費米能階位於能隙中心下方 $0.5\ \text{eV}$：

$$E_F=E_{\text{mid}}-0.5\ \text{eV}$$

而由(a)可知

$$E_i=E_{\text{mid}}+0.0312\ \text{eV}$$