108 年 國立中正大學光機電整合工程研究所《半導體元件物理》

核心觀念

本題考查霍爾效應的基本量：

1. 霍爾電壓與霍爾電場：
   $V_H=E_HW$

2. 電流密度：
   $J=\frac{I}{Wd}$

3. 霍爾係數：
   $R_H=\frac{E_H}{JB}$

4. 單一多數載子近似下：
   $|R_H|=\frac{1}{qN}$

5. 導電率與遷移率：
   $\sigma=qN\mu$

題目指定 $E_x$ 為霍爾電場，因此以 $x$ 方向為霍爾方向，寬度為 $W$；$y$ 方向為電流及縱向電壓方向，長度為 $L$。

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解題方法

(a) 霍爾電壓

霍爾電壓為霍爾電場乘以霍爾方向的寬度：

$$V_H=E_xW$$

已知

$$E_x=-16.5\ \text{mV/cm}=-0.0165\ \text{V/cm}$$ $$W=10^{-2}\ \text{cm}$$

因此

$$V_H=(-0.0165)(10^{-2}) =-1.65\times10^{-4}\ \text{V}$$

故霍爾電壓的大小為

$$\boxed{|V_H|=0.165\ \text{mV}}$$

負號表示霍爾電壓的極性，代表霍爾電場方向與所定義的正 $x$ 方向相反。

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(b) 導電型態

先求電流密度：

$$J_y=\frac{I_x}{Wd}$$

其中

$$I_x=0.5\ \text{mA}=5.0\times10^{-4}\ \text{A}$$ $$W=10^{-2}\ \text{cm},\qquad d=10^{-3}\ \text{cm}$$

所以

$$J_y=\frac{5.0\times10^{-4}} {(10^{-2})(10^{-3})} =50\ \text{A/cm}^2$$

霍爾係數為

$$R_H=\frac{E_x}{J_yB_z}$$

代入

$$B_z=6.5\times10^{-2}\ \text{T}$$

得

$$R_H= \frac{-0.0165}{(50)(6.5\times10^{-2})} =-5.08\times10^{-3}\ \text{cm}^3/\text{C}$$

單一載子模型中：

• $R_H>0$：P 型，主要載子為電洞
• $R_H<0$：N 型，主要載子為電子

因此本試片為

$$\boxed{\text{N 型半導體}}$$

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(c) 多數載子濃度

N 型半導體的多數載子為電子，其濃度可由霍爾係數求得：

$$n=\frac{1}{q|R_H|}$$

取

$$q=1.602\times10^{-19}\ \text{C}$$

因此

核心觀念

本題考查突變 $p$-$n$ 接面的熱平衡能帶圖、內建電位，以及理想二極體的電流－電壓特性。

熱平衡時，接面兩側的載子擴散與漂移達到平衡，因此整個接面的費米能階 $E_F$ 必須一致。若採用非簡併、完全游離的摻雜近似，內建電位為

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$$

其中 $k$ 是波茲曼常數，$q$ 是基本電荷，$T$ 是絕對溫度，$n_i$ 是本質載子濃度。

(a) 熱平衡能帶圖

以下以左側為 $p$ 區、右側為 $n$ 區。熱平衡時 $E_F$ 水平不變；$p$ 區的能帶相對較高，至 $n$ 區逐漸下降。能帶彎曲主要發生在空乏區。

能量 ↑

p 區              空乏區                 n 區
Ec  ───────────────╲________________________
EF  ────────────────────────────────────────  熱平衡費米能階
Ev  ───────────────╲________________________

      p 區能帶較高                         n 區能帶較低

$p$ 區的 $E_F$ 靠近價帶頂 $E_v$；$n$ 區的 $E_F$ 靠近導帶底 $E_c$。接面兩側的能帶邊緣位差與內建電位的關係為 $qV_{bi}$。

(b) 內建電位推導

在非簡併近似下，遠離空乏區的中性區載子濃度為

$$n_n \simeq N_D,\qquad p_p \simeq N_A$$

由熱平衡的質量作用定律 $np=n_i^2$，可得少數載子濃度

$$p_n=\frac{n_i^2}{N_D},\qquad n_p=\frac{n_i^2}{N_A}$$

內建電位等於接面兩側平衡載子濃度所對應的電位差，因此

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{n_n p_p}{n_i^2}\right)$$

代入 $n_n\simeq N_D$ 與 $p_p\simeq N_A$，得到

$$\boxed{V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)}$$

(c) 計算 $V_{bi}$

採用 300 K 矽的標準近似值 $n_i=10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$，並使用題目預期的非簡併接面公式。此時

$$\frac{kT}{q}\simeq 0.02585\ \mathrm{V}$$

摻雜濃度比值為

本題為名詞解釋題，涵蓋了雷射元件、半導體製程、特殊二極體、半導體物理概念以及金屬-半導體接面等不同領域。

【核心觀念】
理解各名詞的定義、結構、工作原理或製程特點。

【解題過程】

(a) GRIN-SCH multiple-quantum-well laser structure:
GRIN-SCH 是 "Graded-Index Separate Confinement Heterostructure" 的縮寫。
GRIN (Graded-Index)：指的是漸變折射率結構，通常由 Al 元素比例在不同層中漸變構成。它能將光限制在特定的區域，提高光限制效率。
SCH (Separate Confinement Heterostructure)：指的是獨立的約束結構。與傳統的單一量子井結構不同，SCH 將有源區 (active region，通常是多量子井) 與光約束層 (optical confinement layer) 分開。這有助於優化光學和電子學的約束，使得光限制和載子注入更有效率。
Multiple-quantum-well (MQW)：指的是多個量子井。量子井是由兩個較寬能隙的半導體夾著一個較窄能隙的半導體層構成。當量子井的厚度足夠薄（約數奈米）時，載子在垂直方向的運動會被量子化，形成離散的能階。MQW 結構可以增加雷射的增益，並允許在不同的波長範圍工作。
Laser structure：指構成雷射器的結構。通常包含增益介質 (gain medium)、光學諧振腔 (optical cavity) 等。

總結：GRIN-SCH MQW 雷射結構是一種高性能的半導體雷射結構，它結合了漸變折射率結構、獨立約束結構和多量子井結構，以實現高效的光約束、優化的載子注入和增益，從而提高雷射器的輸出功率、效率和波長可調性。

【答案】(a) GRIN-SCH MQW 雷射結構是一種先進的半導體雷射結構，其特點是採用漸變折射率 (GRIN) 的約束層和獨立的約束結構 (SCH)，並以多個量子井 (MQW) 作為雷射的有源區。這種結構能有效約束光和載子，提高雷射增益和效率。

(b) Float-zone process:
Float-zone (FZ) process，中文稱為直拉浮區法或區域熔煉法，是一種用於生產超高純度單晶矽的方法。
原理：

1. 將一根多晶矽棒垂直固定。
2. 使用感應加熱線圈或聚焦的光束，在棒的某一點產生一個狹窄的熔融區。
3. 慢慢地將熔融區沿著棒的軸線移動（例如從下往上移動）。
4. 當熔融區移動時，多晶矽棒的未熔部分被拉動，使其通過熔融區，重新凝固成單晶。
5. 雜質通常會溶解在熔融區，並隨著熔融區的移動而被帶到棒的一端，從而分離雜質，得到高純度的單晶矽。
   特點：

• 高純度：由於沒有坩堝接觸，可以避免坩堝帶來的污染，獲得極高純度的單晶矽。
• 無氧：製程可在真空或惰性氣體環境中進行，減少氧的含量。
• 適用於特定應用：特別適用於製造功率半導體元件、太陽能電池等對雜質含量要求極高的應用。
• 成本較高：相較於柴可拉斯基法 (Czochralski method)，FZ 法的生產效率較低，成本較高。

【答案】(b) Float-zone process 是一種生產超高純度單晶矽的方法，其原理是利用感應加熱等方式使多晶矽棒局部熔化，然後移動熔區，使熔化的矽流過並重新凝固成單晶。此法避免了坩堝污染，可獲得極高純度（低雜質含量）的單晶矽，常用於製造功率半導體和太陽能電池。

(c) IMPATT diode:
IMPATT 是 "Impact Avalanche Transit Time" 的縮寫。
IMPATT diode 是一種高功率、高頻率的半導體二極體，主要用於微波和毫米波的振盪器和放大器。
工作原理：

1. 載子產生：在二極體內部的高電場區域，電子或電洞會透過「衝擊游離 (Impact Ionization)」效應產生更多的電子-電洞對。
2. 雪崩擊穿 (Avalanche Breakdown)：衝擊游離效應會導致載子數量呈指數級增長，產生雪崩擊穿現象。
3. 渡越時間效應 (Transit Time Effect)：在二極體中存在一個渡越區 (drift region)，載子在此區域移動。當載子在這個區域移動時，會產生一個與外加電壓相位不同的電流，這種時間延遲（渡越時間）是其工作特性的關鍵。
4. 負阻效應 (Negative Resistance)：透過精巧的結構設計，使得在特定頻率範圍內，IMPATT diode 表現出負阻特性。這意味著當電壓增加時，電流反而減小，這使得它能夠與諧振腔耦合產生振盪。
   結構：通常是 p+-n-n+ 或 p+-p-n+ 的結構，包含一個強電場的擊穿區 (avalanche region) 和一個渡越區 (drift region)。

【答案】(c) IMPATT diode 是一種用於微波及毫米波應用的雪崩渡越時間二極體。其工作原理基於半導體內的衝擊游離雪崩擊穿效應產生載子，以及這些載子在渡越區移動時產生的渡越時間延遲效應。透過精心的結構設計，IMPATT diode 能夠在特定頻率下呈現負阻特性，可用於振盪器和放大器。

(d) Quasi-Fermi level:
在非熱平衡狀態下（例如有光照或高注入濃度時），半導體內的電子和電洞濃度分佈不再遵循單一的費米能階。為了描述這種狀態，引入了準費米能階 (Quasi-Fermi level)。
定義：

本題考察半導體晶圓 (wafer) 的加工和標記技術，特別是晶向的標示。

【核心觀念】
晶圓的加工過程中，為了方便辨識和定位，會在晶圓的邊緣切割出一個或多個平面，稱為 "flat"。這些 flat 的位置和數量對於確定晶圓的晶向和類型至關重要。

【解題過程】

(a) Primary flat 和 Secondary flat 的目的：
Primary flat (主平面)：

• 目的：主要用於標示晶圓的晶向 (crystal orientation) 和導電類型 (conductivity type)。
• 特徵：通常是沿著晶圓的 <110> 方向切割出來的一個較長平面。
• 意義：
  • 對於 n 型矽晶圓，主平面的方向通常與 <110> 方向一致。
  • 對於 p 型矽晶圓，主平面的方向通常與 <100> 方向一致（這點在 (b) 中會進一步說明）。
  • 它提供了一個基準點，方便後續的製程設備對準和辨識。
• 標準：在早期，主平面用於標示晶圓的晶向，但隨著技術發展，其標示方式可能有所變化。

Secondary flat (副平面)：

• 目的：主要用於標示晶圓的導電類型。
• 特徵：通常是沿著晶圓的 <112> 方向切割出來的一個較短平面，與主平面之間存在特定的角度關係。
• 意義：
  • 如果晶圓只有一個主平面，且主平面標示晶向，則副平面用於標示導電類型。
  • 對於 n 型矽晶圓，主平面與副平面之間的夾角約為 180 度（即相隔一個直徑）。
  • 對於 p 型矽晶圓，主平面與副平面之間的夾角約為 90 度。
• 現代標準：現代的晶圓標記標準（如 SEMI 標準）可能採用不同的方式，例如使用單一的 "notch" (切口) 來標示晶向和類型，或者採用多個 flat 來標示。但此題是基於較傳統的定義。

【答案】(a) Primary flat (主平面) 主要用於標示晶圓的晶向，例如指示 <110> 或 <100> 方向。Secondary flat (副平面) 主要用於標示晶圓的導電類型（n 型或 p 型）。

(b) 從 primary flat 和 secondary flat 識別 [100] p 型矽晶圓：
識別晶圓的晶向和導電類型，需要結合主平面和副平面的存在以及它們之間的相對位置。
識別步驟：

1. 尋找平面：觀察晶圓邊緣是否有切割出的平面。
2. 判斷數量和長度：
   • 如果只有一個較長的平面，這通常是主平面。
   • 如果還有一個較短的平面，這是副平面。
3. 判斷晶向和類型：
   • 標準的標示方式 (例如 1990 年代後的 SEMI 標準)：
     • [100] 晶向：
       • p 型：有一個較長的 Primary flat，其方向與晶圓的 <100> 晶向一致。
       • n 型：有一個較長的 Primary flat，其方向與晶圓的 <110> 晶向一致。
     • [111] 晶向：
       • p 型：有一個較長的 Primary flat，其方向與晶圓的 <111> 晶向一致。
       • n 型：有一個較長的 Primary flat，其方向與晶圓的 <110> 晶向一致。