108 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

理想橋式整流器會讓負載兩端的極性固定。本題負載右端為正、左端為負，但題目定義 $v_L$ 為左正右負，因此 $v_L$ 會是橋式輸出電壓的負值。二極體導通時視為短路，截止時視為開路。

解題方法

圖中交流源為 $V_s(t)=10\sin t$，上正下負；串聯的 $5\text{ V}$ 電池上負下正。以橋式電路下端為參考，電池使橋式電路上端電壓比交流源上端低 $5\text{ V}$，所以橋式輸入電壓為

$$v_{\mathrm{in}}(t)=10\sin t-5.$$

圖中負載 $R_L$ 接在橋式電路左右兩端，且 $v_L$ 標示左正右負；當橋式輸出右端為正時，$v_L$ 為負。

(a) 四顆二極體正常

輸入電壓正、負半週各有一組二極體導通，負載右端始終為正。因此

$$v_L(t)=-|v_{\mathrm{in}}(t)| =-|10\sin t-5|\text{ V}.$$

等價的分段式為

$$v_L(t)= \begin{cases} 5-10\sin t, & \sin t\ge \dfrac{1}{2},\\[4pt] 10\sin t-5, & \sin t<\dfrac{1}{2}. \end{cases}$$

每隔 $2\pi$ 重複一次。每週期的波形關鍵點如下，點與點之間依分段式連成平滑曲線：

$t$（模 $2\pi$）	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$v_L(t)$（V）	$-5$	$0$	$-5$	$0$	$-5$	$-15$	$-5$

核心觀念

本題考查：

• Thevenin 等效：$V_{\mathrm{th}}$ 為端點 $a,b$ 的開路電壓，$R_{\mathrm{th}}$ 為獨立源關閉後，從端點看入的等效電阻。
• Norton 等效：
  $I_{\mathrm{N}}=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}}$
• 負載接入後，可利用 Thevenin 或 Norton 等效電路求負載電流。

以下令端點 $a$ 為接地，並以 $V_b-V_a$ 定義端電壓。

(a) Thevenin 等效電路

1. 求開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$

端點 $a,b$ 開路時，右側 $6\text{ V}$ 電壓源沒有電流流過，因此其左端節點與中間節點電壓相同。

設左上節點電壓為 $V_x$，中間節點電壓為 $V_y$。由圖中 $5\text{ V}$ 電壓源上正下負，因此其上端電壓為 $5\text{ V}$。

對節點 $x$ 寫 KCL：

$$\frac{V_x}{2}+\frac{V_x}{2}+2+\frac{V_x-V_y}{1}=0$$

整理得：

$$2V_x-V_y+2=0$$

對節點 $y$ 寫 KCL。由於右側支路開路，右方 $1\Omega$ 電阻無電流：

$$\frac{V_y-V_x}{1}+\frac{V_y-5}{2}=0$$

整理得：

$$2V_y-2V_x-5=0$$

聯立：

$$V_x=-\frac{1}{4}\text{ V},\qquad V_y=\frac{3}{2}\text{ V}$$

右側 $6\text{ V}$ 電壓源左端為正、右端為負，因此：

$$V_y-V_b=6$$

所以：

$$V_b=V_y-6=1.5-6=-4.5\text{ V}$$

因為 $V_a=0$：

$$V_{\mathrm{th}}=V_b-V_a=-4.5\text{ V}$$

2. 求 Thevenin 電阻 $R_{\mathrm{th}}$

關閉所有獨立源：

• $5\text{ V}$ 電壓源短路；
• $6\text{ V}$ 電壓源短路；
• $2\text{ A}$ 電流源開路。

左上節點至地有兩個 $2\Omega$ 並聯：

$$2\Omega\parallel 2\Omega=1\Omega$$

因此中間節點至地有兩條路徑：

• 直接經 $2\Omega$；
• 經 $1\Omega+1\Omega=2\Omega$。

故：

$$R_{y\to a}=2\Omega\parallel 2\Omega=1\Omega$$

由端點 $b$ 至節點 $y$ 還有一個 $1\Omega$ 電阻，因此：

$$R_{\mathrm{th}}=1\Omega+1\Omega=2\Omega$$

所以 Thevenin 等效為：

$$\boxed{V_{\mathrm{th}}=-4.5\text{ V},\qquad R_{\mathrm{th}}=2\Omega}$$

負電壓表示若將電壓正端標在 $b$、負端標在 $a$，則 $b$ 點電位比 $a$ 點低 $4.5\text{ V}$。

(b) Norton 等效電路

由 Thevenin–Norton 關係：

題圖辨識與合理假設

附圖實際顯示的是 115 學年度第 1 題，並非題目所述的 108 年第 3 題 Fig. 3；因此以下依題目給定數值，假設電路為「$R$、$L$、$C$ 串聯，輸出電壓 $y$ 取在電容兩端」。

已知：

$$R=1\ \Omega,\qquad L=1\ \text{mH}=10^{-3}\ \text{H},\qquad C=1\ \text{mF}=10^{-3}\ \text{F}$$

核心觀念

本題使用拉普拉斯域阻抗與分壓公式：

$$Z_R=R,\qquad Z_L=sL,\qquad Z_C=\frac{1}{sC}$$

輸出取在電容兩端，因此

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{Z_C}{Z_R+Z_L+Z_C}$$

這是一個標準二階低通系統。

解題方法

（a）轉移函數

由阻抗分壓：

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\frac{1}{sC}} {R+sL+\frac{1}{sC}}$$

分子分母同乘 $sC$：

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{LCs^2+RCs+1}$$

代入 $R=1$、$L=10^{-3}$、$C=10^{-3}$：

$$LC=10^{-6},\qquad RC=10^{-3}$$

因此

$$\boxed{ H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{10^{-6}s^2+10^{-3}s+1} }$$

整理成標準形式：

$$\boxed{ H(s)=\frac{10^6}{s^2+1000s+10^6} }$$

與標準二階系統

$$H(s)=\frac{\omega_n^2} {s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$$

比較可得：

$$\omega_n=1000\ \text{rad/s}$$ $$2\zeta\omega_n=1000 \quad\Rightarrow\quad \zeta=0.5$$

因此系統為欠阻尼二階系統。

（b）電路 governing equation

由 KVL：

$$u(t)=v_R(t)+v_L(t)+y(t)$$

串聯電流為電容電流：

$$i(t)=C\frac{dy(t)}{dt}$$

因此

$$v_R(t)=Ri(t)=RC\frac{dy(t)}{dt}$$ $$v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt} =LC\frac{d^2y(t)}{dt^2}$$

代回 KVL：

$$u(t) = LC\frac{d^2y(t)}{dt^2} + RC\frac{dy(t)}{dt} + y(t)$$

代入數值：

$$10^{-6}\frac{d^2y}{dt^2} + 10^{-3}\frac{dy}{dt} + y = u$$

乘以 $10^6$：

$$\boxed{ \frac{d^2y}{dt^2} + 1000\frac{dy}{dt} + 10^6y = 10^6u }$$

（c）Bode plot

轉移函數為：

$$H(s)= \frac{\omega_n^2} {s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$$

其中：

$$\omega_n=1000\ \text{rad/s},\qquad \zeta=0.5$$

Magnitude

低頻時：

$$H(0)=1$$

所以低頻增益為：

$$20\log_{10}1=0\ \text{dB}$$

因為 $\zeta=0.5<1/\sqrt{2}$，系統具有共振峰。共振頻率為：

$$\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$$ $$\omega_r = 1000\sqrt{1-2(0.5)^2} = 707\ \text{rad/s}$$

共振峰值：

$$|H(j\omega_r)| = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} = 1.155$$

換算為 dB：

$$20\log_{10}(1.155)\approx 1.25\ \text{dB}$$

因此幅頻圖特徵為：

• $\omega\ll1000$：約 $0$ dB。
• $\omega\approx707$：約 $+1.25$ dB 共振峰。

核心觀念

本題考查運算放大器回授補償器的轉移函數，以及由極點、零點判讀 Bode 圖。一般需使用理想運算放大器條件：

$$v_+=v_-,\qquad i_+=i_-=0$$

並由阻抗比求得

$$\frac{U(s)}{E(s)}$$

其中電容阻抗為

$$Z_C=\frac{1}{sC}.$$

題目資訊不足

目前附上的掃描圖是「自動控制」考卷，內容為 RLC 電路、閉迴路系統與 Nyquist 判據，並非題目所述的「電子學第 4 題」；圖中沒有運算放大器、電容 $C$、電阻 $R_1\sim R_4$ 或輸入輸出端點。因此無法由現有圖片唯一判定電路拓樸，也無法確定轉移函數與 Bode 圖。

僅知道

$$C=1\,\mu\text{F},\quad R_1=100\,\text{k}\Omega,\quad R_2=10\,\text{k}\Omega,\quad R_3=1\,\text{k}\Omega,\quad R_4=100\,\Omega$$

仍不足以決定各元件位於輸入支路、回授支路或串聯補償支路。

解題方法

取得正確 Fig. 4 後，依下列步驟求解：

1. 將電容以阻抗

   $$Z_C=\frac{1}{sC}$$

   代入電路。

2. 對每個運算放大器套用虛短與虛斷條件。

3. 先求各級輸出，再相乘得到總轉移函數：