113 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《電子學》

核心觀念

本題考查具有有限電壓增益 $A_v$ 的反相運算放大器，以及輸入電阻定義：

$$R_i=\frac{V_i}{I_i}$$

由於題目給定放大器電壓增益為 $A_v=10$，不能直接使用理想運算放大器的虛短路條件 $v_-=v_+=0$。

設反相端電壓為 $v_x$。正相端接地，因此

$$v_+=0$$

運算放大器輸出為

$$v_o=A_v(v_+-v_x)=-10v_x$$

解題方法

在節點 $v_x$ 寫 KCL。運算放大器輸入端不取電流，因此：

$$\frac{v_x-V_i}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{v_x}{2\,\text{k}\Omega} +\frac{v_x-v_o}{20\,\text{k}\Omega}=0$$

代入 $v_o=-10v_x$：

$$\frac{v_x-V_i}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{v_x}{2\,\text{k}\Omega} +\frac{11v_x}{20\,\text{k}\Omega}=0$$

全部乘以 $20\,\text{k}\Omega$：

核心觀念

本題考查互補式推挽輸出級中，電晶體的導通判斷與飽和狀態分析。

當 $V_i=-10\text{ V}$ 時，下方的 $Q_2$（PNP）導通，上方的 $Q_1$ 截止。若 $Q_2$ 進入飽和，則：

$$V_{EC2,\text{sat}} \approx 0.2\text{ V}$$

由於 $Q_2$ 的集極接在 $-5\text{ V}$，其射極接輸出端，因此飽和時輸出電壓接近負電源，但高出 $0.2\text{ V}$。

解題方法

$Q_2$ 為 PNP 電晶體，其集極接於 $-5\text{ V}$，射極接於輸出端 $V_o$。

若 $Q_2$ 飽和，則射極電壓比集極高約 $0.2\text{ V}$：

$$V_o=V_{E2}=V_{C2}+V_{EC,\text{sat}}$$ $$V_o=-5+0.2=-4.8\text{ V}$$

接著驗證 $Q_2$ 確實有足夠的基極驅動電流。

因為 PNP 電晶體導通時：

$$V_{B2}=V_{E2}-0.7=-4.8-0.7=-5.5\text{ V}$$

由輸入端經過 $10\text{ k}\Omega$ 電阻流入基極的電流為：

核心觀念

要求輸出電阻 $R_{out}$ 時，將獨立輸入電壓源設為零，因此 $v_i=0$，上方 NMOS 的閘極為交流接地。設輸出端測試電壓為 $v_o$，並在輸出端注入測試電流 $i_x$。

忽略 MOSFET 的 $r_o$（題目未提供，視為無限大），MOSFET 小訊號跨導關係為

$$i_d=g_m v_{gs}$$

已知

$$g_m=2\ \text{mA/V}=2\times 10^{-3}\ \text{S},\qquad R_D=3\ \text{k}\Omega$$

解題方法

令上方 NMOS 的汲極與下方 NMOS 的閘極連接節點為 $v_x$。

由於上方 NMOS 的閘極接交流地：

$$v_{gs1}=0-v_o=-v_o$$

上方 NMOS 的小訊號電流方向由汲極流向源極，因此其電流為

$$i_{d1}=g_m(-v_o)=-g_m v_o$$

在節點 $v_x$ 寫 KCL。$3\text{ k}\Omega$ 電阻接交流地，而上方 NMOS 提供由輸出端流向 $v_x$ 的電流，因此

$$\frac{v_x}{3\text{ k}\Omega}-g_m v_o=0$$

得到

$$v_x=g_m(3\text{ k}\Omega)v_o$$

代入數值：

$$v_x=(2\text{ mA/V})(3\text{ k}\Omega)v_o=6v_o$$

核心觀念

本題使用理想運算放大器的兩項特性：

1. 輸入端電流為零：
   $i_+=i_-=0$

2. 負回授下具虛短路：
   $V_-=V_+$

其中，$R_{1f}$ 為反相端的回授電阻，$R_{2f}$ 則連接非反相端節點與接地。

解題方法

先求非反相端電壓 $V_+$。由於運算放大器輸入端不取電流，在非反相端節點套用 KCL：

$$\frac{V_+-2}{R_2} +\frac{V_+-(-2)}{R_2} +\frac{V_+}{R_{2f}}=0$$

代入 $R_2=20\,\text{k}\Omega$、$R_{2f}=40\,\text{k}\Omega$：

$$\frac{V_+-2}{20\,\text{k}\Omega} +\frac{V_++2}{20\,\text{k}\Omega} +\frac{V_+}{40\,\text{k}\Omega}=0$$

前兩項的輸入電壓互相抵消：

$$\frac{2V_+}{20\,\text{k}\Omega} +\frac{V_+}{40\,\text{k}\Omega}=0$$

因此：

$$V_+=0$$

利用虛短路：

$$V_-=V_+=0$$

接著在反相端節點套用 KCL。兩個 $1\text{ V}$ 電壓源皆經由 $R_1$ 接至反相端：

$$\frac{V_--1}{R_1} +\frac{V_--1}{R_1} +\frac{V_--V_o}{R_{1f}}=0$$

核心觀念

本題為 NMOS 電流鏡負載之共源級放大器，需使用：

• MOS 小訊號跨導：$g_m$
• MOS 輸出電導：$g_o=\dfrac{1}{r_o}$
• 小訊號節點分析
• 電流鏡的轉換與輸出電阻效應

$M_1$ 的閘極接輸入 $v_{in}$，$M_2$ 的閘極接固定偏壓 $V_B$，因此在交流小訊號下，$M_2$ 的閘極為接地。

解題方法

設左側二極體接法 PMOS 的閘極、汲極節點為 $v_x$，輸出端為 $v_{out}$。

已知

$$g_m=2\text{ mA/V}=2\text{ mS}$$ $$r_o=20\text{ k}\Omega$$

因此

$$g_o=\frac{1}{r_o} =\frac{1}{20\text{ k}\Omega} =50\ \mu\text{S}$$

1. 求電流鏡控制節點 $v_x$

在節點 $v_x$，$M_1$ 的小訊號汲極電流為

$$g_m v_{in}+g_o v_x$$

左側二極體接法 PMOS 對地提供的小訊號電流為

$$(g_m+g_o)v_x$$

套用 KCL：

$$g_m v_{in}+g_o v_x+(g_m+g_o)v_x=0$$

整理得

$$v_x =-\frac{g_m}{g_m+2g_o}v_{in}$$

若依照圖中元件匹配，並將二極體接法 PMOS 的跨導效應納入，節點增益可寫成

$$\frac{v_x}{v_{in}} =-\frac{g_m}{2(g_m+g_o)}$$

2. 求輸出端增益

輸出端由右側 PMOS 與 $M_2$ 的輸出電阻並聯，因此