113 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《半導體元件物理》

此題主要在考察對 p-n 接面在平衡狀態下之各種物理參數的理解與繪製能力，包含載子濃度、空間電荷、電場、電位以及載子電位能的分佈。

核心觀念：在 p-n 接面平衡時，由於濃度差驅動的擴散作用與內建電場驅動的漂移作用達成平衡，形成空間電荷區，並產生內建電位。

解題步驟：

(a) 載子濃度 (Carrier concentrations)

• 核心觀念： 在平衡狀態下，p 型區的少數載子（電子）濃度極低，接近本質濃度 $n_i$；n 型區的少數載子（電洞）濃度也極低，接近 $n_i$。多數載子濃度則由摻雜濃度決定，p 型區以電洞為主，n 型區以電子為主。在空間電荷區內，由於載子擴散至對側並複合，多數載子濃度會顯著下降，接近 $n_i$。
• 繪製：
  • 在 p 型區（$x < 0$）：電洞濃度 $p(x) \approx N_A$（遠大於 $n_i$），電子濃度 $n(x) \approx n_i^2 / N_A$（遠小於 $n_i$）。
  • 在 n 型區（$x > 0$）：電子濃度 $n(x) \approx N_D$（遠大於 $n_i$），電洞濃度 $p(x) \approx n_i^2 / N_D$（遠小於 $n_i$）。
  • 在空間電荷區（$-W_p < x < W_n$）：電子和電洞濃度都接近 $n_i$。
  • 圖形顯示電子濃度在 p 型區很高，在空間電荷區下降至 $n_i$，然後在 n 型區再次升高到 $N_D$。電洞濃度則相反，在 n 型區很高，在空間電荷區下降至 $n_i$，然後在 p 型區再次升高到 $N_A$。
  • 圖示中 log(n) 和 log(p) 相對於 x 的圖已給出，可依此推斷。在 p 型區 log(p) 高，log(n) 低；在 n 型區 log(n) 高，log(p) 低。空間電荷區兩者都較低。

(b) 淨空間電荷密度 (Net space charge density)

• 核心觀念： 空間電荷區是由未補償的固定離子電荷構成。在 p 型區，主要為帶負電的受主離子 $A^-$；在 n 型區，主要為帶正電的施主離子 $D^+$。在中性區，離子電荷被導電載子（電洞或電子）所補償。
• 繪製：
  • 在 p 型區中性區（$x < -W_p$）：淨電荷密度 $\rho(x) \approx 0$。
  • 在 n 型區中性區（$x > W_n$）：淨電荷密度 $\rho(x) \approx 0$。
  • 在空間電荷區（$-W_p < x < W_n$）：
    • 在 p 型區側（$-W_p < x < 0$）：淨電荷密度 $\rho(x) \approx -qN_A$（帶負電）。
    • 在 n 型區側（$0 < x < W_n$）：淨電荷密度 $\rho(x) \approx +qN_D$（帶正電）。
  • 圖形顯示在空間電荷區內，左側為負值，右側為正值，兩側的絕對值大小大致相同（若為對稱接面）。

(c) 電場 (The electric field across the pn junction)

• 核心觀念： 電場是由空間電荷區的淨電荷產生。根據高斯定律，電場與電荷密度的積分成正比。電場方向由正電荷指向負電荷。
• 繪製：
  • 在 p 型區中性區（$x < -W_p$）：電場 $E(x) \approx 0$。
  • 在 n 型區中性區（$x > W_n$）：電場 $E(x) \approx 0$。

此題主要考察晶體學中的指數表示法（密勒指數）以及平面間距的計算。

核心觀念：

1. 密勒指數 (Miller Indices)： 用來表示晶體中的平面和方向。平面指數 (hkl) 表示與三個晶軸相交的截距倒數，經過化簡後得到。
2. 晶面繪製： 在簡單立方晶格中，根據密勒指數繪製平面。
3. 平面間距 (Interplanar Spacing)： 相鄰平行晶面之間的垂直距離。對於簡單立方晶格，其公式為 $d_{hkl} = \frac{a_0}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$。

解題步驟：

(a) 繪製晶面 (Sketch the following planes)

• 核心觀念： 在簡單立方晶格（單位晶胞為立方體）中，晶軸為 x, y, z，長度均為 $a_0$。繪製晶面時，需找出該平面與三個晶軸的截距，然後取倒數並化簡得到 (hkl)。

  • (i) (100) 面：

    • 截距：與 x 軸交於 $a_0$ 處，與 y 軸和 z 軸平行（截距為無限大）。
    • 倒數：$1/a_0, 1/\infty, 1/\infty$。
    • 化簡：(1, 0, 0)。
    • 繪製：此平面即為由 (100)、(010)、(001) 四個頂點構成的立方體的一個面，例如 x-y 平面。

  • (ii) (111) 面：

    • 截距：與 x, y, z 三軸均交於 $a_0$ 處。
    • 倒數：$1/a_0, 1/a_0, 1/a_0$。
    • 化簡：(1, 1, 1)。
    • 繪製：此平面通過 (100), (010), (001) 三個頂點。在立方體內形成一個三角形。

  • (iii) (110) 面：

    • 截距：與 x 軸交於 $a_0$ 處，與 y 軸交於 $a_0$ 處，與 z 軸平行（截距為無限大）。
    • 倒數：$1/a_0, 1/a_0, 1/\infty$。
    • 化簡：(1, 1, 0)。
    • 繪製：此平面通過 (100) 和 (010) 頂點，並平行於 z 軸。在立方體內形成一個矩形。

此題主要在考察半導體導電率與電阻率的計算，以及摻雜濃度、載子遷移率對這些參數的影響。

核心觀念：

1. 導電率 (Conductivity, $\sigma$)： 描述材料導電能力的物理量，由自由載子濃度和載子遷移率決定。
   $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$
   其中 $q$ 是基本電荷 ($1.602 \times 10^{-19}$ C)，$n$ 是電子濃度，$p$ 是電洞濃度，$\mu_n$ 是電子遷移率，$\mu_p$ 是電洞遷移率。
2. 電阻率 (Resistivity, $\rho$)： 導電率的倒數，描述材料導電的難易程度。
   $\rho = \frac{1}{\sigma}$

解題步驟：

• 給定參數：

  • 施主雜質濃度 $N_d = 10^{15}$ cm⁻³。
  • 電子遷移率 $\mu_n = 1500$ cm²/V-s。
  • 電洞遷移率 $\mu_p = 500$ cm²/V-s。
  • 基本電荷 $q = 1.602 \times 10^{-19}$ C。

• 判斷載子濃度：

  • 此半導體為 n 型，因為掺雜的是施主雜質。
  • 在常溫下，對於 n 型半導體，多數載子濃度 $n \approx N_d$。
  • 少數載子濃度 $p$ 可以通過質量作用定律計算，$n \cdot p = n_i^2$。通常在一般的摻雜濃度下，少數載子濃度 $p \ll n$，可以忽略。
  • 因此，我們假設 $n \approx N_d = 10^{15}$ cm⁻³，而 $p \approx 0$（相較於 n）。

此題為名詞解釋題，考察對半導體元件與物理概念的基礎知識。

(a) Schottky diode (蕭特基二極體)

• 定義： 蕭特基二極體是一種利用金屬與半導體直接接觸形成的 PN 接面（或稱金屬-半導體接面），而不是傳統的半導體 P 型與 N 型材料形成的 PN 接面。
• 特性：
  • 低順向壓降 (Low Forward Voltage Drop)： 由於金屬的功函數和半導體的功函數差異形成一個較低的能障（Schottky Barrier），因此順向導通時所需的電壓較低（通常 0.2-0.5V，遠低於矽 PN 接面的 0.7V）。
  • 快速的開關速度 (Fast Switching Speed)： 蕭特基二極體不具有 PN 接面中存在的少數載子儲存效應（minority carrier storage effect），因為其導電機制主要是多數載子（如電子），這使得它在開關時的恢復時間非常短，適合用於高頻應用。
  • 反向漏電流較大 (Larger Reverse Leakage Current)： 相較於 PN 接面二極體，蕭特基二極體的反向漏電流通常較大。
• 應用： 高頻整流（如電源供應器）、開關電源、混頻器、檢測器等。

(b) Hall effect (霍爾效應)

• 定義： 當電流通過置於磁場中的導體或半導體時，在垂直於電流和磁場的方向上會產生一個電位差，此現象稱為霍爾效應。
• 原理： 電流在導體或半導體中流動時，載子（電子或電洞）在磁場作用下受到勞倫茲力 ($F_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$) 作用，使其偏向導體/半導體的一側。這導致一側積累了負電荷（電子）或正電荷（電洞），而另一側則帶相反的電荷。這種電荷的積累產生了一個橫向電場（霍爾電場），該電場產生的電場力 ($F_E = qE_H$) 會抵銷勞倫茲力，直到達到穩態。
• 應用：
  • 判斷載子類型： 霍爾電壓的極性可以判斷材料中多數載子的類型（正電壓表示 P 型，負電壓表示 N 型）。
  • 測量載子濃度： 根據霍爾係數 $R_H = 1/(nq)$ 或 $1/(pq)$，可以計算載子濃度。
  • 測量載子遷移率： 結合導電率的測量，可以計算載子遷移率。
  • 磁場感測器： 製作成霍爾感測器，用於測量磁場強度。

(c) Fermi-Dirac distribution (費米-狄拉克分佈)

• 定義： 費米-狄拉克分佈函數 $f(E)$ 描述了在熱平衡狀態下，一個電子在能量為 $E$ 的能階上被佔據的機率。
• 公式：
  $f(E) = \frac{1}{e^{(E - E_F) / (k_B T)} + 1}$
  其中：
  • $E$ 是能階的能量。
  • $E_F$ 是費米能級 (Fermi level)，代表了在絕對零度時電子被佔據的最高能級，或者在非絕對零度時，平均有 50% 機率被佔據的能級。
  • $k_B$ 是波茲曼常數。
  • $T$ 是絕對溫度。
• 特性：
  • 在 $T=0$ K 時，$f(E) = 1$ 對於 $E < E_F$，以及 $f(E) = 0$ 對於 $E > E_F$。
  • 在 $T>0$ K 時，當 $E = E_F$ 時，$f(E) = 1/2$。
  • 對於 $E \gg E_F$ (遠高於費米能級)，$f(E) \approx e^{-(E - E_F) / (k_B T)}$，接近 classical Boltzmann distribution。