113 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學》

本題考查牛頓黏滯定律與流體力學中的剪應力平衡概念。題目要求計算終端速度，代表物體所受的重力沿斜面方向的分力與流體產生的黏滯阻力達到平衡。

解題步驟：

1. 分析受力：

   • 物體質量 $m = 10$ kg。
   • 斜面傾角 $\theta = 20^\circ$。
   • 物體所受重力沿斜面方向的分力為 $F_g = mg \sin\theta$。
   • 物體與斜面之間的油膜厚度 $h = 0.1$ mm $= 0.1 \times 10^{-3}$ m。
   • 油的動力黏滯係數 $\mu = 0.35$ N-s/m²。
   • 接觸面積 $A = 0.1$ m²。

2. 計算重力沿斜面方向的分力：
   $F_g = (10 \text{ kg}) \times (9.81 \text{ m/s}^2) \times \sin(20^\circ)$
   $F_g \approx 98.1 \times 0.3420 \approx 33.55$ N

3. 建立黏滯阻力模型：
   假設速度分佈在油膜間是線性的，這表示在油膜的兩表面之間，速度從 0 (接觸斜面處) 變化到物體的速度 $V$ (接觸物體處)。
   根據牛頓黏滯定律，剪應力 $\tau$ 為：
   $\tau = \mu \frac{dV}{dy}$

核心觀念

本題考查靜止流體的壓力平衡與連通管原理：

• 同一靜止流體中，同一水平面上的壓力相等。
• 液面下深度為 $h$ 時，壓力增加量為 $\rho gh$。
• 活塞施加的表壓為
  $p_P=\frac{P}{A}$

右側水銀管上端與大氣相通，因此右側水銀自由液面的壓力為大氣壓。

解題方法

取左側水銀與水的交界面為基準面。

由右側水銀自由液面向下量測高度 $h$，交界面處的壓力為

$$p_{\text{界面}}=p_{\text{atm}}+\rho_{\text{Hg}}gh$$

另一方面，由活塞下方水面向下量測 $h_1$，活塞對水造成的壓力為

$$p_{\text{水面}}=p_{\text{atm}}+\frac{P}{A}$$

因此左側水銀與水交界面處的壓力為

$$p_{\text{界面}} = p_{\text{atm}}+\frac{P}{A}+\rho_wgh_1$$

兩式相等：

$$p_{\text{atm}}+\frac{P}{A}+\rho_wgh_1 = p_{\text{atm}}+\rho_{\text{Hg}}gh$$

消去大氣壓，整理得

本題考查二維流體的運動學，重點在於計算流體質點的加速度。

解題步驟：

1. 理解流體質點的加速度：
   在流體力學中，流體質點的加速度包含兩個部分：局部加速度（local acceleration）和對流加速度（convective acceleration）。
   加速度向量 $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$。
   x 方向的加速度 $a_x$ 為：
   $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
   y 方向的加速度 $a_y$ 為：
   $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$

2. 確定流場的性質：
   給定的速度分量為 $u = ax$ 和 $v = by$。
   這個流場是定常的（steady），因為速度不隨時間 $t$ 變化。因此，局部加速度項 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t}$ 都為零。
   這個流場是二維的，且只有 x 和 y 方向的速度分量。

3. 計算 x 方向的加速度 $a_x$：

   • $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ （因為 $u$ 不隨 $t$ 變化）。
   • $u = ax$。
   • $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (ax)}{\partial x} = a$。
   • $v = by$。
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (ax)}{\partial y} = 0$ （因為 $u$ 不顯含 $y$）。

   將這些代入 $a_x$ 的公式：
   $a_x = 0 + (ax)(a) + (by)(0)$
   $a_x = a^2 x$

4. 計算 y 方向的加速度 $a_y$：

   • $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ （因為 $v$ 不隨 $t$ 變化）。
   • $u = ax$。

本題考查流量計算，需要對控制體進行積分以獲得總流量。

解題步驟：

1. 理解題目要求：
   題目要求計算在斷面 (2) 的淨流量（net flowrate）。流量（Flowrate）通常指體積流量（volumetric flowrate），單位是 m³/s。淨流量通常是指通過某個斷面的總流量。

2. 分析斷面 (2) 的速度分佈：
   題目假設斷面 (2) 的速度分佈由兩個均勻區域組成：

   • 區域 a：速度 $V_a = 3$ m/s。
   • 區域 b：速度 $V_b = 0.9$ m/s。
     從圖示可以清楚看到，斷面 (2) 的寬度是 5 m。
     在斷面 (2) 的左側，有一個高度為 0.366 m 的區域，其速度為 $V_a = 3$ m/s。
     在斷面 (2) 的右側，有一個高度為 0.55 m 的區域，其速度為 $V_b = 0.9$ m/s。
     總的水深在斷面 (2) 處為 $0.366 + 0.55 = 0.916$ m。

3. 計算各區域的流量：
   流量 $Q$ 可以通過將速度 $V$ 乘以該區域的面積 $A$ 來計算：$Q = V \times A$。
   由於通道寬度 $W = 5$ m，我們可以將斷面視為一個矩形。

   • 區域 a 的流量 $Q_a$：
     面積 $A_a = \text{高度} \times \text{寬度} = 0.366 \text{ m} \times 5 \text{ m} = 1.83 \text{ m}^2$。

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ theorem。若物理量關係包含 $n$ 個變數，且這些變數的基本 dimensions rank 為 $r$，則可整理成 $n-r$ 個獨立無因次群。

本題變數為

$$D=f(d_1,d_2,V,\mu,\rho)$$

共 $n=6$ 個變數，涉及基本 dimensions $M,L,T$，故 $r=3$。因此需要

$$n-r=6-3=3$$

個獨立的無因次參數。

各物理量 dimensions 為

$$[D]=MLT^{-2}$$ $$[d_1]=[d_2]=L,\qquad [V]=LT^{-1}$$ $$[\mu]=ML^{-1}T^{-1},\qquad [\rho]=ML^{-3}$$

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解題方法：選擇重複變數

選取 $d_1$、$V$、$\rho$ 作為重複變數，因為它們分別涵蓋長度、時間與質量 dimensions，且彼此獨立。

因此三個 $\Pi$ 群可分別由 $D$、$d_2$、$\mu$ 與重複變數組合而成。

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第一個無因次群：包含阻力 $D$

令

$$\Pi_1=Dd_1^aV^b\rho^c$$

代入 dimensions：

$$[\Pi_1] =(MLT^{-2})(L^a)(L^bT^{-b})(M^cL^{-3c})$$

整理各基本 dimensions：

$$M^{1+c}L^{1+a+b-3c}T^{-2-b}$$

要使其無因次，必須有

$$1+c=0$$ $$-2-b=0$$ $$1+a+b-3c=0$$

解得

$$c=-1,\qquad b=-2,\qquad a=-2$$

所以

$$\Pi_1=\frac{D}{\rho V^2d_1^2}$$

此量相當於以 $\rho V^2d_1^2$ 無因次化後的阻力，與阻力係數成正比。

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第二個無因次群：包含內徑 $d_2$

令

$$\Pi_2=d_2d_1^aV^b\rho^c$$

因為 $d_2$ 與 $d_1$ 都只有長度 dimensions，直接得到

$$\Pi_2=\frac{d_2}{d_1}$$

這代表墊片內外徑的幾何比例。

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第三個無因次群：包含黏度 $\mu$

令

$$\Pi_3=\mu d_1^aV^b\rho^c$$

代入 dimensions：

$$[\Pi_3] =(ML^{-1}T^{-1})(L^a)(L^bT^{-b})(M^cL^{-3c})$$

整理得

$$M^{1+c}L^{-1+a+b-3c}T^{-1-b}$$

令各次方為零：

$$1+c=0$$ $$-1-b=0$$ $$-1+a+b-3c=0$$

解得

$$c=-1,\qquad b=-1,\qquad a=-1$$

因此

$$\Pi_3=\frac{\mu}{\rho Vd_1}$$

本題考查連續性方程式（質量守恆）在穩態流動下的應用，特別是計算平均速度（或稱總管入口速度 $U$）。

解題步驟：

1. 理解連續性方程式：
   對於穩態流動，流入系統的質量率等於流出系統的質量率。對於不可壓縮流體（如水）且橫截面積不變的情況，體積流量率也守恆。
   即：$\int_{A_{in}} \vec{v}_{in} \cdot d\vec{A}_{in} = \int_{A_{out}} \vec{v}_{out} \cdot d\vec{A}_{out}$。
   若流速在入口處是均勻的，則 $Q_{in} = U \times A_{in}$。
   在出口處，若流速分佈不均勻，則 $Q_{out} = \int_{A_{out}} \vec{v}_{out} \cdot d\vec{A}_{out}$。

2. 確定入口和出口的條件：

   • 入口：速度是均勻的，設為 $U$。入口橫截面積 $A_{in}$ 是圓形，半徑為 $R$。
     $A_{in} = \pi R^2$。
     入口流量 $Q_{in} = U \times A_{in} = U \times (\pi R^2)$。

   • 出口：速度分佈為 $u(r) = u_{max}[1-(r/R)^2]$。
     出口橫截面積 $A_{out}$ 同樣是圓形，半徑為 $R$。
     出口流量 $Q_{out}$ 需要對速度分佈進行面積積分。

3. 計算出口的體積流量 $Q_{out}$：
   速度分佈是徑向對稱的，所以我們使用圓環面積微元 $dA = 2\pi r dr$ 來進行積分。

本題考查三維流場的不可壓縮性（incompressibility）和無旋性（irrotationality）的判斷。

判斷標準：

1. 不可壓縮性： 流場是不可壓縮的，若且唯若其散度（divergence）為零。
   對於三維速度向量 $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$，散度定義為：
   $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$。

2. 無旋性： 流場是無旋的，若且唯若其旋度（vorticity）為零向量。
   旋度定義為：
   $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u & v & w \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat{k}$
   若 $\vec{\omega} = \vec{0}$，則流場是無旋的。

我們將逐一分析 (a), (b), (c) 三個小題。

(a) $u = x+y+z^2$; $v = x - y + z$; $w = 2xy + y^2 +4$

• 判斷不可壓縮性：
  計算各分量的偏導數：
  $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (x+y+z^2)}{\partial x} = 1$
  $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (x-y+z)}{\partial y} = -1$
  $\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial (2xy+y^2+4)}{\partial z} = 0$

  計算散度：
  $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 1 + (-1) + 0 = 0$。
  由於散度為零，此流場是不可壓縮的。

• 判斷無旋性：
  計算旋度各分量：
  $\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} = \frac{\partial (2xy+y^2+4)}{\partial y} - \frac{\partial (x-y+z)}{\partial z} = (2x+2y) - 1 = 2x+2y-1$
  $\omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial (x+y+z^2)}{\partial z} - \frac{\partial (2xy+y^2+4)}{\partial x} = 2z - 2y$
  $\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (x-y+z)}{\partial x} - \frac{\partial (x+y+z^2)}{\partial y} = 1 - 1 = 0$

  由於 $\omega_x = 2x+2y-1$ 和 $\omega_y = 2z-2y$ 通常不為零（它們依賴於空間位置 $x, y, z$），所以此流場是有旋的。

  結論 (a)： 此流場是不可壓縮的，但有旋的。

(b) $u = xyzt$; $v = -xyzt^2$; $w = (z^2 / 2)(xt^2 - yt)$

• 判斷不可壓縮性：
  計算各分量的偏導數：
  $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (xyzt)}{\partial x} = yzt$
  $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (-xyzt^2)}{\partial y} = -xzt^2$
  $\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial ((z^2 / 2)(xt^2 - yt))}{\partial z} = \frac{\partial (xt^2z^2/2 - yt^2z^2/2)}{\partial z} = xt^2z - yt^2z$

  計算散度：
  $\nabla \cdot \vec{V} = yzt - xzt^2 + xt^2z - yt^2z$
  $= yzt - yt^2z - xzt^2 + xt^2z$
  $= yzt(1-t^2) - xzt^2(1-t)$
  這個散度一般不為零（除非在特定時間 $t=0, 1$ 或特定位置 $x=0, y=0, z=0$）。
  因此，此流場是可壓縮的。

• 判斷無旋性：
  由於流場是可壓縮的，我們仍然可以計算旋度。