113 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《自動控制》

此題考查閉迴路系統之二階系統參數辨識。

給定開迴路傳遞函數為 $G(s) = \frac{4}{s(s+1)}$。
閉迴路系統的傳遞函數為 $T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)}$ (假設為單位負回授)。
$T(s) = \frac{\frac{4}{s(s+1)}}{1+\frac{4}{s(s+1)}} = \frac{4}{s(s+1)+4} = \frac{4}{s^2+s+4}$

此題考查系統等效轉換，要求找出等效控制器 $G_e(s)$。

左邊的系統是一個閉迴路系統，其傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)}$。
右邊的系統是一個開迴路系統（或者說，控制器直接串聯在輸入端），其傳遞函數為 $T_e(s) = G_e(s)$。

此題包含兩部分：一、推導誤差訊號 $E(s)$ 的表示式；二、利用終值定理證明不同輸入下之穩態誤差公式。

第一部分：推導誤差訊號 $E(s)$ 的表示式

從圖示的閉迴路系統結構，我們可以寫出以下關係式：
$C(s) = G(s)E(s)$ (輸出等於控制器傳遞函數乘以誤差訊號)
$E(s) = R(s) - C(s)$ (誤差訊號等於參考輸入減去回授訊號，此處假設為單位負回授，故回授訊號即為輸出 $C(s)$)

將第一個式子代入第二個式子：
$E(s) = R(s) - G(s)E(s)$

將含有 $E(s)$ 的項移到等號左邊：
$E(s) + G(s)E(s) = R(s)$

提出 $E(s)$：
$E(s)(1+G(s)) = R(s)$

解出 $E(s)$：
$E(s) = \frac{R(s)}{1+G(s)}$

第二部分：利用終值定理證明穩態誤差公式

終值定理 (Final Value Theorem) 指出，若訊號 $f(t)$ 的拉氏轉換為 $F(s)$，且 $sF(s)$ 在右半平面沒有極點，則 $\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$。
在此，我們考慮穩態誤差 $e(\infty) = \lim_{t\to\infty} e(t)$，其拉氏轉換為 $E(s)$。
因此，根據終值定理，穩態誤差為 $e(\infty) = \lim_{s\to 0} sE(s)$。
將我們在第一部分推導出的 $E(s) = \frac{R(s)}{1+G(s)}$ 代入：
$e(\infty) = \lim_{s\to 0} s \frac{R(s)}{1+G(s)} = \frac{\lim_{s\to 0} sR(s)}{1+\lim_{s\to 0}G(s)}$

接下來，我們分別考慮單位階梯、斜坡和拋物線輸入。

(a) 單位階梯輸入 (Unit Step Input)
參考輸入為單位階梯，則 $r(t) = u(t)$，其拉氏轉換為 $R(s) = \frac{1}{s}$。
代入穩態誤差公式：
$e_{step}(\infty) = \lim_{s\to 0} sE(s) = \lim_{s\to 0} s \frac{1/s}{1+G(s)} = \lim_{s\to 0} \frac{1}{1+G(s)}$
由於 $\lim_{s\to 0} G(s)$ 通常是有限值 (除非 $G(s)$ 在 $s=0$ 有極點，但穩態誤差公式的定義本身就隱含了 $G(s)$ 的行為)，我們得到：
$e_{step}(\infty) = \frac{1}{1+\lim_{s\to 0}G(s)}$
此即為所證明的公式。

(b) 斜坡輸入 (Ramp Input)

核心觀念

本題考查「增益裕度與閉迴路穩定性」之間的關係，並要求分別以根軌跡與 Nyquist 判據說明增益裕度為無限大。

單位負回授下，加入可變增益 $K\ge 0$ 後，閉迴路特徵方程為

$$1+KG(s)=0$$

其中

$$G(s)=\frac{10s}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$

因此

$$(s+1)(s+2)(s+3)+10Ks=0$$

即

$$s^3+6s^2+(11+10K)s+6=0.$$

增益裕度的定義為：當增益增加至系統恰好達到臨界穩定時，增益還可以放大的倍數。若對所有有限的 $K\ge 0$，閉迴路都不會穿越虛軸而失去穩定，則增益裕度為無限大。

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(a) 以根軌跡說明

1. 開迴路極點與零點

由

$$G(s)=\frac{10s}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$

可知：

• 開迴路極點：$s=-1,-2,-3$
• 開迴路零點：$s=0$

根軌跡描述的是閉迴路極點隨 $K$ 從 $0$ 增加至 $\infty$ 的移動路徑。

2. 實軸根軌跡

實軸上一點若其右側的極點與零點總數為奇數，則該點屬於根軌跡。因此實軸根軌跡區段為

$$(-3,-2),\qquad (-1,0).$$

其中一個分支由 $s=-1$ 移向零點 $s=0$，始終位於左半平面。

另外兩個分支由 $s=-3$ 與 $s=-2$ 出發，在 $(-3,-2)$ 區段分離後形成共軛複數根。

3. 無限遠漸近線

極點數 $n=3$，零點數 $m=1$，所以有

$$n-m=2$$

條漸近線。

漸近線中心為

$$\sigma_a = \frac{\sum \text{極點}-\sum \text{零點}}{n-m} = \frac{(-1-2-3)-0}{2} =-3.$$

漸近線角度為

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{2}, \qquad q=0,1,$$

因此

$$\theta=90^\circ,\qquad 270^\circ.$$

兩條漸近線皆為通過 $s=-3$ 的垂直線，表示兩個複數根在 $K$ 很大時仍會朝著左半平面方向延伸，而不會穿越虛軸。

4. 直接檢查根軌跡是否穿越虛軸

令根軌跡上的根為

$$s=j\omega.$$

代入特徵方程：

$$(j\omega)^3+6(j\omega)^2+(11+10K)j\omega+6=0.$$

分離實部與虛部：

$$6-6\omega^2=0,$$ $$-\omega^3+(11+10K)\omega=0.$$

由實部得

$$\omega^2=1.$$

因為 $\omega\ne 0$，虛部給出

$$-\omega^2+11+10K=0.$$

代入 $\omega^2=1$：

$$-1+11+10K=0,$$ $$K=-1.$$

虛軸交點只發生在 $K=-1$，不屬於根軌跡所考慮的 $K\ge0$ 範圍。

因此，當 $K$ 從 $0$ 增加至任意有限正值時，根軌跡不會穿越虛軸，閉迴路極點始終位於左半平面。

故增益裕度為無限大。

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(b) 以 Nyquist Criterion 說明

1. 計算頻率響應

令 $s=j\omega$，則

$$G(j\omega) = \frac{10j\omega} {(j\omega+1)(j\omega+2)(j\omega+3)}.$$

分母展開為

$$(j\omega)^3+6(j\omega)^2+11j\omega+6 = (6-6\omega^2)+j(11\omega-\omega^3).$$

因此

$$G(j\omega) = \frac{10j\omega} {(6-6\omega^2)+j(11\omega-\omega^3)}.$$

將分子分母乘以分母共軛，可得

$$G(j\omega) = \frac{ 10\omega^2(11-\omega^2) +j\,60\omega(1-\omega^2) }{ (6-6\omega^2)^2+(11\omega-\omega^3)^2 }.$$

所以

核心觀念

本題分別考查：

1. 線性系統的增益裕度（gain margin, GM）與頻率響應。
2. 根軌跡判斷閉迴路臨界穩定增益。
3. 非線性 relay 不具固定轉移函數，因此不能直接套用線性系統的增益裕度定義。

對線性開迴路傳遞函數 $L(s)$，若 $\omega_{pc}$ 為相位交越頻率，即

$$\angle L(j\omega_{pc})=-180^\circ,$$

則增益裕度為

$$GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|},$$

以分貝表示為

$$GM_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}(GM).$$

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（a）利用頻率域求 $G$ 的增益裕度

已知

$$G(s)=\frac{-s+1}{s(s+1)}.$$

令 $s=j\omega$：

$$G(j\omega)=\frac{1-j\omega}{j\omega(1+j\omega)}.$$

1. 求相位交越頻率

分子相位為

$$\angle(1-j\omega)=-\tan^{-1}\omega.$$

分母相位為

$$\angle(j\omega)+\angle(1+j\omega) =90^\circ+\tan^{-1}\omega.$$

因此

$$\angle G(j\omega) =-90^\circ-2\tan^{-1}\omega.$$

相位達到 $-180^\circ$ 時：

$$-90^\circ-2\tan^{-1}\omega_{pc}=-180^\circ,$$

所以

$$\tan^{-1}\omega_{pc}=45^\circ, \qquad \omega_{pc}=1\ \mathrm{rad/s}.$$

2. 求該頻率下的增益

頻率響應的大小為

$$|G(j\omega)| = \frac{|1-j\omega|} {|j\omega||1+j\omega|}.$$

由

$$|1-j\omega|=\sqrt{1+\omega^2},$$ $$|j\omega|=\omega, \qquad |1+j\omega|=\sqrt{1+\omega^2},$$

可得

$$|G(j\omega)|=\frac{1}{\omega}.$$

在 $\omega_{pc}=1$ 時：

$$|G(j\omega_{pc})|=1.$$

因此

$$GM=\frac{1}{1}=1.$$

換算成分貝：

$$GM_{\mathrm{dB}} =20\log_{10}(1)=0\ \mathrm{dB}.$$

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（b）$\hat G=G\circ\varphi$ 的增益裕度

1. Relay 使系統成為非線性系統

Relay 定義為

$$\varphi(u)= \begin{cases} 1, & u\geq 0,\\ -1, & u<0. \end{cases}$$