115 年 國立中正大學機械工程學系光機電整合工程碩士班《自動控制》

核心觀念

狀態空間表示法以一階向量微分方程描述系統：

$$\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B u(t),\qquad y(t)=C\mathbf{x}(t)+D u(t)$$

其中 $A,B,C,D$ 分別是系統矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣與直接傳遞矩陣。狀態空間實現並不唯一；只要其輸入輸出傳遞函數等於題目給定的 $G(s)$，就是有效答案。

解題方法

令輸入為 $u(t)$、輸出為 $y(t)$。本題分母為二次式，採用可控制標準形，取

$$A= \begin{bmatrix} 0&1\\ -2&-3 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

再由傳遞函數公式

$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$

求輸出矩陣。因為分子階數小於分母階數，沒有直接傳遞項，故 $D=0$。計算得

$$(sI-A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+3s+2} \begin{bmatrix} 1\\ s \end{bmatrix}$$

令 $C=\begin{bmatrix}c_1&c_2\end{bmatrix}$，則

$$C(sI-A)^{-1}B = \frac{c_1+c_2s}{s^2+3s+2}$$

與題目給定的

$$G(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2}$$

比較分子係數，得到 $c_1=3,\ c_2=1$，因此

核心觀念

本題考查單位負回授系統的穩態誤差，以及系統型別與輸入訊號之間的關係。

由原卷圖可讀得輸入為

$$X(s)=\frac{5}{2s}-\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s^3}.$$

前向傳遞函數為

$$G(s)=\frac{s+1}{s+3}\cdot\frac{5}{s(s+2)} =\frac{5(s+1)}{s(s+2)(s+3)}.$$

單位負回授系統的誤差傳遞函數為

$$E(s)=\frac{X(s)}{1+G(s)}.$$

若閉迴路穩定，則可使用終值定理：

$$e_{\mathrm{ss}}=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to 0}sE(s).$$

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解題方法

先求誤差：

$$E(s) = X(s)\frac{s(s+2)(s+3)} {s(s+2)(s+3)+5(s+1)}.$$

因此

$$sE(s) = sX(s)\frac{s(s+2)(s+3)} {s(s+2)(s+3)+5(s+1)}.$$

當 $s\to 0$ 時，

$$s(s+2)(s+3)\sim 6s,$$

且

$$s(s+2)(s+3)+5(s+1)\to 5.$$

另一方面，

$$sX(s) = \frac{5}{2}-\frac{3}{s}+\frac{4}{s^2}.$$

【核心觀念】

本題主要測驗古典控制理論中頻域分析（Frequency Domain Analysis）與實體硬體實現的核心概念，涵蓋以下四大主題：

1. 波德圖（Bode Plot）繪製：由傳遞函數 $G(s)$ 取頻率響應 $s = j\omega$，分別拆解幅值響應（Magnitude Response，單位 $\text{dB}$）與相位響應（Phase Response，單位 degree），掌握漸近線（Asymptotes）與轉角頻率（Corner Frequency）之特徵。
2. 濾波器特性判別（Filter Classification）：依據系統在低頻（$\omega \to 0$）與高頻（$\omega \to \infty$）的幅值增益特性，判斷其屬於低通（Low-Pass）、高通（High-Pass）、帶通（Band-Pass）或帶阻（Band-Stop）濾波器。
3. 補償器類型判別（Compensator Classification）：依據系統所提供的相位角（Phase Lead / Lag）或零極點相對位置（零點在極點右側為超前、零點在極點左側為落後），判定屬於相位超前（Phase-Lead）還是相位落後（Phase-Lag）補償器。
4. 被動電路實現（Passive Circuit Realization）：利用無源被動元件（電阻 $R$、電容 $C$ 或電感 $L$）構建分壓電路，以實現一階微分型動態轉移函數。

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【解題步驟與詳細解析】

(a) 繪製頻率響應波德圖（Sketch the Bode plot of its frequency response）

給定轉移函數：
$G(s) = \frac{s}{s+1}$

令 $s = j\omega$（其中 $\omega > 0$），得到頻率響應函數：
$G(j\omega) = \frac{j\omega}{1 + j\omega}$

1. 幅值響應（Magnitude Response）

• 精確式：
  $|G(j\omega)| = \frac{\omega}{\sqrt{1 + \omega^2}}$
  轉化為分貝（$\text{dB}$）：
  $|G(j\omega)|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}\omega - 20\log_{10}\sqrt{1 + \omega^2}$

• 漸近線分析：

  • 低頻漸近線（$\omega \ll 1\text{ rad/s}$）：
    $|G(j\omega)| \approx \omega \implies |G(j\omega)|_{\text{dB}} \approx 20\log_{10}\omega$
    斜率為 $+20\text{ dB/decade}$，在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 處延伸通過 $0\text{ dB}$。
  • 高頻漸近線（$\omega \gg 1\text{ rad/s}$）：
    $|G(j\omega)| \approx \frac{\omega}{\omega} = 1 \implies |G(j\omega)|_{\text{dB}} \approx 0\text{ dB}$
    斜率為 $0\text{ dB/decade}$。
  • 轉角頻率（Corner/Break Frequency）：$\omega_c = 1\text{ rad/s}$。
  • 精確值校正：在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 時，實際值為 $20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx -3\text{ dB}$。

2. 相位響應（Phase Response）

• 精確式：
  $\angle G(j\omega) = \angle(j\omega) - \angle(1 + j\omega) = 90^\circ - \tan^{-1}(\omega)$
• 漸近線分析：
  • 當 $\omega \to 0^+$ 時：$\angle G(j\omega) \to 90^\circ - 0^\circ = +90^\circ$。
  • 當 $\omega = \omega_c = 1\text{ rad/s}$ 時：$\angle G(j\omega) = 90^\circ - 45^\circ = +45^\circ$。
  • 當 $\omega \to \infty$ 時：$\angle G(j\omega) \to 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$。
  • 漸近折線規則：在 $\omega \le 0.1\text{ rad/s}$ 為 $+90^\circ$；在 $0.1 \le \omega \le 10\text{ rad/s}$ 區間以 $-45^\circ/\text{decade}$ 斜率下降；在 $\omega \ge 10\text{ rad/s}$ 為 $0^\circ$。

3. 波德圖草圖（Bode Plot Sketch）

核心觀念

本題考查 $H_\infty$-norm、回授系統的 Nyquist 穩定判據，以及 Small Gain theorem 的幾何意義。

對負回授系統，若名義系統為 $M(s)$、不確定動態為 $\Delta(s)$，其迴路傳遞函數可寫成

$$L(s)=M(s)\Delta(s).$$

閉迴路特徵方程為

$$1+M(s)\Delta(s)=0,$$

因此閉迴路極點由

$$1+L(s)=0$$

決定。依 Nyquist criterion，若 Nyquist 曲線包圍點 $-1+j0$，便可能造成閉迴路不穩定。

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由 Nyquist criterion 說明 Small Gain theorem

假設 $M(s)$ 與 $\Delta(s)$ 本身皆為穩定系統，且考慮所有頻率 $\omega$。由 $H_\infty$-norm 定義，

$$\|\Delta\|_\infty=\max_\omega |\Delta(j\omega)|,$$

同理，

$$\|M\|_\infty=\max_\omega |M(j\omega)|.$$

迴路增益的大小滿足

$$|L(j\omega)| = |M(j\omega)\Delta(j\omega)| \leq \|M\|_\infty\|\Delta\|_\infty.$$

若滿足

$$\|M\|_\infty\|\Delta\|_\infty<1,$$

則對所有 $\omega$ 均有

$$|L(j\omega)|<1.$$

這表示 $L(j\omega)$ 的 Nyquist 曲線全部位於以原點為中心、半徑小於 $1$ 的圓內。

而點 $-1+j0$ 位於距離原點 $1$ 的位置，因此 Nyquist 曲線不可能通過或包圍 $-1$。換言之，

$$1+L(j\omega)\neq 0 \qquad \text{對所有 } \omega,$$

閉迴路不會因為回授增益而產生虛軸上的閉迴路極點。由於 $M$ 與 $\Delta$ 本身穩定，開迴路右半平面極點數為零，Nyquist 曲線對 $-1$ 的繞行數亦為零，因此閉迴路系統具有漸近穩定性。

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Nyquist 圖上的幾何意義

當不確定動態 $\Delta$ 改變時，$L(j\omega)=M(j\omega)\Delta(j\omega)$ 的 Nyquist 曲線會隨之變動。

Small Gain condition

$$\|M\|_\infty\|\Delta\|_\infty<1$$

提供一個最壞情況保證：

• 迴路增益的最大幅值小於 $1$；
• Nyquist 曲線被限制在單位圓內；
• 單位圓內不包含臨界點 $-1$；
• 因此所有允許的不確定動態都不會使 Nyquist 曲線包圍 $-1$；
• 閉迴路系統具有 robust stability。