115 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

這部分是單選題，主要在測試對熱力學基本觀念、定義與狀態假設的理解。

(1). 核心觀念：熱力學性質的分類（密集性質 vs. 廣延性質）。
密集性質（Intensive property）不隨系統質量或體積改變而改變，例如溫度、壓力、密度、比焓、比熵等。廣延性質（Extensive property）則隨系統質量或體積改變而改變，例如總質量、總體積、總內能、總焓等。
(a) 總質量 (Total mass) 隨系統大小改變，是廣延性質。
(b) 溫度 (Temperature) 不隨系統大小改變，是密集性質。
(c) 總體積 (Total volume) 隨系統大小改變，是廣延性質。
(d) 總內能 (Total internal energy) 隨系統大小改變，是廣延性質。
【答案】(b)

(2). 核心觀念：系統的分類（開放、封閉、孤立系統）。
系統的分類依據物質與能量是否能跨越邊界來定義：

• 開放系統 (Open system)：物質與能量皆可跨越邊界。
• 封閉系統 (Closed system)：只有能量可跨越邊界，物質不能。
• 孤立系統 (Isolated system)：物質與能量皆不能跨越邊界。
  (a) 允許能量跨越邊界，但物質不行，這是封閉系統。
  (b) 物質與能量皆不能跨越邊界，這是孤立系統。
  (c) 允許物質跨越邊界，但能量不行，這不是常見的定義，但嚴格來說能量可以傳遞，所以不符合孤立。
  (d) 穩態流條件 (steady-state flow condition) 描述系統的動態行為，與系統是否孤立無關。
  【答案】(b)

(3). 核心觀念：熱力學第零定律。
熱力學第零定律闡述了溫度計的工作原理，即如果兩個系統分別與第三個系統達成熱平衡，則這兩個系統彼此之間也達成熱平衡。這一定律提供了量測溫度的基礎。
(a) 壓力是透過其他定律（如理想氣體定律）或儀器量測。
(b) 溫度是第零定律直接提供的基礎。
(c) 內能是系統的狀態函數，需透過其他方法計算或由實驗得知。
(d) 熱傳是能量傳遞的形式，與第零定律無關。
【答案】(b)

(4). 核心觀念：準平衡過程 (Quasi-equilibrium process)。
準平衡過程是指系統經歷一系列無限接近平衡的狀態，使得系統在每個瞬間都近似於平衡狀態。這是一個理想化的過程，用於簡化分析，實際上系統的變化總會有微小的偏差。
(a) 偏差很大就不符合準平衡。
(b) 偏差僅是無限小，在每個瞬間都幾乎處於平衡狀態。
(c) 僅在開始和結束時偏差大，中間過程無限接近平衡，這也不是準平衡的定義。
(d) 持續不穩定直到變得混亂，這是與準平衡相反的描述。
【答案】(b)

(5). 核心觀念：狀態假設 (State Postulate)。
狀態假設指出，對於一個簡單可壓縮系統（Simple compressible system），其熱力學狀態完全由兩個獨立的密集性質（Intensive property）所決定。
簡單可壓縮系統是指系統的功僅涉及體積變化功（Boundary work），而不涉及其他形式的功（如電功、磁功等）。
【答案】(b)

(6). 核心觀念：封閉系統的體積變化功 (Boundary work for closed system)。
對於封閉系統，體積變化功的定義是 $W = \int P dV$。
在定容過程 (constant volume process, isochoric process) 中，$dV = 0$，因此體積變化功 $W = \int P (0) = 0$。
(a) $\Delta PV$ 通常與定壓過程有關。
(b) 在定容過程中，體積不變，故體積變化功為零。
(c) 焓變 $\Delta h$ 是另一個熱力學性質，與體積變化功無直接關聯。
(d) 壓縮過程通常是體積減小，若有功，則會是淨功輸入。
【答案】(b)

(7). 核心觀念：熱力學第一定律 (First Law of Thermodynamics) for a closed system。
熱力學第一定律是能量守恆定律在熱力學上的應用。對於封閉系統，其數學表達式為 $\Delta E = Q - W$。
其中 $\Delta E$ 是系統總能量的變化，包括內能、動能、位能等。
$Q$ 是系統與環境之間的熱傳量（進給系統為正）。
$W$ 是系統與環境之間的功傳量。在此方程中，W 通常定義為系統對外作的功（出給環境為正）。
(a) 摩擦產生的熱是熱傳 $Q$ 的一種來源，不是功 $W$。
(b) 系統對外作的功，這是標準定義。
(c) 外部對系統作的功，這通常會被定義為 $-W$。
(d) 僅是動能變化，這只是總能量變化 $\Delta E$ 的一部分。
【答案】(b)

核心觀念

本題考查理想氣體的多變過程與熱力學第一定律：

1. 理想氣體狀態方程式：
   $PV=mRT$

2. 多變過程：
   $PV^n=\text{constant},\qquad n=1.3$

3. 理想氣體在多變過程中的溫度壓力關係：

$$\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$$

4. 封閉系統熱力學第一定律：
   $Q_{12}=\Delta U+W_{12}$

其中 $W_{12}$ 定義為系統對外所做的功。壓縮過程中系統對外做功為負。

題目給定 $C_p=0.718\ \text{kJ/(kg·K)}$，因此依題目資料：

$C_v=C_p-R=0.718-0.287=0.431\ \text{kJ/(kg·K)}$

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（1）計算 final temperature $T_2$

由理想氣體方程式：

$P_1V_1=mRT_1,\qquad P_2V_2=mRT_2$

又因為多變過程滿足：

$P_1V_1^n=P_2V_2^n$

可推得：

$$\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$$

代入數值：

$$T_2 =300\left(\frac{500}{100}\right)^{\frac{1.3-1}{1.3}}$$ $$T_2 =300(5)^{0.230769} \approx 434.9\ \text{K}$$

因此：

$\boxed{T_2\approx 435\ \text{K}}$

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（2）計算過程功 $W_{12}$

多變過程的邊界功為：

$W_{12}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$

對於 $PV^n=\text{constant}$ 且 $n\neq 1$：

$$W_{12} =\frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n}$$

利用 $PV=mRT$：

$P_2V_2-P_1V_1=mR(T_2-T_1)$

所以：

此題考驗對自由膨脹 (free expansion) 和絕熱過程的理解，以及如何應用熱力學第一定律。

已知條件：

• 系統：理想氣體，質量 $m = 2 \text{ kg}$
• 初始狀態：溫度 $T_1 = 600 \text{ K}$，壓力未知（但由於是真空膨脹，壓力不影響功和溫度變化）
• 過程：氣體從隔間 A 自由膨脹到整個容器（A+B），容器是剛性且絕熱的。
• 容器被分成兩個相等的部分，因此最終體積是初始體積的兩倍。

1. (5%) Determine the work done (W) during this expansion process. Explain your reasoning.

核心觀念：自由膨脹 (Free Expansion) 和絕熱過程。
自由膨脹是指氣體在沒有外部阻力或做功的情況下膨脹到更大的體積。在這個過程中，氣體膨脹時沒有對外部做功，同時由於隔板被移除，也沒有外部壓力作用於氣體上，因此系統對外做的功 $W = 0$。

此外，題目說明容器是「剛性」(rigid) 且「絕熱」(well-insulated)。

• 「剛性」意味著容器的體積恆定，因此系統的總體積不變，沒有體積變化功。
• 「絕熱」意味著系統與外界沒有熱量交換，所以熱傳 $Q = 0$。

根據熱力學第一定律：$\Delta E = Q - W$。
由於 $Q=0$ 且 $W=0$，所以 $\Delta E = 0 - 0 = 0$。
系統的總能量變化為零。

對於理想氣體，其總能量僅由內能決定（動能和位能變化可忽略），而內能僅是溫度的函數。
因此，$\Delta E = \Delta U = 0$。
這意味著系統的內能沒有變化。

結論： 在此自由膨脹過程中，系統對外做的功 $W=0$。

【答案】$W = 0 \text{ kJ}$。原因是氣體進行自由膨脹，過程中沒有對外做功，且容器是剛性的，體積不變，故體積變化功為零。

此題考驗對卡諾循環 (Carnot cycle) 或一般可逆熱機效率的理解，以及如何計算熱傳量與淨功。

圖示是一個典型的熱機循環，從高溫熱源吸熱 $Q_H$，對外作功 $W_{\text{cycle}}$，並向低溫熱源放熱 $Q_C$。由於是「可逆」循環，其效率與卡諾效率相同。

1. (10%) If $T_H = 1600 \text{ K}$ and $T_C = 400 \text{ K}$, what is the thermal efficiency?

核心觀念：可逆熱機的熱效率。
對於任何熱機，熱效率 $\eta_{\text{th}}$ 定義為：
$\eta_{\text{th}} = \frac{W_{\text{cycle}}}{Q_H}$
其中 $W_{\text{cycle}}$ 是循環作的淨功，$Q_H$ 是從高溫熱源吸收的熱量。

對於可逆循環（如卡諾循環），其熱效率也可以表示為溫度的函數：
$\eta_{\text{th, rev}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
這裡的溫度必須使用絕對溫度（如克耳文 K）。

已知：
$T_H = 1600 \text{ K}$
$T_C = 400 \text{ K}$

代入公式計算效率：
$\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{400 \text{ K}}{1600 \text{ K}}$
$\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{4}$
$\eta_{\text{th}} = 1 - 0.25$
$\eta_{\text{th}} = 0.75$

換算成百分比：$0.75 \times 100\% = 75\%$。

【答案】$\eta_{\text{th}} = 0.75$ (或 75%)

2. (10%) If $T_H = 500 \text{ °C}$, $T_C = 20 \text{ °C}$, and $W_{\text{cycle}} = 1000 \text{ kJ}$, what are $Q_H$ and $Q_C$, each in kJ?

首先，將給定的攝氏溫度轉換為克耳文絕對溫度：
$T_H = 500 \text{ °C} + 273.15 = 773.15 \text{ K}$
$T_C = 20 \text{ °C} + 273.15 = 293.15 \text{ K}$

核心觀念

本題考查穩態流動渦輪機的三個基本關係：

1. 穩態流動能量方程式
2. 穩態流動熵平衡
3. 渦輪機等熵效率

渦輪機為絕熱操作，且忽略動能與位能變化，因此能量方程式為

$$\dot W_t=\dot m(h_1-h_2)$$

其中狀態 1 為入口，狀態 2 為實際出口。

熵產生率則由穩態熵平衡得到：

$$\dot S_{\mathrm{gen}} = \dot m(s_2-s_1)$$

等熵渦輪機效率定義為

$$\eta_t = \frac{\text{實際焓降}}{\text{等熵焓降}} = \frac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}}$$

其中 $2s$ 表示以入口熵為基準、出口壓力仍為 $1\ \mathrm{bar}$ 的理想等熵出口狀態。

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解題方法

先由入口體積流率與入口比容求質量流率：

$$\dot m=\frac{\dot V}{v_1}$$

再由蒸汽表查得各狀態的熱力性質。

1. 入口狀態

入口條件為

$$P_1=5\ \mathrm{bar},\qquad T_1=320^\circ\mathrm{C}$$

此狀態為過熱蒸汽。由過熱蒸汽表查得近似值：

$$v_1\approx 0.542\ \mathrm{m^3/kg}$$ $$h_1\approx 3109\ \mathrm{kJ/kg}$$ $$s_1\approx 7.49\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

因此質量流率為

$$\dot m = \frac{0.65}{0.542} \approx 1.20\ \mathrm{kg/s}$$

2. 實際出口狀態

出口條件為

$$P_2=1\ \mathrm{bar},\qquad T_2=160^\circ\mathrm{C}$$

同樣為過熱蒸汽。由過熱蒸汽表查得：

$$h_2\approx 2797\ \mathrm{kJ/kg}$$ $$s_2\approx 7.67\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

3. 等熵出口狀態

等熵膨脹滿足

$$s_{2s}=s_1\approx 7.49\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

且

$$P_{2s}=1\ \mathrm{bar}$$

在 $1\ \mathrm{bar}$ 下，由蒸汽表以 $s_{2s}=7.49\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ 插值，可得