111 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

此題考驗對定壓過程的理解以及在 P-v 圖上的表示，並應用熱力學第一定律計算功與熱傳。

首先，我們需要從性質表中查出定壓過程的初末狀態參數。

已知條件：

• 物質：R-22
• 過程：定壓過程 (Constant-pressure process)
• 初狀態：飽和蒸氣 (Saturated vapor) 在 $P_1 = 4$ bar
• 末狀態：溫度 $T_2 = 30^\circ C$
• 忽略動能與位能變化。

(a) P-v 圖上的過程表示：
定壓過程在 P-v 圖上是一條水平線，表示壓力保持不變。
初狀態是飽和蒸氣，在 4 bar 下，從性質表中查得其對應的飽和溫度。
末狀態是 30°C 的狀態。
我們需要判斷 30°C 在 4 bar 下是過熱蒸氣、飽和蒸氣還是兩相區。
從 R-22 的性質表中，當壓力為 4 bar 時，飽和溫度 $T_{sat} = -6.56^\circ C$。
由於末狀態溫度 $T_2 = 30^\circ C > T_{sat} = -6.56^\circ C$，因此末狀態是過熱蒸氣。
所以，整個過程是從 4 bar 下的飽和蒸氣點，沿著 4 bar 的等壓線移動到 30°C 的過熱蒸氣點。

在 P-v 圖上，壓力軸為縱軸，比體積軸為橫軸。

1. 標出壓力 $P_1 = P_2 = 4$ bar。
2. 標出初狀態點 (1)，其比體積為 $v_1$ (飽和蒸氣在 4 bar 時的比體積)。
3. 標出末狀態點 (2)，其比體積為 $v_2$ (過熱蒸氣在 4 bar, 30°C 時的比體積)。
4. 由點 (1) 到點 (2) 畫一條水平線，代表定壓過程。

(b) 計算功 (Work, $W$)：
對於定壓過程，體積功的計算公式為 $W = \int_{1}^{2} P dV$。
由於壓力 P 是常數，可以提出積分號： $W = P \int_{1}^{2} dV = P (V_2 - V_1)$。
這裡的 V 是總體積，我們通常計算的是單位質量的功，所以使用比體積 $v$：
$w = P (v_2 - v_1)$
單位：$P$ 的單位是 Pa， $v$ 的單位是 $m^3/kg$，結果是 $J/kg$。題目要求 kJ/kg，需轉換。
或者，如果 P 使用 bar， $v$ 使用 $m^3/kg$，則 $w = P \times (v_2 - v_1) \times 100$ (kJ/kg)。

首先，從 R-22 的性質表中查取數據：

• 在 P = 4 bar 時，飽和蒸氣的狀態 (初狀態 1)：
  • $T_{sat} = -6.56^\circ C$

核心觀念

本題考查穩態流動系統的：

1. 穩態流動能量方程
2. 理想氣體熵變
3. 熵平衡與熵產生率

以每 $1\ \mathrm{kg}$ 空氣為基準，且忽略動能與位能變化。

已知：

$$P_1=400\ \mathrm{kPa},\quad T_1=970\ \mathrm{K}$$ $$P_2=100\ \mathrm{kPa},\quad T_2=670\ \mathrm{K}$$ $$c_p=1.1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

空氣氣體常數取：

$$R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

熱量由渦輪散出，因此以系統為正的熱傳符號為：

$$q=-30\ \mathrm{kJ/kg}$$

---

解題方法

渦輪為穩態操作，入口與出口各只有一股流體，因此先由能量方程求單位質量輸出功，再由熵平衡求熵產生。

---

（a）每公斤空氣的輸出功

穩態流動能量方程為：

$$q-w=h_2-h_1$$

其中 $w$ 為系統對外輸出的功。整理得：

$$w=q+h_1-h_2$$

理想氣體且 $c_p$ 為常數：

$$h_1-h_2=c_p(T_1-T_2)$$

代入數值：

$$h_1-h_2 =1.1(970-670) =330\ \mathrm{kJ/kg}$$

因此：

$$w=-30+330$$ $$\boxed{w=300\ \mathrm{kJ/kg}}$$

所以渦輪每流過 $1\ \mathrm{kg}$ 空氣，可發展出：

$$\boxed{300\ \mathrm{kJ}}$$

---

（b）渦輪的熵產生率

穩態流動的熵平衡為：

$$s_2-s_1=\frac{q}{T_b}+s_{\mathrm{gen}}$$

其中：

• $T_b=315\ \mathrm{K}$ 為熱傳發生處的平均邊界溫度
• $s_{\mathrm{gen}}$ 為每公斤空氣的熵產生量

因此：

$$s_{\mathrm{gen}} =s_2-s_1-\frac{q}{T_b}$$

1. 計算空氣的熵變

理想氣體熵變公式為：

$$s_2-s_1 =c_p\ln\frac{T_2}{T_1} -R\ln\frac{P_2}{P_1}$$

代入：

核心觀念

本題考查穩態流動系統的：

• 穩態流動能量方程式
• 熱傳所攜帶的可用能（exergy）
• 熵產生與可用能損失（Gouy–Stodola 定理）
• 壓縮機的第二定律效率（exergetic efficiency）

假設空氣為理想氣體，且在 $300\sim500\ \mathrm{K}$ 間取定比熱：

$$c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

忽略動能與位能變化。

---

已知資料

$$\dot m=0.5\ \mathrm{kg/s}$$ $$T_1=T_0=300\ \mathrm{K},\quad p_1=p_0=1\ \mathrm{bar}$$ $$T_2=500\ \mathrm{K},\quad p_2=10\ \mathrm{bar}$$ $$\dot W_{\mathrm{in}}=160\ \mathrm{kW},\qquad T_b=400\ \mathrm{K}$$

其中 $T_b$ 為熱傳發生處的平均絕對溫度。

---

(a) 熱傳率

穩態流動能量方程式為

$$\dot Q-\dot W_{\mathrm{out}} = \dot m(h_2-h_1)$$

壓縮機接受功率，因此

$$\dot W_{\mathrm{out}}=-160\ \mathrm{kW}$$

理想氣體的焓變為

$$h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)$$

因此

$$h_2-h_1 = 1.005(500-300) = 201\ \mathrm{kJ/kg}$$

流體焓增加率為

$$\dot m(h_2-h_1) = 0.5(201) = 100.5\ \mathrm{kW}$$

代入能量方程式：

$$\dot Q-(-160)=100.5$$ $$\dot Q+160=100.5$$ $$\dot Q=-59.5\ \mathrm{kW}$$

負號表示熱量由壓縮機傳向周圍環境，因此熱傳率向外為

$$\boxed{\dot Q_{\mathrm{out}}=59.5\ \mathrm{kW}}$$

---

(b) 隨熱傳排出的可用能

溫度為 $T_b$ 的熱傳，其可用能傳遞率為

$$\dot X_Q = \left(1-\frac{T_0}{T_b}\right)\dot Q$$

若以「進入壓縮機」為正，則 $\dot Q=-59.5\ \mathrm{kW}$。所以

$$\dot X_Q = \left(1-\frac{300}{400}\right)(-59.5)$$ $$\dot X_Q = 0.25(-59.5) = -14.875\ \mathrm{kW}$$

負號表示可用能由壓縮機排出。因此

$$\boxed{\dot X_{Q,\mathrm{out}}=14.9\ \mathrm{kW}}$$

---

(c) 可用能毀滅率

先計算空氣的熵變。理想氣體有

$$s_2-s_1 = c_p\ln\frac{T_2}{T_1} - R\ln\frac{p_2}{p_1}$$

代入數值：

$$s_2-s_1 = 1.005\ln\frac{500}{300} - 0.287\ln\frac{10}{1}$$ $$s_2-s_1 = 1.005\ln\left(\frac53\right) - 0.287\ln(10)$$ $$s_2-s_1 = 0.5134-0.6608 = -0.1474\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

此題考驗對理想 Brayton 製冷循環（反向 Brayton 循環）的理解與計算，包括焓、功、製冷量及性能係數。

理想 Brayton 製冷循環包含四個過程：
1-2：等熵壓縮 (Isentropic compression)
2-3：定壓加熱 (Constant-pressure heat addition)
3-4：等熵膨脹 (Isentropic expansion)
4-1：定壓冷卻 (Constant-pressure heat rejection)

在此循環中，空氣作為工作流體。
已知條件：

• 壓縮機入口 (狀態 1)：$P_1 = 100 \, kPa$, $T_1 = 285 \, K$
• 壓縮機壓力比：$r_p = P_2/P_1 = 3$。所以 $P_2 = 3 \times 100 \, kPa = 300 \, kPa$。
• 渦輪機入口 (狀態 3)：$T_3 = 315 \, K$。

忽略動能與位能變化。空氣視為理想氣體，比熱為常數。
我們需要查閱空氣的性質表或使用常數比熱值。
使用 page 4 的 Ideal Gas Properties of Air 表。
在 $T_1 = 285 \, K$ 時，$h_1 \approx 285.14 \, kJ/kg$。
在 $T_3 = 315 \, K$ 時，$h_3 \approx 315.27 \, kJ/kg$。

(a) 計算壓縮機出口 (狀態 2) 和渦輪機出口 (狀態 4) 的焓值。

過程 1-2 是等熵壓縮：
$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{P_2}{P_1})^{\frac{k-1}{k}}$
空氣的絕熱指數 $k \approx 1.4$。
$\frac{k-1}{k} = \frac{1.4-1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$。
$T_2 = T_1 \times (r_p)^{\frac{k-1}{k}} = 285 \, K \times (3)^{2/7}$
$3^{2/7} \approx 3^{0.2857} \approx 1.428$。
$T_2 = 285 \, K \times 1.428 \approx 406.98 \, K$。
從表中查 $T_2 \approx 407 \, K$ 的焓值：
$h_2 \approx 407.3 \, kJ/kg$ (這是從表中直接查 T=407K 的焓值，這比用公式計算更精確)。
若用 $c_p = 1.1 \, kJ/(kg \cdot K)$，則 $h_2 = h_1 + c_p (T_2 - T_1) = 285.14 + 1.1 \times (407 - 285) = 285.14 + 1.1 \times 122 = 285.14 + 134.2 = 419.34 \, kJ/kg$。
使用查表值： $h_2 \approx 407.3 \, kJ/kg$。

過程 3-4 是等熵膨脹：
$\frac{T_4}{T_3} = (\frac{P_4}{P_3})^{\frac{k-1}{k}}$
在 Brayton 循環中，渦輪機出口壓力 $P_4$ 通常與壓縮機入口壓力 $P_1$ 相等，即 $P_4 = P_1 = 100 \, kPa$。

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 由狀態方程式求出微分形式，並利用完全微分的混合偏導數條件檢查熱力學關係是否一致。
2. 利用 Joule–Thomson 係數
   $\mu_{JT}=\frac{1}{c_p}\left[T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P-v\right]$
   判斷反轉狀態。反轉狀態定義為
   $\mu_{JT}=0.$

已知狀態方程式為

$$v=\frac{RT}{P}-\frac{b}{T^2}.$$

---

（a）完全性檢查

以 $T$ 與 $P$ 為獨立變數，焓的基本微分式可寫成

$$dh=c_p\,dT+\left[v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P\right]dP.$$

令

$$M(T,P)=c_p, \qquad N(T,P)=v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P.$$

若 $dh$ 為完全微分，必須滿足

$$\left(\frac{\partial M}{\partial P}\right)_T = \left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)_P.$$

先由狀態方程式求得

$$\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P = \frac{R}{P}+\frac{2b}{T^3}.$$

因此

$$\begin{aligned} N &=v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P\\ &=\left(\frac{RT}{P}-\frac{b}{T^2}\right) -T\left(\frac{R}{P}+\frac{2b}{T^3}\right)\\ &=\frac{RT}{P}-\frac{b}{T^2} -\frac{RT}{P}-\frac{2b}{T^2}\\ &=-\frac{3b}{T^2}. \end{aligned}$$

所以

$$\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)_P = \frac{6b}{T^3}.$$

完全性條件為

$$\boxed{ \left(\frac{\partial c_p}{\partial P}\right)_T = \frac{6b}{T^3} }.$$

因此，若 $c_p$ 必須是 $T$ 的單獨函數，即 $\left(\partial c_p/\partial P\right)_T=0$，則只有在

$$b=0$$

時才完全相容。若允許 $c_p$ 隨壓力變化，則只要滿足

$$\left(\frac{\partial c_p}{\partial P}\right)_T = \frac{6b}{T^3},$$

此熱力學微分式即為完全微分。

對壓力積分可得

$$c_p(T,P)=f(T)+\frac{6bP}{T^3},$$

其中 $f(T)$ 為任意只與溫度有關的函數。

---