111 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《動力學》

本題考驗能量守恆與牛頓第二運動定律在圓周運動上的應用。

核心觀念：

1. 能量守恆定律：在只有保守力（重力）做功且張力不做功的情況下，系統的總機械能（動能加位能）保持不變。
2. 圓周運動的動力學：物體在圓周運動軌跡上，其加速度可分解為徑向加速度（指向圓心）和切向加速度（沿切線方向）。作用在物體上的合力等於質量乘以加速度，其中徑向合力提供向心加速度。

解題步驟：
設擺錘質量為 $m = 2 \, \text{kg}$，初始速度（在 $\theta = 0^\circ$ 時）為 $v_0 = 6 \, \text{m/s}$。擺長為 $r = 2 \, \text{m}$。

1. 利用能量守恆求速度與角度的關係
   選取 $\theta = 0^\circ$ 的位置作為位能零點。
   初始總機械能 $E_0 = \text{動能}_0 + \text{位能}_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0$。
   當擺錘運動到角度 $\theta$ 時，其高度較初始位置升高 $h = r - r\cos\theta = r(1-\cos\theta)$。
   此時的速度設為 $v$。
   在角度 $\theta$ 時的總機械能 $E_\theta = \text{動能}_\theta + \text{位能}_\theta = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1-\cos\theta)$。
   根據能量守恆定律，$E_0 = E_\theta$：
   $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1-\cos\theta)$
   $v_0^2 = v^2 + 2gr(1-\cos\theta)$
   $v^2 = v_0^2 - 2gr(1-\cos\theta)$

2. 利用牛頓第二運動定律分析圓周運動
   在角度 $\theta$ 時，作用在擺錘上的力有重力 $mg$ 和繩子的張力 $T$。
   將力分解為徑向和切向。徑向合力指向圓心，提供向心加速度。
   徑向方向（指向圓心）：$mg\cos\theta - T = m\frac{v^2}{r}$
   （注意：重力 $mg$ 的徑向分量為 $mg\cos\theta$）。

3. 求解張力為零時的角度
   題目要求找出張力 $T=0$ 時的角度 $\theta$。將 $T=0$ 代入徑向運動方程式：
   $mg\cos\theta = m\frac{v^2}{r}$
   $v^2 = gr\cos\theta$

4. 聯立方程式求解 $\theta$
   現在我們有兩個關於 $v^2$ 的方程式：
   (1) $v^2 = v_0^2 - 2gr(1-\cos\theta)$
   (2) $v^2 = gr\cos\theta$

   將 (2) 代入 (1)：
   $gr\cos\theta = v_0^2 - 2gr(1-\cos\theta)$

核心觀念

本題需使用剛體平面運動的速度與加速度關係：

$$\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A}$$ $$\mathbf a_B=\mathbf a_A+\boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{B/A} +\boldsymbol\omega_{AB}\times \left(\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A}\right)$$

其中：

• $\boldsymbol\omega_{AB}$：桿件 AB 的角速度。
• $\boldsymbol\alpha_{AB}$：桿件 AB 的角加速度。
• $\mathbf r_{B/A}$：由 A 指向 B 的位置向量。
• 最後一項為向心加速度。

滑塊 C 則須依其導槽方向限制速度與加速度：

$$\mathbf v_C=\mathbf v_A+ \boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{C/A}$$ $$\mathbf a_C=\mathbf a_A+ \boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{C/A} -\omega_{AB}^{2}\mathbf r_{C/A}$$

若 C 與 B 由另一連桿相接，還必須再對該連桿套用相同的剛體運動公式。

解題方法

先由 Figure 2 讀取下列資料：

1. A、B、C 的幾何位置與桿長。
2. AB 當下的方向。
3. A 點的速度與加速度。
4. AB 的角速度 $\omega_{AB}$ 與角加速度 $\alpha_{AB}$。
5. 滑塊 C 的運動方向。

核心觀念

本題考查：

• 均質圓盤對質心 $B$ 的質量慣性矩
• 受限平面運動的受力平衡
• 庫倫動摩擦力：$F_f=\mu_k N$
• 定軸轉動方程：
  $\sum M_B=I_B\alpha$

由圖可知圓盤半徑為 $r=150\text{ mm}=0.15\text{ m}$，支桿 $BC$ 與水平夾角 $60^\circ$。圓盤順時針旋轉，因此右側接觸點相對牆面向下滑動，動摩擦力向上。

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(a) 圓盤對 $B$ 點的質量慣性矩

均質實心圓盤對中心 $B$ 的質量慣性矩為

$$I_B=\frac{1}{2}mr^2$$

代入 $m=20\text{ kg}$、$r=0.15\text{ m}$：

$$I_B=\frac{1}{2}(20)(0.15)^2 =0.225\text{ kg}\cdot\text{m}^2$$

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(b) 支桿 $BC$ 的作用力

圓盤的中心 $B$ 受支桿力、牆面正向力、摩擦力及重力作用。由於圓盤中心位置固定，平動加速度為零。

設支桿力為 $P$。若支桿受壓，支桿對圓盤的作用力方向沿支桿由 $C$ 指向 $B$，因此

• 水平方向分量：$P\cos60^\circ$
• 垂直方向分量：$P\sin60^\circ$

水平方向平衡：

$$N=P\cos60^\circ$$

動摩擦力為

$$F_f=\mu_kN =\mu_kP\cos60^\circ$$

垂直方向平衡：

$$P\sin60^\circ+F_f-mg=0$$

代入 $F_f=\mu_kP\cos60^\circ$：

$$P\left(\sin60^\circ+\mu_k\cos60^\circ\right)=mg$$

因此

$$P= \frac{mg}{\sin60^\circ+\mu_k\cos60^\circ}$$ $$P= \frac{(20)(9.81)} {0.8660+(0.3)(0.5)} =193.1\text{ N}$$

核心觀念

本題考查：

• 剛體轉動的功：$W_M=M\theta$
• 彈簧勢能：$V_s=\frac12kx^2$
• 剛體平面運動的動能：
  $T=\frac12mv_G^2+\frac12I_G\omega^2$
• 圓盤純滾動條件：
  $v_G=R\omega,\qquad s=R\theta$

由圖得圓盤半徑 $R=0.5\ \text{m}$。

解題方法

採用功與能量原理。圓盤由靜止開始，且彈簧初始未伸長。質心沿水平面移動 $s=0.5\ \text{m}$ 後，彈簧伸長量為

$$x=s=0.5\ \text{m}$$

因為圓盤純滾動，

$$\theta=\frac{s}{R} =\frac{0.5}{0.5} =1\ \text{rad}$$

外加力偶所作的功為

$$W_M=M\theta =80(1) =80\ \text{J}$$

彈簧儲存的能量為

$$V_s=\frac12kx^2 =\frac12(200)(0.5)^2 =25\ \text{J}$$

圓盤質量轉動慣量：

$$I_G=mk_G^2 =30(0.35)^2 =3.675\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

由功－能定理：