113 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

核心觀念

本題考查封閉系統活塞汽缸的第一定律，並結合多方過程：

1. 由初始比容求丙烷質量。
2. 利用 $pV^{1.1}=\text{constant}$ 求末狀態體積。
3. 由末比容在過熱丙烷表查得末內能。
4. 使用邊界功公式與封閉系統能量平衡式。

忽略動能與位能變化時：

$$Q-W=\Delta U$$

其中 $W$ 定義為「系統對外所作的功」。

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解題方法

（1）求丙烷質量

初始狀態為 $p_1=1\ \text{bar}$、$T_1=30^\circ\text{C}$。

由表得：

$$v_1=0.5824\ \text{m}^3/\text{kg}$$

因此丙烷質量為：

$$m=\frac{V_1}{v_1} =\frac{0.2}{0.5824} =0.3434\ \text{kg}$$

初始內能由表查得：

$$u_1=493.7\ \text{kJ/kg}$$

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（2）求末狀態體積

已知過程關係：

$$pV^{1.1}=\text{constant}$$

因此：

$$p_1V_1^{1.1}=p_2V_2^{1.1}$$

整理得：

$$V_2=V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/1.1}$$

代入 $p_1=1\ \text{bar}$、$p_2=4\ \text{bar}$：

$$V_2=0.2\left(\frac{1}{4}\right)^{1/1.1}$$ $$V_2=0.0567\ \text{m}^3$$

末比容為：

$$v_2=\frac{V_2}{m} =\frac{0.0567}{0.3434} =0.1652\ \text{m}^3/\text{kg}$$

在 $p_2=4\ \text{bar}$ 的過熱丙烷表中，$v=0.1652\ \text{m}^3/\text{kg}$ 對應：

$$T_2\approx90^\circ\text{C}$$

由表得末內能：

$$u_2=573.5\ \text{kJ/kg}$$

所以內能變化為：

$$\Delta U=m(u_2-u_1)$$

本題考查穩態流動系統的能量守恆（第一類邊界定律）、質量守恆（連續方程式）以及熵產生計算。

核心觀念：

1. 穩態流動系統的能量守恆 (Steady-flow Energy Equation)： 對於單入口單出口的穩態流動系統，忽略位能變化，第一類邊界定律可寫為：
   $\dot{m}(h_1 + \frac{V_1^2}{2}) + \dot{Q}_{in} = \dot{m}(h_2 + \frac{V_2^2}{2}) + \dot{W}_{out}$
   本題中，系統是 well-insulated diffuser，故 $\dot{Q}_{in} = 0$ 且 $\dot{W}_{out} = 0$。
   因此，$\dot{m}(h_1 + \frac{V_1^2}{2}) = \dot{m}(h_2 + \frac{V_2^2}{2})$，或 $h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2}$。
2. 焓與溫度關係 (Enthalpy-Temperature Relation for Ideal Gas)： 對於理想氣體，焓的變化可以表示為 $h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1)$。
3. 穩態流動系統的質量守恆 (Continuity Equation)：
   $\dot{m} = \rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2$
   對於理想氣體，$\rho = P/(RT)$，所以 $\frac{P_1 A_1 V_1}{R T_1} = \frac{P_2 A_2 V_2}{R T_2}$。
4. 穩態流動系統的熵產生 (Entropy Production)： 對於控制體積，穩態下的熵平衡方程為：
   $\sum \dot{m}_e s_e - \sum \dot{m}_i s_i + \int_CV \frac{\dot{q}}{T} dV + \dot{S}_{gen} = 0$
   本題中，系統是 well-insulated，所以 $\dot{q}=0$。且是單入口單出口，所以 $\dot{m}_1 = \dot{m}_2 = \dot{m}$。
   $\dot{m} s_2 - \dot{m} s_1 + \dot{S}_{gen} = 0$
   每單位質量的熵產生為 $s_{gen} = s_2 - s_1$。
   對於理想氣體，熵的變化為 $s_2 - s_1 = c_p \ln\frac{T_2}{T_1} - R \ln\frac{p_2}{p_1}$。
5. 理想氣體常數 R： 氮氣 ($N_2$) 的分子量 $M = 2 \times 14.007 = 28.014 \text{ g/mol} = 0.028014 \text{ kg/mol}$。
   $R = \frac{R_u}{M} = \frac{8.314 \text{ J/(mol·K)}}{0.028014 \text{ kg/mol}} \approx 296.78 \text{ J/(kg·K)} = 0.29678 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}$。

已知條件：
狀態 1 (入口):
$p_1 = 0.656 \text{ bar} = 0.0656 \text{ MPa}$
$T_1 = 300 \text{ K}$
$V_1 = 282 \text{ m/s}$
$A_1 = 4.8 \times 10^{-3} \text{ m}^2$
狀態 2 (出口):
$p_2 = 0.9 \text{ bar} = 0.09 \text{ MPa}$
$V_2 = 130 \text{ m/s}$
$c_p = 1.04 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}$
$R = 0.29678 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}$
忽略位能變化。

解題步驟：

(a) 計算出口溫度 $T_2$

使用穩態流動能量守恆方程：
$h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2}$
將焓表示為溫度變化：
$c_p (T_1 - T_2) = \frac{V_2^2 - V_1^2}{2}$
$T_2 - T_1 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 c_p}$
$T_2 = T_1 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 c_p}$

代入數值：
$V_1 = 282 \text{ m/s}$
$V_2 = 130 \text{ m/s}$
$c_p = 1.04 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K} = 1.04 \times 1000 \text{ J/kg} \cdot \text{K} = 1040 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$

$T_2 = 300 \text{ K} + \frac{(282 \text{ m/s})^2 - (130 \text{ m/s})^2}{2 \times 1040 \text{ J/kg} \cdot \text{K}}$
$T_2 = 300 \text{ K} + \frac{79524 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 16900 \text{ m}^2/\text{s}^2}{2080 \text{ J/kg} \cdot \text{K}}$
$T_2 = 300 \text{ K} + \frac{62624 \text{ m}^2/\text{s}^2}{2080 \text{ J/kg} \cdot \text{K}}$
注意單位轉換：$1 \text{ J} = 1 \text{ N} \cdot \text{m} = 1 (\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{m} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$。
所以，$\frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{J/kg} \cdot \text{K}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2}{\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2 \cdot \text{K}} = \text{K}$。單位正確。

$T_2 = 300 \text{ K} + \frac{62624}{2080} \text{ K}$

核心觀念

本題考查絕熱穩態渦輪的：

• 穩態流動第一定律
• 飽和水與濕蒸汽性質查表
• 渦輪等熵效率
• 熵平衡與熵產生
• 實際膨脹與等熵膨脹在 $T$-$s$ 圖上的差異

假設渦輪為穩態流動，忽略動能與位能變化，且無熱傳：

$$h_1-h_2=w_t$$

其中 $w_t$ 為單位質量渦輪輸出功。

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已知條件與狀態判定

入口為 8 bar 飽和水蒸氣，因此狀態 1 位於 8 bar 飽和蒸氣線上。由蒸汽表查得：

性質	狀態 1：8 bar 飽和蒸氣
$T_1$	$170.4^\circ\text{C}$
$h_1=h_g$	$2768.5\ \text{kJ/kg}$
$s_1=s_g$	$6.66\ \text{kJ/(kg·K)}$

渦輪輸出功為：

$$w_t=320\ \text{kJ/kg}$$

出口壓力為：

$$P_2=1\ \text{bar}$$

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(1) $T$-$s$ 圖

在 $T$-$s$ 圖上，狀態 1 為 8 bar 的飽和蒸氣。實際膨脹至 1 bar 後，由於熵增加，實際出口狀態 2 位於等熵出口狀態 $2s$ 的右側。

        T
        ↑
        │                         ● 1
        │                        ／│
        │                      ／  │  等熵膨脹
        │                    ／    │
        │             飽和蒸氣線   │
        │                 ／       ● 2s
        │                ／       ／
        │               ／      ● 2
        │              ／      實際膨脹
        │             ／
        │            ／
        │          ／
        └────────────────────────────→ s
                         P₂ = 1 bar

其中：

• $1\rightarrow 2s$：理想等熵膨脹，$s_{2s}=s_1$
• $1\rightarrow 2$：實際絕熱膨脹，$s_2>s_1$
• 狀態 $2$ 與 $2s$ 均位於 1 bar 的濕蒸汽區

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(2) 出口蒸汽溫度

先求出口焓

由穩態流動第一定律：

$$h_1-h_2=w_t$$

因此：

$$h_2=h_1-w_t$$ $$h_2=2768.5-320$$ $$h_2=2448.5\ \text{kJ/kg}$$

判定出口狀態

1 bar 飽和水性質約為：

$$T_{\text{sat}}=99.6^\circ\text{C}$$ $$h_f=417.5\ \text{kJ/kg}$$ $$h_g=2675.5\ \text{kJ/kg}$$

因為：

$$h_f<h_2<h_g$$

所以出口為濕蒸汽，而非過熱蒸汽。濕蒸汽在固定壓力下的溫度等於飽和溫度，因此：

$$\boxed{T_2=99.6^\circ\text{C}}$$

亦可先計算乾度驗證：

$$x_2=\frac{h_2-h_f}{h_{fg}}$$

其中：

$$h_{fg}=h_g-h_f=2675.5-417.5=2258.0\ \text{kJ/kg}$$

所以：

$$x_2=\frac{2448.5-417.5}{2258.0}$$

本題要求繪製四種不同熱力學循環的過程圖，並簡要描述各過程。

核心觀念：

1. 熱力學循環圖： 壓-比容 (p-v) 圖和溫-熵 (T-s) 圖是描述熱力學循環的標準工具。
   • p-v 圖的面積代表系統對外作的功。
   • T-s 圖的面積代表系統吸收的熱量。
2. 理想循環的假設： 通常假設工作流體為理想氣體或飽和蒸汽，並假設過程為可逆過程（等熵、等容、等壓、等溫）。

繪圖與說明：

(1) 壓力-比容 (p-v) 圖 for an Ideal Otto Cycle

• 理想奧圖循環 (Ideal Otto Cycle)： 由四個過程組成：

  1. 等熵壓縮 (Isentropic Compression, 1-2)： 活塞從下死點 (BDC) 壓縮到上死點 (TDC)。工作流體（通常是理想氣體）被壓縮，壓力、溫度和比容均改變。
  2. 定容加熱 (Constant Volume Heat Addition, 2-3)： 在 TDC 處，火星塞點火，在極短時間內加熱工作流體。壓力急劇升高，溫度升高，比容不變。
  3. 等熵膨脹 (Isentropic Expansion, 3-4)： 工作流體膨脹，推動活塞從 TDC 到 BDC。壓力、溫度和比容均改變。
  4. 定容放熱 (Constant Volume Heat Rejection, 4-1)： 在 BDC 處，工作流體通過閥門排出，並與外界進行熱交換，壓力急劇下降，溫度下降，比容不變。

• p-v 圖繪製：

  • y 軸為壓力 (p)，x 軸為比容 (v)。
  • 過程 1-2 (等熵壓縮)：一條向上彎曲的曲線（斜率比等溫線陡）。$v$ 減小，$p$ 增大，$T$ 增大。
  • 過程 2-3 (定容加熱)：一條垂直向上的線段。$v$ 不變，$p$ 顯著增大，$T$ 顯著增大。
  • 過程 3-4 (等熵膨脹)：一條向下彎曲的曲線。$v$ 增大，$p$ 減小，$T$ 減小。
  • 過程 4-1 (定容放熱)：一條垂直向下的線段。$v$ 不變，$p$ 顯著減小，$T$ 顯著減小。
  • 整個循環形成一個閉合迴路。

(2) 壓力-比容 (p-v) 圖 for an Ideal Diesel Cycle

• 理想柴油循環 (Ideal Diesel Cycle)： 由四個過程組成：

  1. 等熵壓縮 (Isentropic Compression, 1-2)： 同奧圖循環。
  2. 定壓加熱 (Constant Pressure Heat Addition, 2-3)： 在 TDC 附近，燃料噴入高溫氣缸內自燃，並在活塞從 TDC 向 BDC 移動的過程中，保持壓力恆定進行加熱。$p$ 不變，$T$ 增大，$v$ 增大。
  3. 等熵膨脹 (Isentropic Expansion, 3-4)： 同奧圖循環。
  4. 定容放熱 (Constant Volume Heat Rejection, 4-1)： 同奧圖循環。

• p-v 圖繪製：

  • 過程 1-2 (等熵壓縮)：同奧圖循環。
  • 過程 2-3 (定壓加熱)：一條水平向右的線段。$p$ 不變，$v$ 增大，$T$ 增大。
  • 過程 3-4 (等熵膨脹)：同奧圖循環。
  • 過程 4-1 (定容放熱)：同奧圖循環。
  • 比較奧圖循環，柴油循環的定壓加熱過程 (2-3) 使得循環的效率通常低於奧圖循環（對於相同的壓縮比）。

(3) 壓力-比容 (p-v) 圖 for an Ideal Brayton Cycle

• 理想布雷頓循環 (Ideal Brayton Cycle)： 用於燃氣輪機，由四個過程組成：
  1. 等熵壓縮 (Isentropic Compression, 1-2)： 工作流體（空氣）在壓縮機中被壓縮。$p$ 增大，$v$ 減小，$T$ 增大。
  2. 定壓加熱 (Constant Pressure Heat Addition, 2-3)： 工作流體進入燃燒室，與燃料混合燃燒，吸收熱量。$p$ 不變，$T$ 增大，$v$ 增大。
  3. 等熵膨脹 (Isentropic Expansion, 3-4)： 高溫高壓的氣體通過渦輪膨脹做功。$p$ 減小，$v$ 增大，$T$ 減小。

本題考查濕空氣的熱力學性質計算，包括相對濕度、濕度比、露點溫度以及加熱後的相對濕度。

核心觀念：

1. 濕空氣的定義： 濕空氣是乾燥空氣和水蒸氣的混合物。
2. 分壓定律 (Dalton's Law of Partial Pressures)： 總壓力等於各組分氣體的が分壓之和：$p = p_a + p_v$，其中 $p_a$ 是乾燥空氣的分壓，$p_v$ 是水蒸氣的分壓。
3. 相對濕度 ($\phi$)： 定溫下，濕空氣中水蒸氣的實際分壓與該溫度下飽和水蒸氣分壓之比：
   $\phi = \frac{p_v}{p_{g}(T)}$
   其中 $p_g(T)$ 是在濕空氣溫度 $T$ 下的飽和水蒸氣壓力。
4. 濕度比 ($\omega$)： 濕空氣中水蒸氣的質量與乾燥空氣質量的比值：
   $\omega = \frac{m_v}{m_a} = 0.622 \frac{p_v}{p_a} = 0.622 \frac{p_v}{p - p_v}$
   其中 $0.622$ 是乾空氣與水蒸氣的氣體常數比 ($R_a/R_v$)。
5. 露點溫度 ($T_{dp}$)： 在濕空氣總壓不變的情況下，將濕空氣冷卻至水蒸氣開始凝結時的溫度。此時，水蒸氣的實際分壓等於該溫度下的飽和水蒸氣壓力，$p_v = p_g(T_{dp})$。
6. 加熱過程： 當濕空氣在封閉容器中被加熱時，總壓 $p$ 保持不變（假設容器未膨脹），水蒸氣的分壓 $p_v$ 也保持不變（假設沒有水分子的進出）。只有溫度 $T$ 升高。

已知條件：
初始濕空氣狀態：
溫度 $T = 30^\circ\text{C}$
總壓力 $p = 100 \text{ kPa}$
水蒸氣分壓 $p_v = 1.5 \text{ kPa}$

解題步驟：

(1) Determine the relative humidity ($\phi$).

相對濕度定義為 $\phi = \frac{p_v}{p_{g}(T)}$。
我們需要查表找到在 $T = 30^\circ\text{C}$ 時的飽和水蒸氣壓力 $p_g(30^\circ\text{C})$。
從蒸汽表中，在 $T=30^\circ\text{C}$ 時，飽和壓力 $p_g(30^\circ\text{C}) = 4.246 \text{ kPa}$。

$\phi = \frac{1.5 \text{ kPa}}{4.246 \text{ kPa}}$
$\phi \approx 0.3532$

【答案】 (1) $\phi = 0.3532$ (或 35.32%)**

(2) Determine the humidity ratio ($\omega$).

濕度比的計算公式為 $\omega = 0.622 \frac{p_v}{p - p_v}$。
$p_v = 1.5 \text{ kPa}$
$p = 100 \text{ kPa}$

$\omega = 0.622 \frac{1.5 \text{ kPa}}{100 \text{ kPa} - 1.5 \text{ kPa}}$
$\omega = 0.622 \frac{1.5}{98.5}$
$\omega = 0.622 \times 0.015228 \approx 0.009472$