113 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《工程數學》

核心觀念

向量 $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ 線性獨立的定義是：若

$$c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+c_3\vec v_3=\vec 0,$$

則必須只有唯一解

$$c_1=c_2=c_3=0.$$

將三個向量作為矩陣的欄向量：

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&-1&1\\ 3&3&-1 \end{bmatrix}.$$

對於方陣而言，

$$\det(A)\neq 0$$

等價於矩陣可逆，也等價於其欄向量線性獨立。

解題方法

計算矩陣 $A$ 的行列式：

核心觀念

對線性齊次常微分方程組

$$X'=AX$$

若矩陣 $A$ 有特徵值 $\lambda$ 及對應特徵向量 $v\neq 0$，則

$$X(t)=e^{\lambda t}v$$

是方程組的一組解。若 $A$ 有足夠多個線性獨立的特徵向量，通解就是各組特徵解的線性組合。

本題重點為：

1. 求特徵方程 $\det(A-\lambda I)=0$。
2. 對每個特徵值求特徵向量。
3. 利用 $e^{\lambda t}v$ 組合出通解。

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解題方法

矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&-2 \end{bmatrix}.$$

矩陣的前兩列、前兩行形成一個 $2\times 2$ 區塊，而第三個變數獨立對應到特徵值 $-2$，因此可直接求特徵值與特徵向量。

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(1) 特徵值與特徵向量

求特徵值

計算特徵方程：

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -1-\lambda&1&0\\ 1&-1-\lambda&0\\ 0&0&-2-\lambda \end{vmatrix}.$$

沿第三欄或第三列展開，得到

$$\det(A-\lambda I) = (-2-\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda&1\\ 1&-1-\lambda \end{vmatrix}.$$

因此

$$\det(A-\lambda I) = (-2-\lambda)\left[(-1-\lambda)^2-1\right].$$

整理為

$$\det(A-\lambda I) = (-2-\lambda)(\lambda^2+2\lambda) = -\lambda(\lambda+2)^2.$$

令特徵方程等於零：

$$-\lambda(\lambda+2)^2=0.$$

所以特徵值為

$$\boxed{\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=\lambda_3=-2}.$$

其中 $\lambda=-2$ 是重根，代數重數為 $2$。

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特徵值 $\lambda=0$ 的特徵向量

解

$$(A-0I)v=Av=0.$$

令

$$v= \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix},$$

則

$$\begin{bmatrix} -1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}.$$

由方程組可得

$$-v_1+v_2=0,\qquad v_1-v_2=0,\qquad -2v_3=0.$$

因此

$$v_2=v_1,\qquad v_3=0.$$

取 $v_1=1$，可得一組特徵向量

$$\boxed{ v_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix} }.$$

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特徵值 $\lambda=-2$ 的特徵向量

解

$$(A+2I)v=0.$$

其中

$$A+2I= \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix},$$

得到

$$v_1+v_2=0.$$

所以

$$v_2=-v_1,$$

而 $v_3$ 可任意取值。特徵向量的一般形式為

(1) 求解 $f(x)$ 之傅立葉級數

由於 $f(x) = x^2$ 於 $(-\pi, \pi)$ 為偶函數（Even function），其正弦項係數 $b_n = 0$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)。

1. 計算常數項 $a_0$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}$
故直流分量（Constant term）為 $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{3}$。

2. 計算餘弦項係數 $a_n$ ($n \ge 1$)

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$

利用分部積分法（Integration by parts）：
$\int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2x \frac{\sin(nx)}{n} \, dx$
$= 0 - \frac{2}{n} \left( \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{\cos(nx)}{n} \, dx \right)$
$= -\frac{2}{n} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 \right) = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$

代回 $a_n$ 可得：
$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

核心觀念

本題考查一階線性微分方程

$$\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)$$

的解法，以及齊次解與初始條件的使用。

• 齊次方程：令右側 $q(t)=0$。
• 積分因子：

$$\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}$$

• 初始條件 $x(0)=1$ 用來決定積分常數。

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解題方法

（1）齊次解

將非齊次項 $e^{-2t}$ 設為 $0$，得到齊次方程：

$$\frac{dx_h}{dt}+3x_h=0$$

整理為：

$$\frac{dx_h}{dt}=-3x_h$$

分離變數：

$$\frac{1}{x_h}\,dx_h=-3\,dt$$

兩邊積分：

$$\ln|x_h|=-3t+C$$

因此：

$$x_h(t)=Ce^{-3t}$$

其中 $C$ 為任意常數。

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（2）不用 Laplace transform 求 $x(t)$

原方程為：

$$\frac{dx}{dt}+3x=e^{-2t}$$

這是一階線性微分方程，其中 $p(t)=3$，因此積分因子為：

$$\mu(t)=e^{\int 3\,dt}=e^{3t}$$

方程兩側同乘 $e^{3t}$：

$$e^{3t}\frac{dx}{dt}+3e^{3t}x=e^{3t}e^{-2t}$$

左側可寫成乘積微分：

$$\frac{d}{dt}\left(e^{3t}x\right)=e^t$$

兩邊對 $t$ 積分：

(1) 求 $\mathcal{L}\left\{\frac{dx_1}{dt}\right\}$ 之表示式

由拉普拉斯轉換之微分性質：
$\mathcal{L}\left\{\frac{dx_1}{dt}\right\} = s X_1(s) - x_1(0)$

代入初始條件 $x_1(0) = 1$：
$\mathcal{L}\left\{\frac{dx_1}{dt}\right\} = s X_1(s) - 1$

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(2) 直接由微分方程求 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 之拉普拉斯轉換

設 $\mathcal{L}\{x_1(t)\} = X_1(s)$，$\mathcal{L}\{x_2(t)\} = X_2(s)$。對原微分方程組兩端取拉普拉斯轉換並代入初始條件 $x_1(0) = 1$、$x_2(0) = 0$：

1. 第一式：
   $2[sX_1(s) - 1] + [sX_2(s) - 0] + 3X_1(s) = \frac{1}{s}$
   $(2s + 3)X_1(s) + sX_2(s) = \frac{1}{s} + 2 = \frac{2s + 1}{s}$

2. 第二式：
   $[sX_1(s) - 1] + 2[sX_2(s) - 0] + 4X_2(s) = \frac{1}{s + 1}$
   $sX_1(s) + (2s + 4)X_2(s) = \frac{1}{s + 1} + 1 = \frac{s + 2}{s + 1}$

寫成線性方程組之矩陣型態：