115 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《材料力學》

核心觀念

本題考查：

1. 動態放大因子 $DAF$ 對著陸載重的放大。
2. 三支支柱平均分擔載重。
3. Euler 彈性挫屈公式。
4. 不同端部拘束對有效長度因子 $K$ 的影響。
5. 矩形截面的慣性矩與安全係數設計。

題目明確給定設計安全係數 $n=2$，因此採用：

$$P_{\mathrm{cr}} \geq nP$$

其中 $P_{\mathrm{cr}}$ 為挫屈臨界載重，$P$ 為單支支柱承受的最大壓縮力。

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解題方法

（1）單支支柱的最大軸向壓縮力

飛機靜態重量為

$$W=mg=200(9.81)=1962\ \mathrm{N}$$

考慮著陸衝擊，總動態載重為

$$W_{\mathrm{dynamic}}=DAF\cdot W =4(1962)=7848\ \mathrm{N}$$

三支支柱平均分擔，因此單支支柱的最大軸向壓縮力為

$$P=\frac{7848}{3} =2616\ \mathrm{N}$$

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（2）端部拘束與有效長度因子

考慮兩個可能的挫屈平面：

• 在 $xz$ 平面內，輪軸端可轉動，且可沿 $x$ 方向平移，因此下端對挫屈的拘束近似為自由端；上端為固定端。
• 在 $yz$ 平面內，輪胎不側滑，且輪叉與側向支柱限制轉動，因此兩端拘束較強。

其中 $xz$ 平面的固定—自由柱最容易挫屈，故為控制狀況。固定—自由柱的有效長度因子為

$$K=2$$

Euler 挫屈公式為

$$P_{\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2EI_{\min}}{(KL)^2}$$

設計條件為

$$P_{\mathrm{cr}}\geq nP =2(2616)=5232\ \mathrm{N}$$

因此所需最小慣性矩為

核心觀念

本題考查：

• 固定端加滾子支承之超靜定梁
• 利用 $B$ 點垂直位移為零求支承反力
• 剪力圖與彎矩圖
• 圓管截面慣性矩與彎曲正應力
• 懸臂梁端點撓度

取 $A$ 為原點，向右為 $x$ 軸：

$$A: x=0,\qquad B: x=0.36\ \text{m},\qquad a: x=0.40\ \text{m},\qquad C: x=0.60\ \text{m}$$

集中載重為

$$P=mg=1(9.81)=9.81\ \text{N}$$

均佈載重作用於 $BC$，其合力為

$$W=w(0.60-0.36)=20(0.24)=4.80\ \text{N}$$

作用位置為

$$x_W=0.36+\frac{0.24}{2}=0.48\ \text{m}$$

圖中 $60\ \text{mm}$ 為載重相對管中心線的偏移；對本題所考慮的垂直彎曲而言，垂直力的作用線仍決定彎曲反應，該偏移不另形成 $x$–$y$ 平面內的彎矩。

(1) 支承反力

求 $F_B$

先將 $B$ 視為自由端，利用相容條件

$$\delta_B=0$$

以單位力法計算 $B$ 點位移。向下載重造成向下位移，$F_B$ 造成向上位移，因此

$$F_B\frac{b^3}{3EI} = P\frac{b^2(3a-b)}{6EI} + w\frac{(L-b)b^2(3L-b)}{12EI}$$

其中

$$b=0.36,\qquad a=0.40,\qquad L=0.60$$

代入：

$$F_B = \frac{3}{b^3} \left[ P\frac{b^2(3a-b)}{6} + w\frac{(L-b)b^2(3L-b)}{12} \right]$$ $$F_B = 16.24\ \text{N}$$

方向向上。

垂直力平衡

取向上為正：

$$F_A+F_B-P-W=0$$ $$F_A=9.81+4.80-16.24$$ $$F_A=-1.63\ \text{N}$$

因此 $F_A$ 為 $1.63\ \text{N}$ 向下。

$A$ 點力矩平衡

取逆時針為正：

$$M_A+F_B(0.36)-P(0.40)-W(0.48)=0$$ $$M_A = 9.81(0.40)+4.80(0.48)-16.24(0.36)$$ $$M_A=0.383\ \text{N}\cdot\text{m}$$

方向為逆時針。

(2) 剪力圖與彎矩圖

採用左側自由體，剪力 $V$ 的正方向取向上。

剪力函數

區段 $AB$：$0<x<0.36$

$$V(x)=F_A=-1.63\ \text{N}$$

區段 $Ba$：$0.36<x<0.40$

$$V(x)=F_A+F_B-w(x-0.36)$$

區段 $aC$：$0.40<x<0.60$

$$V(x)=F_A+F_B-w(x-0.36)-P$$

重要剪力值：

$$\begin{array}{c|c} \text{位置} & V\ (\text{N})\\ \hline A^+ & -1.63\\ B^- & -1.63\\ B^+ & -1.63+16.24=14.61\\ a^- & 14.61-20(0.04)=13.81\\ a^+ & 13.81-9.81=4.00\\ C & 4.00-20(0.20)=0 \end{array}$$

因此剪力圖為：

• $AB$：固定值 $-1.63\ \text{N}$
• $B$ 處向上跳升 $16.24\ \text{N}$
• $BC$ 以斜率 $-w=-20\ \text{N/m}$ 線性下降
• $a$ 處因集中力下降 $9.81\ \text{N}$
• $C$ 處降至零

彎矩函數

區段 $AB$：$0<x<0.36$

$$M(x) = F_B(0.36-x) -P(0.40-x) -\frac{w}{2} \left[ (0.60-x)^2-(0.36-x)^2 \right]$$

區段 $Ba$：$0.36<x<0.40$

$$M(x) = -P(0.40-x) -\frac{w}{2}(0.60-x)^2$$

區段 $aC$：$0.40<x<0.60$

$$M(x) = -\frac{w}{2}(0.60-x)^2$$

主要彎矩值：

$$\begin{array}{c|c} \text{位置} & M\ (\text{N}\cdot\text{m})\\ \hline A & -0.383\\ B & -0.968\\ a & -0.576\\ C & 0 \end{array}$$

彎矩圖在 $AB$ 為直線，在 $BC$ 為拋物線；$a$ 處彎矩連續，但剪力發生跳躍。

(3) 最大剪力與最大彎矩

由剪力圖可得最大剪力發生於 $B$ 點右側：

本題考驗材料力學中應力分析的觀念，包含莫爾圓 (Mohr's Circle) 的繪製與應用、主應力、最大剪應力、應力轉換角度的計算，以及使用扭曲能量理論 (Von Mises Theory) 判斷材料是否會發生屈服。

核心觀念：

1. 平面應力狀態 (Plane Stress)： 應力張量中，有一個方向的應力分量為零。
2. 莫爾圓： 一種圖解法，用於視覺化應力轉換，並方便計算主應力、最大剪應力等。
3. 主應力 (Principal Stresses)： 在主應力平面上，剪應力為零，正向應力為最大值與最小值。
4. 最大剪應力 (Maximum Shear Stress)： 梁或桿件在某一點承受的最大剪應力值。
5. 應力轉換角度： 旋轉座標系以消除剪應力或找到最大剪應力平面。
6. 扭曲能量理論 (Von Mises Theory)： 一種屈服準則，用於判斷延性材料在複雜應力狀態下是否會發生屈服。

解題步驟：

給定平面應力狀態：
$\sigma_{xx} = 15 \text{ MPa}$
$\sigma_{yy} = -5 \text{ MPa}$
$\tau_{xy} = \tau_{yx} = 12 \text{ MPa}$

1. 繪製莫爾圓圖 (Mohr's Circle Schematic)

莫爾圓的圓心和半徑可由給定的應力分量計算得出。
圓心座標 $(\sigma_{avg}, 0)$，其中 $\sigma_{avg} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2}$。
半徑 $R = \sqrt{(\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$。

• 計算圓心：
  $\sigma_{avg} = \frac{15 \text{ MPa} + (-5 \text{ MPa})}{2} = \frac{10 \text{ MPa}}{2} = 5 \text{ MPa}$。
  圓心座標為 $(5, 0)$。

• 計算半徑：
  $\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2} = \frac{15 \text{ MPa} - (-5 \text{ MPa})}{2} = \frac{20 \text{ MPa}}{2} = 10 \text{ MPa}$。
  $R = \sqrt{(10 \text{ MPa})^2 + (12 \text{ MPa})^2} = \sqrt{100 + 144} \text{ MPa} = \sqrt{244} \text{ MPa} \approx 15.62 \text{ MPa}$。

• 莫爾圓圖繪製：

  1. 繪製 $\sigma$ (水平軸) 和 $\tau$ (垂直軸) 座標系。
  2. 標示圓心 C 於 $(5, 0)$。
  3. 以 C 為圓心，R ≈ 15.62 mm 為半徑繪製圓。
  4. 應力點 (Stress Points)：
     • X 面 (σ_xx, τ_xy) 的點 P_x 座標為 $(15, 12)$。
     • Y 面 (σ_yy, τ_yx) 的點 P_y 座標為 $(-5, -12)$。
     • 將這兩個點標示在圖上。它們應位於莫爾圓上。
     • 檢查：
       P_x: $(\sigma_{avg} + R \cos(2\theta), R \sin(2\theta))$。
       P_y: $(\sigma_{avg} - R \cos(2\theta), -R \sin(2\theta))$。
       對於 P_x $(15, 12)$，離圓心 $(5, 0)$ 的距離為 $\sqrt{(15-5)^2 + 12^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100+144} = \sqrt{244} = R$。
       對於 P_y $(-5, -12)$，離圓心 $(5, 0)$ 的距離為 $\sqrt{(-5-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-12)^2} = \sqrt{100+144} = \sqrt{244} = R$。
       這兩個點確實都在莫爾圓上。

(a) 圓心 (Center): $(5 \text{ MPa}, 0)$。
(b) 半徑 (Radius): $R \approx 15.62 \text{ MPa}$。
(c) 應力點 (Stress Points): X 面點 $(15 \text{ MPa}, 12 \text{ MPa})$；Y 面點 $(-5 \text{ MPa}, -12 \text{ MPa})$。

2. 計算最大和最小主應力值 ($\sigma_1, \sigma_2$)

主應力是莫爾圓與 $\sigma$ 軸的交點。
$\sigma_1 = \sigma_{avg} + R$
$\sigma_2 = \sigma_{avg} - R$

$\sigma_1 = 5 \text{ MPa} + 15.62 \text{ MPa} = 20.62 \text{ MPa}$。
$\sigma_2 = 5 \text{ MPa} - 15.62 \text{ MPa} = -10.62 \text{ MPa}$。

3. 計算最大剪應力值 ($\tau_{max}$)

最大剪應力是莫爾圓的半徑。
$\tau_{max} = R = 15.62 \text{ MPa}$。

4. 計算主應力平面相對於原始 x-軸的旋轉角度 ($\theta_p$)

在莫爾圓上，原始 x 面 (σ_xx, τ_xy) 的點 P_x $(15, 12)$ 與圓心 C $(5, 0)$ 的連線，其角度 $2\theta$ 代表了原始座標系與主應力座標系之間的夾角。
點 P_x $(15, 12)$ 相對於圓心 $(5, 0)$ 的向量為 $(15-5, 12-0) = (10, 12)$。
此向量與 $\sigma$ 軸（水平軸）的夾角為 $2\theta_{px}$。
$\tan(2\theta_{px}) = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_{xx} - \sigma_{avg}} = \frac{12}{15 - 5} = \frac{12}{10} = 1.2$。
$2\theta_{px} = \arctan(1.2) \approx 50.19^\circ$。

本題考驗材料力學中梁的彎曲理論，包含簡支梁的支反力計算、中性軸與慣性矩的確定、最大拉伸與壓縮應力的計算。

核心觀念：

1. 靜力平衡： 計算簡支梁的支反力。
2. T 型斷面慣性矩： 計算 T 型斷面相對於其質心軸的慣性矩。
3. 中性軸 (Neutral Axis)： 彎曲時應力為零的軸線，通常與斷面的質心軸重合。
4. 最大彎矩： 確定梁上彎矩最大的位置和值。
5. 彎曲應力公式： $\sigma = \frac{My}{I}$，計算斷面上的應力。

解題步驟：

1. 計算支承反力 $F_A$ 和 $F_B$
梁為簡支梁，支點 A 和 B。
總均勻分布載重 $W_{UDL} = w \times L = 5 \text{ kN/m} \times 4 \text{ m} = 20 \text{ kN}$。
集中載重 $P = 10 \text{ kN}$，作用於中點 ($L/2 = 4 \text{ m} / 2 = 2 \text{ m}$)。

由於載重對稱（UDL 均勻分佈於全跨，P 作用於中點），支反力對稱分擔載重。
總載重 $W_{total} = W_{UDL} + P = 20 \text{ kN} + 10 \text{ kN} = 30 \text{ kN}$。
$F_A = F_B = \frac{W_{total}}{2} = \frac{30 \text{ kN}}{2} = 15 \text{ kN}$。

2. 計算中性軸 (Neutral Axis) 位置
中性軸是梁彎曲時應力為零的軸線，對於均質材料且斷面為對稱的梁，中性軸通過斷面的質心。
T 型斷面。需要計算質心位置。
設 T 型斷面如圖所示：
上方橫板 (Flange): 寬 $b_f = 20 \text{ mm}$, 高 $h_f = 150 \text{ mm}$。
下方立柱 (Web): 寬 $b_w = 20 \text{ mm}$, 高 $h_w = 150 \text{ mm}$。
總高度 $H = h_f + h_w = 150 + 150 = 300 \text{ mm}$。
總寬度 $B = 20 \text{ mm}$。

以 T 型斷面底部為基準 ($y=0$)：
橫板質心高度 $y_f = h_w + \frac{h_f}{2} = 150 + \frac{150}{2} = 150 + 75 = 225 \text{ mm}$。
橫板面積 $A_f = b_f \times h_f = 20 \text{ mm} \times 150 \text{ mm} = 3000 \text{ mm}^2$。
立柱質心高度 $y_w = \frac{h_w}{2} = \frac{150}{2} = 75 \text{ mm}$。
立柱面積 $A_w = b_w \times h_w = 20 \text{ mm} \times 150 \text{ mm} = 3000 \text{ mm}^2$。

斷面質心高度 $y_c = \frac{A_f y_f + A_w y_w}{A_f + A_w}$
$y_c = \frac{(3000 \text{ mm}^2)(225 \text{ mm}) + (3000 \text{ mm}^2)(75 \text{ mm})}{3000 \text{ mm}^2 + 3000 \text{ mm}^2}$
$y_c = \frac{3000 (225 + 75)}{6000} \text{ mm} = \frac{3000 \times 300}{6000} \text{ mm} = \frac{900000}{6000} \text{ mm} = 150 \text{ mm}$。

中性軸位置距離斷面底部為 $150 \text{ mm}$。
斷面總高度為 $300 \text{ mm}$。
因此，中性軸位於斷面正中央。

3. 計算慣性矩 $(I)$
需要計算 T 型斷面相對於中性軸的慣性矩。
使用平行軸定理：$I = \sum (I_c + A d^2)$，其中 $I_c$ 是斷面自身質心軸的慣性矩，$d$ 是斷面質心到整體質心軸的距離。

• 橫板 (Flange):
  質心到中性軸距離 $d_f = |y_f - y_c| = |225 \text{ mm} - 150 \text{ mm}| = 75 \text{ mm}$。
  橫板自身質心軸的慣性矩 (沿寬度方向，即圖中 Z 軸方向)：$I_{cf} = \frac{b_f h_f^3}{12} = \frac{20 \text{ mm} \times (150 \text{ mm})^3}{12} = \frac{20 \times 3375000}{12} = 5625000 \text{ mm}^4$。
  橫板對中性軸的慣性矩 $I_f = I_{cf} + A_f d_f^2 = 5625000 + (3000)(75^2) = 5625000 + 3000 \times 5625 = 5625000 + 16875000 = 22500000 \text{ mm}^4$。

• 立柱 (Web):
  質心到中性軸距離 $d_w = |y_w - y_c| = |75 \text{ mm} - 150 \text{ mm}| = 75 \text{ mm}$。
  立柱自身質心軸的慣性矩 (沿高度方向，即圖中 Y 軸方向)：$I_{cw} = \frac{h_w b_w^3}{12} = \frac{150 \text{ mm} \times (20 \text{ mm})^3}{12} = \frac{150 \times 8000}{12} = 100000 \text{ mm}^4$。
  立柱對中性軸的慣性矩 $I_w = I_{cw} + A_w d_w^2 = 100000 + (3000)(75^2) = 100000 + 16875000 = 16975000 \text{ mm}^4$。

總慣性矩 $I = I_f + I_w = 22500000 \text{ mm}^4 + 16975000 \text{ mm}^4 = 39475000 \text{ mm}^4$。
轉換為 $m^4$: $I = 39475000 \text{ mm}^4 \times (\frac{1 \text{ m}}{1000 \text{ mm}})^4 = 39475000 \times 10^{-12} \text{ m}^4 = 3.9475 \times 10^{-8} \text{ m}^4$。

4. 計算最大拉伸應力及其位置
最大彎矩發生在中點 ($x=L/2=2 \text{ m}$)。
梁承受均勻分布載重 $w=5 \text{ kN/m}$ 和中點集中載重 $P=10 \text{ kN}$。
作用在梁上的總力為 $W_{UDL} + P = 20 \text{ kN} + 10 \text{ kN} = 30 \text{ kN}$。
支反力 $F_A = F_B = 15 \text{ kN}$。

中點彎矩 $M_{max}$：
考慮梁的左半段 ($0 \le x \le 2 \text{ m}$)。
在 $x=2 \text{ m}$ 處的彎矩為：
$M(x) = F_A x - w \frac{x^2}{2}$ (只考慮 UDL 和 $F_A$)
$M(2) = 15 \text{ kN} \times 2 \text{ m} - 5 \text{ kN/m} \times \frac{(2 \text{ m})^2}{2} = 30 \text{ kN m} - 5 \times \frac{4}{2} = 30 - 10 = 20 \text{ kN m}$。
這是僅考慮 UDL 的彎矩。

現在加入集中載重 P。
集中載重 $P=10 \text{ kN}$ 作用在 $x=2 \text{ m}$。