115 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學》

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第 1 題

  1. (10%) The velocity distribution of a Newtonian fluid flowing between two fixed, wide parallel plates can be described by u=3V2[1−(yh)2]u = \frac{3V}{2} \left[1 - \left(\frac{y}{h}\right)^2\right] in which VV is the mean velocity. The fluid has a viscosity of 0.05 kg/m⋅s0.05 \, \text{kg/m} \cdot \text{s}. Also, V=4 m/sV = 4 \, \text{m/s} and h=0.01 mh = 0.01 \, \text{m}.
    (a) Calculate the shear stress exerted on the bottom wall. (5%)
    (b) Calculate the shear stress on a plane parallel to the walls that passes through the centerline. (5%)

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本題考查牛頓流體在平行板間的流動，以及剪應力的計算。核心觀念是利用牛頓流體的黏滯性定義，結合給定的速度分佈來計算剪應力。

【核心觀念】
牛頓流體的剪應力定義為 τ=μdudy\tau = \mu \frac{du}{dy}，其中 μ\mu 是動力黏度，dudy\frac{du}{dy} 是速度梯度。

【解題步驟】
首先，我們需要計算速度梯度 dudy\frac{du}{dy}。
給定的速度分佈為 u=3V2[1−(yh)2]u = \frac{3V}{2} \left[1 - \left(\frac{y}{h}\right)^2\right]。
對 uu 對 yy 微分：
dudy=ddy(3V2[1−y2h2])=3V2(0−2yh2)=−3Vyh2\frac{du}{dy} = \frac{d}{dy} \left( \frac{3V}{2} \left[1 - \frac{y^2}{h^2}\right] \right) = \frac{3V}{2} \left(0 - \frac{2y}{h^2}\right) = -\frac{3Vy}{h^2}

已知條件：
V=4 m/sV = 4 \, \text{m/s}
h=0.01 mh = 0.01 \, \text{m}
μ=0.05 kg/m⋅s\mu = 0.05 \, \text{kg/m} \cdot \text{s}

(a) 計算底部牆壁上的剪應力。
底部牆壁位於 y=−hy = -h (假設流動區域是 −h≤y≤h-h \le y \le h)。
將 y=−hy = -h 代入速度梯度公式：
dudy∣y=−h=−3V(−h)h2=3Vh\frac{du}{dy}\bigg|_{y=-h} = -\frac{3V(-h)}{h^2} = \frac{3V}{h}
剪應力 τ\tau 為：

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第 2 題

  1. (10%) As illustrated in the figure, small pressure variations are often measured using an inclined manometer. One leg of the manometer is tilted at an angle θ\theta, and the differential reading l2l_2 is taken along the inclined tube between points (1) and (2). With the specific weights γ2=ρ2g\gamma_2 = \rho_2 g, express the pressure difference between point A and point B, PA−PBP_A - P_B, in terms of γ2\gamma_2, l2l_2, and θ\theta.
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核心觀念

本題考查靜水壓力分布與傾斜微差壓力計原理。靜止流體中，沿垂直方向的壓力變化為

Δp=γ Δz\Delta p=\gamma\,\Delta z

其中 γ=ρg\gamma=\rho g。傾斜管的讀值 l2l_2 是沿管長量測，因此兩界面間的垂直高度差為

Δz=l2sin⁡θ\Delta z=l_2\sin\theta

解題方法

由圖中兩界面點 (1)(1)、(2)(2) 可知，點 (2)(2) 相對於點 (1)(1) 的高度增加為

z2−z1=l2sin⁡θz_2-z_1=l_2\sin\theta

沿著第 22 種流體由點 (1)(1) 向上移動至點 (2)(2)，壓力下降量為

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第 3 題

  1. (15%) As illustrated in the figure, a reverse flow region can occur just downstream of a sluice gate. The flow velocity is assumed to be uniform in two separate regions, with velocities Va=5 m/sV_a = 5 \, \text{m/s} and Vb=0.5 m/sV_b = 0.5 \, \text{m/s}. If the channel width is 5 m, calculate the net flow rate of water through the control surface at section (2).
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核心觀念

本題考查控制面上的淨流量。由圖可知，截面 (2) 分成上下兩個均勻流速區域：

  • 下方區域：高度 0.3 m0.3\,\text{m}，流速 Va=5 m/sV_a=5\,\text{m/s}，方向向右。
  • 上方逆流區域：高度 0.6 m0.6\,\text{m}，流速 Vb=0.5 m/sV_b=0.5\,\text{m/s}，方向向左。
  • 渠寬：b=5 mb=5\,\text{m}。

流量公式為

Q=VAQ=VA

逆流方向的流量必須扣除。

解題方法

下方順流區域的過水面積為

Aa=b(0.3)=5(0.3)=1.5 m2A_a=b(0.3)=5(0.3)=1.5\,\text{m}^2

其流量為

Qa=VaAa=5(1.5)=7.5 m3/sQ_a=V_aA_a =5(1.5) =7.5\,\text{m}^3/\text{s}

上方逆流區域的過水面積為

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第 4 題

  1. (15%) As illustrated in the figure, a large open tank contains water that flows out through a hole at its base at a speed of 20 m/s. Neglecting viscous effects, calculate the water depth in the tank.
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本題考查白努利方程在應用於不可壓縮、無黏滯性流體時，如何計算開口流出的速度與液面高度的關係。

【核心觀念】
白努利方程 (Bernoulli's Equation)：對於沿著穩定流線的不可壓縮、無黏滯性流體，壓力、速度和高度的關係為：
Pρg+V22g+z=constant\frac{P}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z = \text{constant}
或者寫成壓力形式：
P+12ρV2+ρgz=constantP + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z = \text{constant}
其中 PP 是靜壓力，ρ\rho 是流體密度， VV 是流速， gg 是重力加速度， zz 是高度。

托里切利定律 (Torricelli's Law)：這是白努利方程的一個特例，用於計算容器開口處流出的液體速度。如果容器是開放的（壓力為 PatmP_{atm}），並且開口處流出的速度遠大於液面下降的速度，那麼開口處的速度 VV 與液面高度 hh 的關係為 V=2ghV = \sqrt{2gh}。

【解題步驟】
我們需要計算水箱中的水深 hh。
題目給定：

  • 水從底部孔洞流出的速度 V2=20 m/sV_2 = 20 \, \text{m/s}。
  • 忽略黏滯效應。
  • 水箱是開放的（表示液面處壓力為大氣壓力）。
  • 圖示標示了兩個點：點 (1) 是水箱液面，點 (2) 是底部孔洞。

我們將白努利方程應用於點 (1) 和點 (2) 之間。

點 (1)（水箱液面）：

  • 壓力 P1=PatmP_1 = P_{atm} (因為是開放水箱)。
  • 速度 V1V_1。由於水箱很大，液面下降的速度 V1V_1 相對於孔洞流出的速度 V2V_2 可以忽略不計，即 V1≈0V_1 \approx 0。
  • 高度 z1=hz_1 = h（水箱深度，我們以此為基準面）。

點 (2)（底部孔洞）：

  • 壓力 P2=PatmP_2 = P_{atm} (因為孔洞直接排放到大氣中)。
  • 速度 V2=20 m/sV_2 = 20 \, \text{m/s} (已知)。
  • 高度 z2=0z_2 = 0（我們將孔洞所在的高度設為零基準面）。

將這些值代入白努利方程：
P1ρg+V122g+z1=P2ρg+V222g+z2\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2

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第 5 題

  1. (15%) Please show that the rotational speed of the element about the z axis is calculated by the following equation
    ωz=12(∂v∂x−∂u∂y)\omega_z = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)
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核心觀念

本題考查二維速度場中微小流體元素的角速度。以逆時針為正，流體元素繞 zz 軸的角速度，等於兩組互相垂直邊的轉動率平均值。

解題方法

取圖中的矩形元素，令水平邊長為 δx\delta x、垂直邊長為 δy\delta y。底點 OO 的速度分量為 (u,v)(u,v)。

沿水平邊 OAOA，右端點的垂直速度約為

vA=v+∂v∂xδxv_A=v+\frac{\partial v}{\partial x}\delta x

因此水平邊的轉動率為

ωOA≈vA−vδx=∂v∂x\omega_{OA} \approx \frac{v_A-v}{\delta x} =\frac{\partial v}{\partial x}

沿垂直邊 OBOB，上端點的水平速度約為

uB=u+∂u∂yδyu_B=u+\frac{\partial u}{\partial y}\delta y

上端相對下端向右移動會使垂直邊順時針轉動，因此其逆時針轉動率為

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第 6 題

  1. (25%) Two water jets of equal size and speed strike each other as shown in the following figure. Determine the speed, VV, and direction, θ\theta, of the resulting combined jet. Gravity is negligible.
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核心觀念

兩股水柱的截面積與速度大小相同，碰撞後形成一股合成射流。忽略重力、外界壓力差與碰撞過程中的質量損失，依據動量守恆：

m˙outV⃗=m˙1V⃗1+m˙2V⃗2\dot{m}_{\text{out}}\vec{V} = \dot{m}_1\vec{V}_1+\dot{m}_2\vec{V}_2

由圖可知：

  • 水平射流：V2=1 m/sV_2=1\ \text{m/s}
  • 垂直射流：V1=1 m/sV_1=1\ \text{m/s}
  • 兩股射流截面積相同，因此 m˙1=m˙2\dot{m}_1=\dot{m}_2
  • 合成射流流量為兩股入口流量總和，因此 m˙out=2m˙1\dot{m}_{\text{out}}=2\dot{m}_1

解題方法

取碰撞區域為控制體，令 xx 軸向右、yy 軸向上。兩股入口速度向量為

V⃗1=1 j\vec{V}_1=1\,\mathbf{j} V⃗2=1 i\vec{V}_2=1\,\mathbf{i}

由於兩股水柱大小相同、速度相同，質量流率相等，設各自為 m˙\dot{m}。動量守恆式為

2m˙V⃗=m˙(1 i)+m˙(1 j)2\dot{m}\vec{V} = \dot{m}(1\,\mathbf{i})+\dot{m}(1\,\mathbf{j})

約去 m˙\dot{m}：

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第 7 題

  1. (10%) Water flows over a flat surface at 1 m/s, as shown in the following figure. A pump draws off water through a narrow slit at a volume rate of 0.002 m³/s per meter length of the slit. Assume that the fluid is incompressible and inviscid and can be represented by the combination of a uniform flow and a sink. Please determine the stream function of the flow.
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核心觀念

本題使用二維不可壓、無黏性流的疊加原理，將流場表示為：

  1. 沿平面向右的均勻流，速度 U=1 m/sU=1\ \mathrm{m/s}。
  2. 位於狹縫 AA 的二維點匯（sink），負流量為
    q=0.002 m2/sq=0.002\ \mathrm{m^2/s}
    （每單位狹縫長度）。

流函數與速度的關係為

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.u=\frac{\partial\psi}{\partial y}, \qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.

解題方法

取狹縫 AA 為原點，xx 軸沿平板向右，yy 軸垂直平板向上，並令

θ=tan⁡−1(yx)\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

在上半平面使用適當象限的極角表示。

均勻流的流函數為

ψU=Uy.\psi_U=Uy.

二維點匯的流函數為

ψs=−Q2πθ,\psi_s=-\frac{Q}{2\pi}\theta,

其中 QQ 是完整二維點匯的流量強度。

由於實際流體只存在於平板上方，完整點匯在上半平面所吸入的流量為 Q/2Q/2。因此為使狹縫實際抽水量等於 qq，必須令

Q2=q⇒Q=2q=0.004 m2/s.\frac{Q}{2}=q \quad\Rightarrow\quad Q=2q=0.004\ \mathrm{m^2/s}.

利用疊加原理，

ψ=ψU+ψs\psi=\psi_U+\psi_s

得到

ψ=Uy−Q2πθ.\psi =Uy-\frac{Q}{2\pi}\theta.
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