108 年 國立中央大學機械工程學系碩士班丁組《自動控制》

本題主要在測試矩陣的基本運算，包含加法、減法與乘法。

矩陣加法與減法：
矩陣加法與減法要求兩個矩陣必須具有相同的維度（行數與列數）。運算規則是將對應位置的元素相加或相減。

矩陣乘法：
矩陣乘法要求第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數。若矩陣 A 為 $m \times n$ 維度，矩陣 B 為 $n \times p$ 維度，則乘積 $A \times B$ 的維度為 $m \times p$。其運算規則為，乘積矩陣 $(A \times B)_{ij}$ 的元素是 A 矩陣第 i 列與 B 矩陣第 j 行對應元素的乘積和。

計算過程：

1. 矩陣加法 $A+B$：
   $A+B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+1 & 6+2 \\ 7+3 & 8+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$

2. 矩陣減法 $A-B$：
   $A-B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-1 & 6-2 \\ 7-3 & 8-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$

核心觀念

此題考查 Nyquist 穩定判據。單位負回授系統的特徵方程式為

$$1+G(s)H(s)=0.$$

Nyquist 圖若通過臨界點 $-1+j0$，代表系統處於臨界穩定狀態。因此先求使

$$G(j\omega)H(j\omega)=-1$$

成立的臨界增益 $K$，再判斷各區間的穩定性。

原系統開迴路有兩個右半平面極點 $s=2,4$，故 $P=2$。

解題方法

令

$$1+\frac{K(s+3)(s+5)}{(s-2)(s-4)}=0.$$

整理得閉迴路特徵方程式

$$(s-2)(s-4)+K(s+3)(s+5)=0,$$

即

$$(1+K)s^2+(9K-6)s+(15K+8)=0.$$

Nyquist 穩定性改變的條件，是特徵根穿越虛軸。令 $s=j\omega$：

$$(1+K)(j\omega)^2+(9K-6)j\omega+(15K+8)=0.$$

整理實部與虛部：

$$-(1+K)\omega^2+(15K+8)=0,$$ $$(9K-6)\omega=0.$$

1. 非零頻率穿越

當 $\omega\neq 0$ 時，

$$9K-6=0 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{2}{3}.$$

代入實部方程式：

$$-\frac{5}{3}\omega^2+18=0,$$

因此

$$\omega^2=\frac{54}{5}.$$

所以 $K=\frac{2}{3}$ 時，Nyquist 圖通過 $-1+j0$，系統為臨界穩定。

2. 無限遠處的臨界情況

當

核心觀念

此題為單位負回授系統，閉迴路特徵方程式由

$$1+G(s)=0$$

得到：

$$1+\frac{K(s-1)}{(s+3)(s+5)}=0$$ $$(s+3)(s+5)+K(s-1)=0$$ $$s^2+(8+K)s+(15-K)=0$$

開迴路極點為 $s=-3,-5$，開迴路零點為 $s=1$。根軌跡依 $K$ 正負分別繪製；$K<0$ 時可視為以 $-G(s)$ 繪製正增益根軌跡。

---

解題方法

根軌跡實軸區段判斷規則：

• $K>0$：測試點右側的開迴路極點與零點總數為奇數，該區段屬於根軌跡。
• $K<0$：測試點右側的開迴路極點與零點總數為偶數，該區段屬於根軌跡。

分離點或會合點由

$$K=-\frac{(s+3)(s+5)}{s-1}$$

對 $s$ 微分並令其為零求得：

$$\frac{dK}{ds}=0$$ $$s^2-2s-23=0$$ $$s=1\pm2\sqrt{6}$$

兩個候選位置為

$$s=1-2\sqrt{6}\approx-3.899$$ $$s=1+2\sqrt{6}\approx5.899$$

---

(a) $K>0$ 的根軌跡

實軸根軌跡區段為：

$$(-\infty,-5),\qquad (-3,1)$$

因此：

• 一支根軌跡由極點 $-5$ 沿實軸向左移動，最後趨於 $-\infty$。
• 另一支根軌跡由極點 $-3$ 沿實軸向右移動，最後到達零點 $1$。

極點數 $n=2$、零點數 $m=1$，故有一條漸近線：

$$n-m=1$$

漸近線角度為：

$$\theta=180^\circ$$

漸近線重心為：

$$\sigma_a= \frac{(-3)+(-5)-1}{2-1} =-9$$

故 $K>0$ 的根軌跡完全位於實軸，且不會產生共軛複數根。

---

(b) $K<0$ 的根軌跡

$K<0$ 時，實軸根軌跡區段為：

$$(-5,-3),\qquad (1,\infty)$$

根軌跡行為如下：

• 兩支軌跡分別由 $s=-5$、$s=-3$ 出發。
• 兩者在

$$s=1-2\sqrt6\approx-3.899$$

會合後離開實軸，形成共軛複數根。

• 根軌跡穿越虛軸時，令特徵方程式的 $s$ 項係數為零：

$$8+K=0$$ $$K=-8$$

此時：

$$s^2+23=0$$ $$s=\pm j\sqrt{23}$$

• 共軛根最後在

$$s=1+2\sqrt6\approx5.899$$

回到實軸。

• 其中一支往零點 $s=1$ 移動，另一支沿 $0^\circ$ 漸近線往 $+\infty$ 移動。

$K<0$ 的漸近線仍通過重心 $-9$，但角度改為：

核心觀念

此題為單位負回授系統，閉迴路特徵方程式由

$$1+G(s)=0$$

得到：

$$1+\frac{K(s-1)}{(s+3)(s+5)}=0$$ $$(s+3)(s+5)+K(s-1)=0$$ $$s^2+(8+K)s+(15-K)=0$$

開迴路極點為 $s=-3,-5$，開迴路零點為 $s=1$。根軌跡依 $K$ 正負分別繪製；$K<0$ 時可視為以 $-G(s)$ 繪製正增益根軌跡。

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解題方法

根軌跡實軸區段判斷規則：

• $K>0$：測試點右側的開迴路極點與零點總數為奇數，該區段屬於根軌跡。
• $K<0$：測試點右側的開迴路極點與零點總數為偶數，該區段屬於根軌跡。

分離點或會合點由

$$K=-\frac{(s+3)(s+5)}{s-1}$$

對 $s$ 微分並令其為零求得：

$$\frac{dK}{ds}=0$$ $$s^2-2s-23=0$$ $$s=1\pm2\sqrt{6}$$

兩個候選位置為

$$s=1-2\sqrt{6}\approx-3.899$$ $$s=1+2\sqrt{6}\approx5.899$$

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(a) $K>0$ 的根軌跡

實軸根軌跡區段為：

$$(-\infty,-5),\qquad (-3,1)$$

因此：

• 一支根軌跡由極點 $-5$ 沿實軸向左移動，最後趨於 $-\infty$。
• 另一支根軌跡由極點 $-3$ 沿實軸向右移動，最後到達零點 $1$。

極點數 $n=2$、零點數 $m=1$，故有一條漸近線：

$$n-m=1$$

漸近線角度為：

$$\theta=180^\circ$$

漸近線重心為：

$$\sigma_a= \frac{(-3)+(-5)-1}{2-1} =-9$$

故 $K>0$ 的根軌跡完全位於實軸，且不會產生共軛複數根。

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(b) $K<0$ 的根軌跡

$K<0$ 時，實軸根軌跡區段為：

$$(-5,-3),\qquad (1,\infty)$$

根軌跡行為如下：

• 兩支軌跡分別由 $s=-5$、$s=-3$ 出發。
• 兩者在

$$s=1-2\sqrt6\approx-3.899$$

會合後離開實軸，形成共軛複數根。

• 根軌跡穿越虛軸時，令特徵方程式的 $s$ 項係數為零：

$$8+K=0$$ $$K=-8$$

此時：

$$s^2+23=0$$ $$s=\pm j\sqrt{23}$$

• 共軛根最後在

$$s=1+2\sqrt6\approx5.899$$

回到實軸。

• 其中一支往零點 $s=1$ 移動，另一支沿 $0^\circ$ 漸近線往 $+\infty$ 移動。

$K<0$ 的漸近線仍通過重心 $-9$，但角度改為：

核心觀念

本題考查二階標準系統的 Bode 圖判讀，包括：

• 阻尼比 $\zeta$ 對共振峰與相位變化的影響。
• 零點、極點對 Magnitude 漸近線斜率的影響。
• Bode magnitude 的分貝定義。
• 二階系統的自然頻率 $\omega_n$ 與轉折頻率。
• 低頻、高頻漸近線及其交點。

二階標準系統為

$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$$

其直流增益為

$$G(0)=1$$

因此低頻 magnitude 為 $0\ \mathrm{dB}$。

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一、六條曲線的對應關係

判斷重點如下：

• $\zeta$ 越小，共振峰越尖、越高。
• $\zeta$ 越大，共振峰越不明顯。
• 二階系統在高頻時 magnitude 斜率為 $-40\ \mathrm{dB/decade}$。
• 單一零點會使高頻斜率增加 $+20\ \mathrm{dB/decade}$。
• 「一個零點、兩個極點」的系統，高頻總斜率為 $-20\ \mathrm{dB/decade}$，相位最後趨近 $-90^\circ$。

因此：

圖形	對應系統	判斷理由
(1)	(e) 一個零點	高頻 magnitude 斜率為 $+20\ \mathrm{dB/decade}$，相位趨近 $+90^\circ$
(2)	(c) $\zeta=0.1$	共振峰最高且最尖銳
(3)	(d) $\zeta=0.5$	有明顯但較寬的共振峰
(4)	(b) $\zeta=1$	臨界阻尼，沒有共振峰，轉折較集中
(5)	(a) $\zeta=5$	阻尼很大，兩個實極點造成較平緩的相位變化
(6)	(f) 一個零點、兩個極點	相位先因零點上升，再因兩個極點下降；高頻斜率為 $-20\ \mathrm{dB/decade}$

所以六者的確定對應為

$$\boxed{(1)\to e,\quad (2)\to c,\quad (3)\to d,\quad (4)\to b,\quad (5)\to a,\quad (6)\to f}$$

各類型逐一分析

• (a) $\zeta=5$： 阻尼極大，不會產生共振峰，兩個極點的作用分散，因此曲線最平緩，對應圖 (5)。
• (b) $\zeta=1$： 臨界阻尼，沒有共振峰，但相位仍由 $0^\circ$ 變化至 $-180^\circ$，對應圖 (4)。
• (c) $\zeta=0.1$： 阻尼很小，共振峰尖銳且最高，對應圖 (2)。
• (d) $\zeta=0.5$： 有中等程度共振峰，對應圖 (3)。
• (e) 一個零點： 零點使高頻斜率增加 $+20\ \mathrm{dB/decade}$，對應圖 (1)。
• (f) 一個零點、兩個極點： 高頻斜率為 $+20-40=-20\ \mathrm{dB/decade}$，對應圖 (6)。

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二、$\lambda$、$\omega_c$ 與阻尼比

圖中：

• 圖 (1) 的零點轉折頻率標為 $\lambda$，位置在 $10^0$，故

$$\boxed{\lambda=1\ \mathrm{rad/s}}$$

• 圖 (2) 的二階系統轉折及共振中心頻率標為 $\omega_c$，位置在 $10^1$，故

$$\boxed{\omega_c=10\ \mathrm{rad/s}}$$

圖 (2) 對應 $\zeta=0.1$，因此

$$\boxed{\omega_n=10\ \mathrm{rad/s},\qquad \zeta=0.1}$$

嚴格而言，圖 (1) 為單一零點系統，並非二階系統，因此沒有二階自然頻率 $\omega_n$ 與阻尼比 $\zeta$；其特徵頻率是 $\lambda=1\ \mathrm{rad/s}$。

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三、圖 (1)、圖 (2) 的直流增益

圖 (1)

單一零點系統可寫成

$$G_1(s)=K\frac{s+\lambda}{\lambda}$$

令 $s=0$：

$$G_1(0)=K\frac{\lambda}{\lambda}=K$$

由圖 (1) 的低頻 magnitude 為 $0\ \mathrm{dB}$：

$$20\log_{10}K=0$$

因此

$$\boxed{K=1}$$

所以圖 (1) 的直流增益為

$$\boxed{G_1(0)=1}$$

圖 (2)

圖 (2) 對應標準二階系統：

$$G_2(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$$

令 $s=0$：

$$G_2(0)=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2}=1$$

因此

$$\boxed{G_2(0)=1}$$

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四、Magnitude 與分貝的關係

題目給定

$$y=2\times 10\log(g)$$