108 年 國立中央大學機械工程系光機電工程碩士班乙組《材料力學》

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第 1 題25 分

As shown in Figure 1, the rigid horizontal bar ABC of negligible mass is connected to two vertical rods, one made of brass and the other made of copper. The length (LL), cross sectional area (AA), Young's modulus (EE), and coefficient of thermal expansion (α\alpha) of each rod are given in the figure. If the system is initially stress-free, determine the temperature change that will cause a tensile stress of 120 MPa in the copper rod. Assume that both rods are subjected to the same change in temperature.

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Figure 1:
A rigid horizontal bar ABC is supported by two vertical rods.
Rod 1 (left): Brass, connected at A.
Length Lbrass=2L_{brass} = 2 m
Area Abrass=1200A_{brass} = 1200 mm2^2
Young's Modulus Ebrass=100E_{brass} = 100 GPa
Thermal Expansion Coefficient αbrass=18.7×10−6/∘C\alpha_{brass} = 18.7 \times 10^{-6} /^\circ C

Rod 2 (right): Copper, connected at C.
Length Lcopper=3L_{copper} = 3 m
Area Acopper=1500A_{copper} = 1500 mm2^2
Young's Modulus Ecopper=120E_{copper} = 120 GPa
Thermal Expansion Coefficient αcopper=16.8×10−6/∘C\alpha_{copper} = 16.8 \times 10^{-6} /^\circ C

The bar ABC is horizontal. Point B is between A and C. The horizontal distance from A to B is 3 m. The horizontal distance from B to C is 2 m.

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核心觀念

本題考查：

  • 剛性桿的靜力平衡；
  • 軸向桿的熱應變與機械應變疊加；
  • 剛性桿轉動造成的位移相容條件；
  • 溫度變化引起的熱應力。

依原圖，AA 為鉸支承，銅棒連接於 BB 點，黃銅棒連接於 CC 點，且

AB=3 m,BC=2 m,AC=5 m.AB=3\ \text{m},\qquad BC=2\ \text{m},\qquad AC=5\ \text{m}.

銅棒位於 BB 點下方，黃銅棒位於 CC 點上方。

解題方法

已知銅棒產生 120 MPa120\ \text{MPa} 的拉應力，因此銅棒的軸力為

Pc=σcAc=(120)(1500)=180000 N=180 kN.P_c=\sigma_c A_c =(120)(1500) =180000\ \text{N} =180\ \text{kN}.

對剛性桿 ABCABC 取 AA 點力矩平衡：

Pb(5)=Pc(3),P_b(5)=P_c(3),

因此黃銅棒軸力為

Pb=35Pc=35(180)=108 kN.P_b=\frac{3}{5}P_c =\frac{3}{5}(180) =108\ \text{kN}.

黃銅棒應力為

σb=PbAb=1080001200=90 MPa.\sigma_b=\frac{P_b}{A_b} =\frac{108000}{1200} =90\ \text{MPa}.

所以兩根桿皆承受拉力。

位移相容條件

設剛性桿繞 AA 點產生小角度轉動，則 BB、CC 兩點的垂直位移比例為

δCδB=ACAB=53.\frac{\delta_C}{\delta_B} =\frac{AC}{AB} =\frac{5}{3}.

銅棒的總應變為

εc=σcEc+αcΔT.\varepsilon_c =\frac{\sigma_c}{E_c}+\alpha_c\Delta T.

因此

δB=Lcεc=3000(120120000+16.8×10−6ΔT) mm.\delta_B=L_c\varepsilon_c =3000\left(\frac{120}{120000} +16.8\times10^{-6}\Delta T\right)\ \text{mm}.

黃銅棒位於桿的上方。當 CC 點向上位移時，黃銅棒實際長度縮短，因此其總應變為

εb=−δCLb.\varepsilon_b =-\frac{\delta_C}{L_b}.

由幾何相容條件，

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第 2 題25 分

Two forces are applied to the pipe ABAB as shown in Figure 2. Knowing that the pipe has inner and outer diameters equal to 35 and 42 mm, respectively, determine the normal and shearing stresses at point aa.

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Figure 2

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核心觀念

這題考固定空心圓管的組合應力：軸力造成平均正應力，彎矩造成彎曲正應力，扭矩造成扭轉剪應力。圓管截面的面積、截面二次矩與極慣性矩為

A=π4(do2−di2),I=π64(do4−di4),J=2IA=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4),\qquad J=2I

截面上距中性軸 cc 處的正應力與扭轉剪應力分別為

σ=NA±McI,τ=TcJ\sigma=\frac{N}{A}\pm\frac{Mc}{I},\qquad \tau=\frac{Tc}{J}

解題方法

取管底截面為分析截面。依圖，管外徑 do=42 mmd_o=42\text{ mm}、內徑 di=35 mmd_i=35\text{ mm}，所以外半徑 c=21 mmc=21\text{ mm}。截面性質為

A=π4(422−352)=423.7 mm2A=\frac{\pi}{4}(42^2-35^2)=423.7\text{ mm}^2 I=π64(424−354)=7.915×103 mm4,J=1.583×104 mm4I=\frac{\pi}{64}(42^4-35^4)=7.915\times10^3\text{ mm}^4,\qquad J=1.583\times10^4\text{ mm}^4

依圖示力臂，1500 N1500\text{ N} 的偏心距為 45 mm45\text{ mm}，1200 N1200\text{ N} 對截面的彎矩力臂為 75 mm75\text{ mm}。因此彎矩合量取

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第 3 題25 分

Determine the slope and deflection equations for the solid circular cross-section cantilevered beam subjected to the uniformly distributed load shown in the Figure 3. The beam has a constant bending stiffness, EIEI. After obtaining the slope and deflection equations in variable form let w=200w=200 N/m, L=5L=5 m, r=100r=100 mm, and determine the numeric slope and deflection at the free end.

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Figure 3: A cantilevered beam of length LL subjected to a uniformly distributed load ww. The beam has a solid circular cross-section with radius rr. The load is applied downwards. The beam is fixed at one end and free at the other. The coordinate xx is measured from the fixed end.

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題圖與題意說明

原卷掃描圖中的第 3 題實際內容是「受偶矩與彈簧作用之 1 m 細桿角速度」問題，與本題所述「均佈載重懸臂梁之斜率與撓度」不一致。以下依照題目文字所給定的懸臂梁模型作答，並假設載重 ww 為向下均勻分布、x=0x=0 為固定端、x=Lx=L 為自由端。

核心觀念

本題使用 Euler–Bernoulli 梁理論：

  • 梁的撓曲微分方程為
    EId2vdx2=M(x)EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)
  • v(x)v(x) 為撓度，採向下為正。
  • θ(x)=dv/dx\theta(x)=dv/dx 為斜率。
  • EE 為楊氏係數，II 為截面二次慣性矩。
  • 實心圓截面的截面二次慣性矩為
    I=πr44I=\frac{\pi r^4}{4}

固定端邊界條件為

v(0)=0,θ(0)=0v(0)=0,\qquad \theta(0)=0

解題方法與彎矩方程

取距離固定端 xx 的截面。截面右側長度為 L−xL-x，均佈載重合力為

w(L−x)w(L-x)

其作用位置距離截面 (L−x)/2(L-x)/2，因此彎矩大小為

M(x)=w(L−x)22M(x)=\frac{w(L-x)^2}{2}

在向下撓度為正的符號約定下，可寫成

EId2vdx2=w(L−x)22EI\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{w(L-x)^2}{2}

斜率方程式

積分一次：

EIdvdx=−w6(L−x)3+C1EI\frac{dv}{dx} = -\frac{w}{6}(L-x)^3+C_1

由固定端條件 θ(0)=v′(0)=0\theta(0)=v'(0)=0：

0=−wL36+C10=-\frac{wL^3}{6}+C_1

所以

C1=wL36C_1=\frac{wL^3}{6}

因此斜率為

θ(x)=dvdx=w6EI[L3−(L−x)3]\theta(x)=\frac{dv}{dx} = \frac{w}{6EI}\left[L^3-(L-x)^3\right]

整理得

θ(x)=wx6EI(3L2−3Lx+x2)\boxed{ \theta(x)= \frac{wx}{6EI} \left(3L^2-3Lx+x^2\right) }

撓度方程式

再積分一次：

v(x)=w6EI(L3x−(L−x)44)+C2v(x) = \frac{w}{6EI} \left( L^3x-\frac{(L-x)^4}{4} \right)+C_2

由固定端條件 v(0)=0v(0)=0：

C2=−wL424EIC_2=-\frac{wL^4}{24EI}

因此

v(x)=w24EI(6L2x2−4Lx3+x4)\boxed{ v(x)= \frac{w}{24EI} \left(6L^2x^2-4Lx^3+x^4\right) }

也可寫成

v(x)=wx224EI(6L2−4Lx+x2)\boxed{ v(x)= \frac{wx^2}{24EI} \left(6L^2-4Lx+x^2\right) }

其中 v(x)>0v(x)>0 表示向下撓曲。

自由端斜率與撓度

令 x=Lx=L：

θ(L)=wL36EI\theta(L)=\frac{wL^3}{6EI} v(L)=wL48EIv(L)=\frac{wL^4}{8EI}

實心圓截面之

I=πr44I=\frac{\pi r^4}{4}

所以

θ(L)=2wL33πEr4\boxed{ \theta(L)=\frac{2wL^3}{3\pi Er^4} }
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第 4 題25 分

An element is subjected to stresses σxx=20.0\sigma_{xx} = 20.0 ksi, σyy=10.0\sigma_{yy} = 10.0 ksi, τxy=5.0\tau_{xy} = 5.0 ksi, and σzz=τxz=τyz=0.0\sigma_{zz} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0.0 ksi. Using Mohr's circle, determine (a) the stresses acting on an element oriented at an angle θ=30∘\theta = 30^\circ, (b) the principle stresses, and (c) the maximum shear stresses. Show all above results on sketches of properly oriented elements. If σzz\sigma_{zz} changes to 3.03.0 ksi, determine new maximum shear stresses.

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核心觀念

本題考查平面應力狀態的莫爾圓分析，以及三維主應力與最大剪應力。

已知應力張量為

[σ]=[σxxτxyτxzτxyσyyτyzτxzτyzσzz]=[20505100000] ksi[\sigma]= \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20&5&0\\ 5&10&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\text{ ksi}

採用慣用符號：正剪應力 τxy\tau_{xy} 表示在正 xx 面上沿正 yy 方向作用。令 x′x' 軸由 xx 軸逆時針旋轉 θ\theta。

平面應力莫爾圓的圓心與半徑為

σavg=σx+σy2\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} R=(σx−σy2)2+τxy2R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

旋轉後應力公式為

σx′=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2θ+τxysin⁡2θ\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta +\tau_{xy}\sin 2\theta σy′=σx+σy2−σx−σy2cos⁡2θ−τxysin⁡2θ\sigma_{y'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta -\tau_{xy}\sin 2\theta τx′y′=−σx−σy2sin⁡2θ+τxycos⁡2θ\tau_{x'y'}= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta

（a）θ=30∘\theta=30^\circ 方向的應力

1. 建立莫爾圓

σavg=20+102=15.0 ksi\sigma_{\text{avg}} =\frac{20+10}{2} =15.0\text{ ksi} R=(5)2+(5)2=7.071 ksiR=\sqrt{(5)^2+(5)^2} =7.071\text{ ksi}

因此莫爾圓方程為

(σ−15)2+τ2=(7.071)2(\sigma-15)^2+\tau^2=(7.071)^2

原始兩個應力點為

A(20,5),B(10,−5)A(20,5),\qquad B(10,-5)

由於實體旋轉 θ=30∘\theta=30^\circ，莫爾圓上須旋轉 2θ=60∘2\theta=60^\circ。

2. 計算旋轉後應力

因為

cos⁡60∘=0.5,sin⁡60∘=0.8660\cos 60^\circ=0.5,\qquad \sin 60^\circ=0.8660

故

σx′=15+5(0.5)+5(0.8660)\sigma_{x'} =15+5(0.5)+5(0.8660) σx′=21.83 ksi\boxed{\sigma_{x'}=21.83\text{ ksi}} σy′=15−5(0.5)−5(0.8660)\sigma_{y'} =15-5(0.5)-5(0.8660) σy′=8.17 ksi\boxed{\sigma_{y'}=8.17\text{ ksi}} τx′y′=−5(0.8660)+5(0.5)\tau_{x'y'} =-5(0.8660)+5(0.5) τx′y′=−1.83 ksi\boxed{\tau_{x'y'}=-1.83\text{ ksi}}

因此在 θ=30∘\theta=30^\circ 的元素上：

  • +x′+x' 面上的正應力為 21.8321.83 ksi，向外拉伸。
  • +y′+y' 面上的正應力為 8.178.17 ksi，向外拉伸。
  • τx′y′=−1.83\tau_{x'y'}=-1.83 ksi，表示在正 x′x' 面上剪應力沿負 y′y' 方向。

由於原本沒有 xzxz 與 yzyz 剪應力，

σz=0,τx′z=τy′z=0\sigma_{z}=0,\qquad \tau_{x'z}=\tau_{y'z}=0

3. θ=30∘\theta=30^\circ 元素示意圖

                         +y'
                          ↑
                   σy'=8.17 ksi
                          ↑
                    ┌────────┐
        τ=+1.83 ←  │        │  → τ=-1.83
                    │        │
                    └────────┘
                          ↑
                   σy'=8.17 ksi

          ← σx'=21.83 ksi       σx'=21.83 ksi →
                         +x' →

圖中剪應力方向須符合 τx′y′=−1.83\tau_{x'y'}=-1.83 ksi；相對兩面上的剪應力方向必須互相平衡。

（b）主應力

主應力發生在剪應力為零的方向。由莫爾圓可得

σ1=σavg+R=15+7.071\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R =15+7.071 σ1=22.07 ksi\boxed{\sigma_1=22.07\text{ ksi}} σ2=σavg−R=15−7.071\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R =15-7.071 σ2=7.93 ksi\boxed{\sigma_2=7.93\text{ ksi}}

由於為三維應力狀態，zz 方向也是主方向，其主應力為

σ3=σzz=0 ksi\boxed{\sigma_3=\sigma_{zz}=0\text{ ksi}}

所以主應力依大小排列為

σ1=22.07 ksi,σ2=7.93 ksi,σ3=0 ksi\boxed{\sigma_1=22.07\text{ ksi},\qquad \sigma_2=7.93\text{ ksi},\qquad \sigma_3=0\text{ ksi}}

主方向

主平面角度滿足

tan⁡2θp=2τxyσx−σy=2(5)20−10=1\tan 2\theta_p =\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{2(5)}{20-10}=1

因此

2θp=45∘2\theta_p=45^\circ θp=22.5∘\boxed{\theta_p=22.5^\circ}

在 θp=22.5∘\theta_p=22.5^\circ 時得到最大主應力 σ1\sigma_1；互相垂直的另一主方向為

θp+90∘=112.5∘\boxed{\theta_p+90^\circ=112.5^\circ}

主元素示意圖

令 x1x_1 軸沿 σ1\sigma_1 方向，且相對原 xx 軸逆時針旋轉 22.5∘22.5^\circ：

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