108 年國立中央大學機械工程系光機電工程碩士班甲組《動力學》考古題與詳解

Question 1

(Please see Fig. 1) A ball with 1 kg mass is tied by two ropes which are fixedly attached at points A and B in another ends. The ball performs a circular motion with a constant tangential velocity $v = 2.5$ m/s and a radius $r = 0.5$ m in the horizontal plane. Please calculate:
(a) the tensile forces of two ropes (15%)
(b) the range of tangential velocity that two ropes produce the tensile forces at the same time (10%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (Fig. 1)

Accepted Answer

核心觀念 球做水平等速圓周運動，因此受力可分為： - 垂直方向：無加速度，合力為零。 - 水平方向：提供向心力 $$\sum Fr=\frac{mv^2}{r}$$ 由圖可知，上方繩 $MA$ 與鉛直方向夾角為 $45^\circ$，下方繩 $MB$ 與鉛直方向夾角為 $60^\circ$。設兩繩張力分別為 $TA$、$TB$。 解題方法 球的質量 $m=1\ 	ext{kg}$，速度 $v=2.5\ 	ext{m/s}$，半徑 $r=0.5\ 	ext{m}$。 向心力為 $$ \frac{mv^2}{r} =\frac{1(2.5)^2}{0.5} =12.5\ 	ext{N} $$ 取水平方向指向圓心、鉛直向上為正。 垂直方向無加速度： $$ TA\cos45^\circ-TB\cos60^\circ=mg $$ 水平方向提供向心力： $$ TA\sin45^\circ+TB\sin60^\circ =\frac{mv^2}{r} $$ 代入 $g=9.8\ 	ext{m/s}^2$： $$ 0.7071TA-0.5TB=9.8 $$ $$ 0.7071TA+0.8660TB=12.5 $$ 兩式相減： $$ 1.3660TB=2.7 $$ 因此 $$ TB=1.98\ 	ext{N} $$ 再代回垂直方向方程式： $$ 0.7071TA-0.5(1.98)=9.8 $$ $$ TA=15.25\ 	ext{N} $$ (b) 兩條繩同時保持張力的速度範圍 令一般切線速度為 $v$，向心力為 $$ Fr=\frac{mv^2}{r} $$ 由垂直方向平衡： $$ TA\cos45^\circ-TB\cos60^\circ=mg $$ 整理得

Question 2

(Please see Fig. 2) A uniform slender rod of length L and mass m is released from rest in the vertical position shown in Fig. 2. Assume both the friction at point B and the mass of the roller are negligible. Derive the initial acceleration of point B in terms of m, L, $\theta$ and g (g: gravitational acceleration). (25%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (Fig. 2)

Accepted Answer

核心觀念 本題考察： - 平面剛體平移與轉動的動力學。 - 無摩擦滾輪的約束：$B$ 點只能沿斜面方向運動。 - 質心平移動力學與剛體轉動方程。 - 初始瞬間由靜止釋放，因此初始角速度為零，可直接使用加速度關係。 由圖可視為：桿 $AB$ 長度為 $L$、質量為 $m$，$B$ 端以無摩擦滾輪沿與水平夾角 $	heta$ 的斜面運動；桿初始為鉛直狀態。 --- 解題方法 令 $s$ 為 $B$ 點沿斜面向上之位移，$\alpha$ 為桿與水平線的夾角。初始時 $$ \alpha=\frac{\pi}{2},\qquad \dot{s}=0,\qquad \dot{\alpha}=0. $$ 桿的質心 $G$ 到 $B$ 點距離為 $L/2$。 取斜面方向為 $s$ 軸。質心速度為 $$ \mathbf vG=\dot{s}\,\mathbf es+\frac{L}{2}\dot{\alpha}\,\mathbf e\alpha. $$ 在初始鉛直位置，兩方向的內積為 $$ \mathbf es\cdot\mathbf e\alpha=-\cos	heta. $$ 因此，初始瞬間的動能可寫成 $$ T= \frac12m\dot{s}^{\,2} -\frac{mL}{2}\cos	heta\,\dot{s}\dot{\alpha} +\frac12\left(\frac{mL^2}{3}ight)\dot{\alpha}^{\,2}, $$ 其中桿對質心的轉動慣量為 $$ IG=\frac{1}{12}mL^2. $$ 由拉格朗日方程，在初始位置 $\dot{s}=\dot{\alpha}=0$ 時，得 $$ m\ddot{s}-\frac{mL}{2}\cos	heta\,\ddot{\alpha} =-mg\sin	heta 	ag{1} $$ 以及

Question 3

(Please see Fig. 3) Ball B, of mass 5 kg, is suspended from a cord, of length 0.5 m, attached to cart A, of mass 10 kg, which can roll freely on a frictionless horizontal track. While the cart is at rest, the ball is given an initial horizontal velocity $v_0 = 2.4$ m/s. Determine:
(a) the velocity of B as it reaches its maximum elevation (15%)
(b) the maximum vertical distance h through which B will rise (10%).

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (Fig. 3)

Accepted Answer

核心觀念 本題使用： 1. 水平方向動量守恆：水平軌道無摩擦，系統無外加水平力。 2. 機械能守恆：張力為系統內力，且軌道無摩擦。 3. 最高點條件：球相對於小車的擺動速度為零，因此球與小車具有相同的水平速度。 設球 $B$ 質量為 $mB=5\ \mathrm{kg}$，小車 $A$ 質量為 $mA=10\ \mathrm{kg}$，繩長 $L=0.5\ \mathrm{m}$，初速度 $v0=2.4\ \mathrm{m/s}$。 --- 解題方法 初始時小車靜止，球以水平速度 $v0$ 向右運動。球上升至最大高度時，相對小車的速度瞬間為零，因此球與小車共同以速度 $V$ 向右運動。 (a) 球 $B$ 在最大高度時的速度 水平方向動量守恆： $$ mBv0=(mA+mB)V $$ 代入數值： $$ 5(2.4)=(10+5)V $$ 因此 $$ V=\frac{12}{15}=0.8\ \mathrm{m/s} $$ 所以球 $B$ 在最大高度時的速度為 $$ \boxed{vB=0.8\ \mathrm{m/s}\ 	ext{，向右}} $$ --- (b) 球上升的最大垂直距離 $h$ 初始機械能為球的動能： $$ Ei=\frac12mBv0^2 $$ 最大高度時，球與小車共同平移，且球增加重力位能： $$ Ef=\frac12(mA+mB)V^2+mBgh $$ 由機械能守恆：

Question 4

(Please see Fig. 4)
(a) Assume y(t) is the known displacement of the ground. Derive the equation of motion of the seismometer (地震儀) for unknown displacement x(t) by using Newton's second law (7%).
(b) What is the natural frequency? (5%)
(c) For y(t) = $\delta(t)$ , the unit impulse function, find the time response x(t) if the system is originally at rest at t=0 (13%).

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (Fig. 4)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 基座激振系統的運動方程式。 - 無質量剛桿的幾何位移關係。 - 兩個並聯彈簧的等效剛性。 - 單自由度系統的自然頻率與單位脈衝響應。 依 Fig. 4，設地面與外殼的位移為已知的 $y(t)$，質量 $m$ 的絕對位移為 $x(t)$。剛桿長度由支點 $O$ 至質量 $m$ 為 $3a$，兩彈簧作用於距離 $O$ 為 $a$ 的位置，各彈簧剛性為 $k/2$。 --- (a) 運動方程式 令剛桿小角度轉動角為 $	heta$。由幾何關係，質量端與支點的相對位移為 $$ x(t)-y(t)=3a	heta . $$ 因此，彈簧作用點的相對位移為 $$ a	heta=\frac{x(t)-y(t)}{3}. $$ 兩個彈簧各為 $k/2$，且對剛桿產生恢復力，因此其總等效彈簧力為 $$ Fs=-k(a	heta) =-\frac{k}{3}\left(x-yight). $$ 以支點 $O$ 取力矩。由於剛桿無質量，質量 $m$ 位於 $3a$ 處，彈簧合力作用於 $a$ 處： $$ (3a)m\ddot{x} = -a\frac{k}{3}(x-y). $$ 整理得 $$ 3ma\ddot{x}+\frac{ka}{3}(x-y)=0, $$ 因此 $$ \boxed{ m\ddot{x}+\frac{k}{9}\left[x(t)-y(t)ight]=0 } $$ 或寫成基座激振形式： $$ \boxed{ m\ddot{x}+\frac{k}{9}x=\frac{k}{9}y(t) }. $$ 其中系統對質量 $m$ 的等效剛性為 $$ k{\mathrm{eq}}=\frac{k}{9}. $$ --- (b) 自然頻率 由自由振動方程式 $$ m\ddot{x}+\frac{k}{9}x=0, $$ 可得自然角頻率 $$ \boxed{ \omegan=\sqrt{\frac{k}{9m}} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k}{m}} }. $$ 若以 Hz 表示自然頻率： $$ \boxed{ fn=\frac{\omegan}{2\pi} =\frac{1}{6\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} }. $$ --- (c) $y(t)=\delta(t)$ 時的時間響應 由運動方程式，

108 年國立中央大學機械工程系光機電工程碩士班甲組《動力學》

第 1 題

第 2 題25 分

第 3 題

核心觀念

解題方法

(a) 球 $B$ 在最大高度時的速度

(b) 球上升的最大垂直距離 $h$

第 4 題

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