111 年 國立中央大學機械工程學系碩士班甲組《動力學》

本題主要考驗對流體力學基本概念的應用，特別是動量定理在噴流現象的應用，以及能量守恆在懸停狀態下的判斷。

核心觀念：

1. 動量定理：作用在流體上的淨外力等於流體動量的變化率。
2. 質量守恆：進入系統的質量等於離開系統的質量。
3. 能量守恆：在穩態過程中，系統的能量變化為零。

解題步驟：

(a) 穩態氣流的控制方程式

對於一個穩定的噴流，我們可以考慮一個包含噴流區域的控制體積。在穩態下，進入控制體積的質量流率等於離開控制體積的質量流率。動量定理指出，作用在流體上的淨外力等於流體動量的時間變化率。由於是穩態流，動量變化率為零。因此，作用在流體上的淨外力等於流體動量流率的淨輸出。

考慮一個圓柱形控制體積，其半徑與噴流半徑相同，長度足夠長以捕捉所有向下噴射的空氣。假設控制體積內的空氣受到向下的重力作用，以及空氣與外部大氣之間的壓力差。然而，題目要求的是「governing equation for the steady stream」，這通常指的是描述動量交換的方程式。

在穩態下，作用在空氣質點上的合力等於其動量流率的淨輸出。假設空氣被直升機向下加速，這個加速的空氣對直升機產生向上的反作用力。

我們考慮一個控制體積，它包含在直升機下方 $10 \text{ m}$ 直徑的噴流區域內。假設在噴流邊界（半徑 $R = 5 \text{ m}$）之外，空氣速度為 $v_{air} \approx 0$。在噴流內部，空氣被加速到向下速度 $v_{down}$。

根據動量定理，作用在控制體積內的空氣上的淨外力等於動量流率的淨輸出。
$\sum F = \dot{m}_{out} \mathbf{v}_{out} - \dot{m}_{in} \mathbf{v}_{in}$
在這裡，我們主要關心的是直升機對空氣施加的力，以及空氣對直升機施加的反作用力。

考慮直升機葉片產生向下的推力 $T$。這個推力作用在空氣上，使其獲得向下的動量。
假設我們考慮的是向下噴射的空氣。
在噴流入口（例如，葉片上方），空氣速度接近零。在噴流出口（下方），空氣速度為 $v_{down}$。
控制體積內的空氣受到上方大氣的壓力 $p_{atm}$ 和下方大氣的壓力 $p_{atm}$ （假設控制體積足夠大，遠離直升機）。

更直接的理解是，直升機的推力 $T$ 必須克服空氣的動量變化。
如果我們考慮直升機向下推動空氣，那麼空氣獲得向下的動量。
假設我們考慮一個控制體積，其頂部在直升機上方（壓力 $p_1$），底部在直升機下方（壓力 $p_2$），側面是噴流邊界。
在穩態下，作用在空氣上的外力（壓力差和重力）等於動量流率的淨變化。

然而，題目問的是「governing equation for the steady stream」。這通常是指在噴流區域內，空氣的速度與其獲得的動量之間的關係。

直升機的推力 $T$ 作用在空氣上，使其獲得向下的動量。
設噴流的斷面積為 $A$。
設空氣的密度為 $\rho$。
設空氣在噴流中的平均速度為 $v_{down}$。
質量流率 $\dot{m} = \rho A v_{down}$。

動量定理應用於向下加速的空氣：
$\sum F_y = \frac{d}{dt} \int_{CV} v_y \rho dV + \int_{CS} v_y \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A}$
對於穩態流，第一項為零。
$\sum F_y = \int_{CS} v_y \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A}$
假設空氣在進入控制體積（例如，葉片處）速度為 $v_{in}$，離開控制體積（噴流出口）速度為 $v_{out}$。
若我們考慮一個包含直升機及其下方噴流的控制體積，則：
向下的推力 $T$ 作用在空氣上。
空氣受到的淨力為 $T$（忽略重力，因為空氣密度小，且重力效應包含在壓力中）。
動量流率的淨輸出：
在噴流出口（面積 $A$），速度為 $v_{down}$，動量流率為 $\dot{m} v_{down} = (\rho A v_{down}) v_{down} = \rho A v_{down}^2$ (向下)。
在噴流入口（假設大氣），速度為 $v_{air} \approx 0$，動量流率為 0。
因此，動量定理（向下為正）：
$T = \rho A v_{down}^2$
這裡的 $v_{down}$ 是空氣被加速的速度。

題目給了「maximum downward air speed of 25 m/s in a 10 m-diameter slipstream」。這 $25 \text{ m/s}$ 應該是指空氣被加速後的末端速度，即 $v_{down}$。

所以，控制方程式為：
$T = \rho A v_{down}^2$
其中 $T$ 是直升機對空氣的推力，$\rho$ 是空氣密度， $A$ 是噴流斷面積，$v_{down}$ 是空氣被加速的速度。

(b) 噴流中的質量流率

核心觀念

本題同時使用：

1. 粒子 $P$ 對孔 $O$ 的角動量守恆
   張力沿著 $OP$ 方向，對 $O$ 的力矩為零，因此
   $m r^2\dot{\theta}=\text{常數}$
   亦即
   $m r v_\theta=\text{常數}$

2. 整個系統的機械能守恆
   系統包含桌面上的粒子 $P$ 與懸掛粒子 $Q$（質量 $M$）。桌面光滑，繩張力為內力，因此考慮重力位能後，總機械能守恆。

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解題方法

初始時：

• $P$ 距離孔 $O$ 為 $r_0=3\text{ m}$
• $P$ 的速度為 $v_0=5.4\text{ m/s}$
• 此時為水平圓周運動，因此速度完全為切向速度
• $Q$ 瞬時靜止

當 $P$ 移至 $r=2\text{ m}$ 時，由繩長不變，$Q$ 向下移動

$$\Delta y=r_0-r=3-2=1\text{ m}$$

設此時 $P$ 的徑向速度大小，以及 $Q$ 的速度皆為 $u$。

1. 角動量守恆

初始切向速度為 $v_0$，末狀態切向速度記為 $v_\theta$：

$$m r_0 v_0=m r v_\theta$$

因此

$$v_\theta=\frac{r_0v_0}{r} =\frac{(3)(5.4)}{2} =8.1\text{ m/s}$$

2. 機械能守恆

粒子 $Q$ 下降 $1\text{ m}$，重力位能減少量為

$$Mg(r_0-r)$$

故

核心觀念

本題考查平面剛體運動的：

• 定軸轉動速度與加速度
• 剛體兩點間的相對速度
• 剛體兩點間的相對加速度
• 垂直連桿 $CD$ 的幾何拘束

由圖得：

$AB=30\text{ mm},\quad CD=60\text{ mm}$

$\vec r_{D/B}=75\mathbf i+30\mathbf j\text{ mm}$

$\vec r_{E/B}=150\mathbf i+60\mathbf j\text{ mm}$

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。

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解題方法

桿 $AB$ 以固定角速度 $10\text{ rad/s}$ 順時針轉動，因此

$$\omega_{AB}=-10\mathbf k\text{ rad/s},\qquad \alpha_{AB}=0$$

點 $B$ 到 $A$ 的位置向量為

$\vec r_{B/A}=0.03\mathbf j\text{ m}$

1. 點 $B$ 的速度與加速度

速度：

$\vec v_B=\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}$

$$\vec v_B=(-10\mathbf k)\times(0.03\mathbf j) =0.30\mathbf i\text{ m/s}$$

加速度：

$$\vec a_B =\vec\alpha_{AB}\times\vec r_{B/A} -\omega_{AB}^{\,2}\vec r_{B/A}$$ $$\vec a_B =-10^2(0.03\mathbf j) =-3.00\mathbf j\text{ m/s}^2$$

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(a) 桿 $BDE$ 的角加速度

2. 先求桿 $BDE$ 的瞬時角速度

剛體 $BDE$ 的相對速度式為

$\vec v_D=\vec v_B+\vec\omega_{BDE}\times\vec r_{D/B}$

設

$\vec\omega_{BDE}=\omega\mathbf k$

則

$$\vec\omega_{BDE}\times\vec r_{D/B} =\omega\mathbf k\times(0.075\mathbf i+0.03\mathbf j)$$

$=-0.03\omega\mathbf i+0.075\omega\mathbf j$

因為 $D$ 受垂直連桿 $CD$ 約束，在圖示瞬間 $D$ 的速度必為水平方向，所以

$v_{D_y}=0$

因此

$0=0.075\omega$

$\boxed{\omega_{BDE}=0}$

故桿 $BDE$ 在此瞬間為瞬時平移。

3. 利用點 $D$ 的垂直加速度

由

$v_D=0.30\mathbf i\text{ m/s}$

且 $CD=0.06\text{ m}$，垂直連桿 $CD$ 的角速度大小為

$|\omega_{CD}|=\frac{0.30}{0.06}=5\text{ rad/s}$

點 $D$ 朝 $C$ 方向的法向加速度為

$$a_{D_y}=-\omega_{CD}^{\,2}(0.06) =-5^2(0.06) =-1.50\text{ m/s}^2$$

對剛體 $BDE$ 使用相對加速度式：

$$\vec a_D = \vec a_B+ \vec\alpha_{BDE}\times\vec r_{D/B} -\omega_{BDE}^{\,2}\vec r_{D/B}$$

核心觀念

本題考查：

1. 剛體純滾動條件：
   $v_G=R\omega$
2. 質量迴轉半徑定義：
   $I_G=mr_g^2$
3. 保守力系統的機械能守恆：
   $T_1+V_1=T_2+V_2$
4. 彈簧位能：
   $V_s=\frac12 k(L-L_0)^2$

由圖中尺寸可得輪半徑

$R=30\text{ mm}=0.03\text{ m}$

且輪心 $G$ 到地面的高度固定，因此重力位能在運動前後不變。

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(a) 初始瞬間的動能與位能

初始時輪子由靜止開始，因此

$T_1=0$

重力位能

取地面為重力位能零位準，輪心高度為 $0.03\text{ m}$：

$$V_{g1}=mgy_G =20(9.81)(0.03) =5.886\text{ J}$$

彈簧位能

初始時彈簧長度由圖得

$L_1=90\text{ mm}=0.09\text{ m}$

未伸長長度為

$L_0=15\text{ mm}=0.015\text{ m}$

因此彈簧伸長量為

$$\Delta L_1=L_1-L_0 =0.09-0.015 =0.075\text{ m}$$

彈簧位能：

$$V_{s1} =\frac12 k(\Delta L_1)^2 =\frac12(17.5)(0.075)^2 =0.04922\text{ J}$$

所以初始總位能為

$$V_1=V_{g1}+V_{s1} =5.886+0.04922 =5.93522\text{ J}$$

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(b) 順時針轉過 $90^\circ$ 後的能量

輪心平移距離

純滾動時，輪心向右移動：

$$s=R\theta =0.03\left(\frac{\pi}{2}\right) =0.04712\text{ m}$$

順時針轉過 $90^\circ$ 後，圖中原先位於輪頂端的 $B$ 點轉至輪子的右側，因此 $B$ 點相對輪心又向右移動一個半徑 $R$。

故彈簧長度為

$L_2=0.09-s-R$

$$L_2=0.09-0.04712-0.03 =0.01288\text{ m}$$

此時彈簧相對未伸長長度的變形量為

$$\Delta L_2=L_2-L_0 =0.01288-0.015 =-0.00212\text{ m}$$

負號表示彈簧被壓縮，但彈簧位能仍為