111 年 國立中央大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學（含熱傳）》

核心觀念

流線為圓形時，流體需有指向曲率中心的向心加速度 $V^2/r$。因此不同半徑上的壓力會不同，須沿半徑方向套用動量方程；不能把 A、B、C 當成同一條流線上的點，直接套用伯努力方程。

由圖可讀出內側流線半徑為 $5\,\text{m}$，流道徑向寬度為 $2\,\text{m}$，且 $B$ 位於 $A$ 與 $C$ 中間。因此

解題方法

油的密度換算為

在彎道最低處，徑向向外方向與重力方向相同。取徑向向外為正，圓周運動的徑向加速度為 $-V^2/r$。徑向動量方程為

所以

沿半徑由 $r_1$ 積分至 $r_2$，壓力差為

本題考驗學生對 Navier-Stokes 方程式的理解，以及如何針對特定流動條件（Couette flow）進行簡化並求解。

【核心觀念】
Navier-Stokes 方程式是描述牛頓流體運動的動量守恆方程式。針對不同流動情況，需要進行適當的簡化。Couette flow 是一種典型的二維、穩態、層流，其速度剖面由壓力梯度和板的相對運動決定。

【解題步驟】

首先，根據題目的描述，分析 Couette flow 的特徵：

1. 流動方向：僅在 x 方向，即 $u$ 是速度分量，而 $v=0$ 且 $w=0$。
2. 穩態 (Steady-state)：所有隨時間的變化為零，即 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
3. 完全發展 (Fully developed)：速度剖面不隨 x 方向變化，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$。
4. 二維流動：除了 x 方向的速度，y 方向的速度分量 $v=0$，z 方向的速度分量 $w=0$。此外，由於是完全發展的流動，速度 $u$ 僅依賴於 $y$，即 $u=u(y)$，因此 $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$。
5. 不可壓縮流體：密度 $\rho$ 為常數。
6. 牛頓流體：黏度 $\mu$ 為常數。
7. 重力：題目中未提及重力方向，但通常在 Couette flow 問題中，若無特別說明，且流動主要在 x 方向，則 $g_x$ 可能為零或與壓力梯度抵銷。若假設重力方向垂直於流動方向（例如 y 方向），則 $g_x = 0$。
8. 忽略浮力 (Buoyancy is neglected)：這通常意味著我們不考慮密度變化引起的效應，或者重力的影響在壓力梯度中已被考慮。

(a) 簡化 Navier-Stokes 方程式：
給定的 x 方向 Navier-Stokes 方程式為：
$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$
根據上述分析，將各項簡化：

• $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ (穩態)
• $u \frac{\partial u}{\partial x} = u \times 0 = 0$ (完全發展)
• $v \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \times \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ ( $v=0$ )
• $w \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \times 0 = 0$ ( $w=0$ 且 $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$ )
• $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (0) = 0$ (完全發展)
• $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$ ( $u$ 僅為 $y$ 的函數)
• $\rho g_x$：若假設重力方向垂直於流動方向，則 $g_x=0$。若題目暗示重力對壓力梯度有影響，則需要保留。然而，Couette flow 的標準定義常假定此項為零或已包含在壓力梯度中。在此，我們暫且假設 $g_x=0$，因為這是一個標準的 Couette flow 問題。

簡化後的方程式變為：
$\rho (0) = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( 0 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0 \right) + 0$
$0 = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

本題考驗學生對熱傳導方程式的理解，以及如何處理內部熱源和邊界條件。題目包含穩態一維熱傳導，並要求建立溫度分佈和接觸熱阻的表達式。

【核心觀念】
一維穩態熱傳導方程式（含內部熱源）：
$\frac{d^2 T}{d x^2} + \frac{q(x)}{k} = 0$
其中 $T$ 是溫度，$x$ 是空間座標，$q(x)$ 是單位體積的熱產生率，$k$ 是熱導率。

邊界條件：

1. 絕熱邊界 (Insulated boundary)：在絕熱表面，熱流密度為零。對於一維傳導，這意味著溫度梯度為零，即 $\frac{dT}{dx} = 0$。
2. 定溫邊界 (Constant temperature boundary)：在定溫表面，溫度已知。
3. 接觸熱阻 (Thermal contact resistance)：當兩個固體表面接觸時，由於表面不平整等原因，會在接觸界面產生額外的熱阻，導致界面兩側的溫度產生溫差。其關係為 $\Delta T = R_t'' \cdot q''$，其中 $q''$ 是通過界面的熱流密度。

【解題步驟】

(a) 求解穩態溫度分佈 $T(x)$：
給定的熱產生率為 $q(x) = q_0 \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$。
一維穩態熱傳導方程式為：
$\frac{d^2 T}{d x^2} + \frac{q_0}{k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) = 0$
$\frac{d^2 T}{d x^2} = - \frac{q_0}{k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$
積分一次：
$\frac{d T}{d x} = \int - \frac{q_0}{k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) dx$
$\frac{d T}{d x} = - \frac{q_0}{k} \left( \frac{2L}{\pi} \right) \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right) + C_1$
$\frac{d T}{d x} = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right) + C_1$
邊界條件 1：在 $x=0$ 處，表面絕熱，因此 $\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0} = 0$。
$0 = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi \times 0}{2L}\right) + C_1$
$0 = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin(0) + C_1$
$0 = 0 + C_1 \implies C_1 = 0$
所以，溫度梯度為：
$\frac{d T}{d x} = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$
再次積分，得到溫度 $T(x)$：
$T(x) = \int - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right) dx$
$T(x) = - \frac{2L q_0}{\pi k} \left( - \frac{2L}{\pi} \right) \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) + C_2$
$T(x) = \frac{2L q_0}{\pi k} \frac{2L}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) + C_2$

本題是延續第三題的熱傳問題，但將邊界條件從定溫改為熱輻射。這需要結合熱傳導、熱輻射的知識，並應用熱平衡原理。

【核心觀念】

1. 穩態一維熱傳導：熱量從牆壁內部傳遞到邊界面。
2. 熱輻射：牆壁表面與周圍環境進行輻射換熱。
3. 熱平衡：在穩態下，通過界面的熱傳導量等於從界面輻射出去的熱量。

【解題步驟】

我們沿用第三題 (a) 中計算出的溫度梯度和溫度分佈的表達式，但邊界條件將有所不同。
牆壁內部熱產生率：$q(x) = q_0 \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$
溫度梯度：$\frac{d T}{d x} = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$
溫度分佈：$T(x) = \frac{4L^2 q_0}{\pi^2 k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) + C_2$

邊界條件：

• $x=0$：絕熱， $\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0} = 0$。這個條件已用於確定 $C_1=0$，因此溫度梯度公式 $\frac{d T}{d x} = - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$ 仍然有效。
• $x=L$：牆壁表面與周圍環境（溫度 $T_\infty$）進行熱輻射。

首先，計算通過 $x=L$ 界面的熱傳導率。這與第三題 (b) 中的熱流密度 $q''$ 計算相同：
$q''_{conduction} = -k \frac{dT}{dx}\bigg|_{x=L}$
$q''_{conduction} = -k \left( - \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi L}{2L}\right) \right)$
$q''_{conduction} = k \frac{2L q_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2L q_0}{\pi}$
這個熱流是從牆壁內部流向表面 $x=L$ 的。

本題要求繪製空氣和水兩種流體在平板上方流動時的速度邊界層和熱邊界層的示意圖。這考驗學生對邊界層概念的理解，特別是邊界層的發展、厚度以及不同流體物性對邊界層厚度的影響。

【核心觀念】

1. 速度邊界層 (Velocity Boundary Layer)：由於黏滯力作用，緊貼平板表面的流體速度為零（無滑動條件），而遠離平板的流體速度則接近來流速度。速度邊界層是指速度從零變化到接近來流速度的區域。
2. 熱邊界層 (Thermal Boundary Layer)：當平板表面溫度與流體來流溫度不同時，由於熱傳導作用，緊貼平板表面的流體溫度與平板溫度相同，而遠離平板的流體溫度則接近來流溫度。熱邊界層是指溫度從表面溫度變化到接近來流溫度的區域。
3. 邊界層厚度：速度邊界層厚度 $\delta$ 通常定義為流體速度達到來流速度 $U_\infty$ 的 99% 的位置。熱邊界層厚度 $\delta_T$ 通常定義為流體溫度達到來流溫度 $T_\infty$ 的 99% 的位置。
4. 普朗特數 (Prandtl Number, Pr)：$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu/\rho}{k/(\rho c_p)} = \frac{\mu c_p}{k}$。普朗特數是描述動量擴散率（黏滯性）與熱擴散率（熱擴散係數）之比。它決定了速度邊界層厚度 $\delta$ 和熱邊界層厚度 $\delta_T$ 的相對大小。
   • $Pr \approx 1$：$\delta \approx \delta_T$
   • $Pr > 1$：$\delta > \delta_T$ (速度邊界層比熱邊界層厚)
   • $Pr < 1$：$\delta < \delta_T$ (熱邊界層比速度邊界層厚)

【解題步驟】

我們需要分別考慮空氣和水。通常，流體沿平板從左到右流動。

空氣 (Air)：
空氣的普朗特數 $Pr_{air}$ 通常略大於 1（例如，在室溫下約為 0.7-0.75）。

• 速度邊界層：隨著流體沿平板從左向右流動，由於黏滯力的作用，速度邊界層會逐漸增厚。
• 熱邊界層：假設平板溫度高於來流溫度（或低於來流溫度），熱邊界層也會隨著流動逐漸增厚。
• 相對厚度：由於 $Pr_{air} < 1$ (若以常見值 0.7 來看)，熱邊界層會比速度邊界層更厚。

本題考驗學生在外流平板的強制對流換熱問題。包含流體性質的選取、流態判斷（層流或紊流）以及局部對流係數的計算。

【核心觀念】

1. 流體性質的選取：對於強制對流問題，流體性質（密度 $\rho$, 動黏滯係數 $\nu$, 熱導係數 $k$, 定壓比熱 $c_p$, 普朗特數 $Pr$）通常在「參考溫度」(Reference Temperature) 下計算。對於平板流動，常見的參考溫度是「平均薄膜溫度」(Mean Film Temperature)，$T_f = \frac{T_w + T_\infty}{2}$。
2. 流態判斷：層流和紊流的判斷主要依賴雷諾數 (Reynolds Number, Re)。對於平板流動，臨界雷諾數 $Re_{crit}$ 通常取 $5 \times 10^5$。
   $Re_x = \frac{\rho U_\infty x}{\mu} = \frac{U_\infty x}{\nu}$
   若 $Re_x < Re_{crit}$，則為層流；若 $Re_x > Re_{crit}$，則為紊流。
3. 局部對流係數：對於層流和紊流平板流動，有不同的經驗公式來計算局部努塞爾數 (Nusselt Number, Nu)，進而得到局部對流係數 $h$。
   • 層流 ( $0 < Re_x < 5 \times 10^5$ )：$Nu_x = 0.332 Re_x^{0.5} Pr^{1/3}$ (假設 $Pr \ge 0.6$ 且 $T_w$ 是常數)
   • 紊流 ( $Re_x > 5 \times 10^5$ )：$Nu_x = 0.0296 Re_x^{0.8} Pr^{1/3}$ (假設 $Pr \ge 0.6$ )
   • 混合流：當流動從層流轉變為紊流時，需要考慮層流和紊流的貢獻。

努塞爾數的定義：$Nu_x = \frac{h_x x}{k}$，其中 $h_x$ 是局部對流係數，$x$ 是從平板前緣開始的距離，$k$ 是流體的熱導係數。

【解題步驟】

給定參數：
來流溫度 $T_\infty = 300 \text{ K}$
板溫度 $T_w = 400 \text{ K}$
來流速度 $U_\infty = 6.0 \text{ m/s}$
板長度 $L = 2.0 \text{ m}$
板寬度 $W = 0.5 \text{ m}$

(a) 流體性質的選取：
計算平均薄膜溫度 $T_f$：
$T_f = \frac{T_w + T_\infty}{2} = \frac{400 \text{ K} + 300 \text{ K}}{2} = \frac{700 \text{ K}}{2} = 350 \text{ K}$
查表 7 (題目中提供的空氣性質表) 在 $T = 350 \text{ K}$ 的數據：
$\rho = 0.9950 \text{ kg/m}^3$
$\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{208.2 \times 10^{-7} \text{ N·s/m}^2}{0.9950 \text{ kg/m}^3} \approx 2.092 \times 10^{-5} \text{ m}^2/\text{s}$
$k = 0.0300 \text{ W/m·K}$
$Pr = 0.995$ (從表中的 $\mu c_p / k$ 計算，或者直接使用表中給出的 $Pr$ 值，如果有的話。

本題考驗學生在圓管內的強制對流換熱問題，特別是計算充分發展區域的對流傳熱係數。題目提供了管內流體的性質、邊界條件以及相關的努塞爾數公式。

【核心觀念】

1. 強制對流（管內流動）：流體在外部壓力驅動下通過管道，與管壁發生熱交換。
2. 充分發展區域 (Fully Developed Region)：當流體進入管道一段距離後，速度剖面和溫度剖面不再隨長度變化。在此區域，對流傳熱係數為常數。
3. 努塞爾數 (Nusselt Number, Nu)：$Nu = \frac{h D}{k}$，其中 $h$ 是對流傳熱係數，$D$ 是管徑，$k$ 是流體的熱導係數。
4. 雷諾數 (Reynolds Number, Re)：$Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}$，其中 $V$ 是平均流速，$D$ 是管徑，$\nu$ 是動黏滯係數。
5. 普朗特數 (Prandtl Number, Pr)：$Pr = \frac{\mu c_p}{k}$。
6. 管內流動的邊界條件：
   • $Nu = 4.36$：適用於熱流密度恆定 ($q'' = \text{constant}$)，充分發展的層流。
   • $Nu = 3.66$：適用於管壁溫度恆定 ($T_w = \text{constant}$)，充分發展的層流。
   • $Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^n$：適用於充分發展的紊流。$n=0.4$ 表示加熱， $n=0.3$ 表示冷卻。

【解題步驟】

給定參數：
來流溫度 $T_{in} = 350 \text{ K}$
出口溫度 $T_{out} = 400 \text{ K}$
質量流量 $\dot{m} = 10 \text{ kg/hr} = \frac{10}{3600} \text{ kg/s} \approx 0.002778 \text{ kg/s}$
壁溫 $T_w = 450 \text{ K}$ (恆定)
管徑 $D = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m}$

首先，確定需要計算對流傳熱係數的溫度。由於題目要求計算「充分發展區域」的傳熱係數，並且給定了管壁溫度恆定，我們需要選擇一個合適的溫度來查找流體性質。對於管內流動，通常使用平均溫度 $T_f = \frac{T_{in} + T_{out}}{2}$ 來計算流體性質，如果流體溫度變化不大。然而，題目提供了不同溫度的性質表，我們需要判斷哪個溫度最適合。由於流體被加熱，溫度從 350 K 升高到 400 K，壁溫為 450 K。一個合理的選擇是使用中間溫度 $T_f = \frac{350+400}{2} = 375 \text{ K}$。但表中沒有 375 K 的數據，最接近的是 350 K 和 400 K。我們可以使用線性插值，或者選擇一個代表性的溫度，例如 350 K 或 400 K。如果題目沒有特別指示，使用平均溫度 375 K 的插值數據是較好的做法。

讓我們使用線性插值來估算 375 K 的性質：

• $\rho$：在 350 K 是 0.9950，在 400 K 是 0.8711。
  $\rho(375) = \rho(350) + \frac{375-350}{400-350} (\rho(400) - \rho(350))$
  $\rho(375) = 0.9950 + \frac{25}{50} (0.8711 - 0.9950) = 0.9950 + 0.5 (-0.1239) = 0.9950 - 0.06195 = 0.93305 \text{ kg/m}^3$
• $\nu$：在 350 K 是 $208.2 \times 10^{-7}$，在 400 K 是 $230.1 \times 10^{-7}$。
  $\nu(375) = 208.2 \times 10^{-7} + 0.5 (230.1 - 208.2) \times 10^{-7} = 208.2 \times 10^{-7} + 0.5 (21.9) \times 10^{-7}$
  $\nu(375) = 208.2 \times 10^{-7} + 10.95 \times 10^{-7} = 219.15 \times 10^{-7} \text{ m}^2/\text{s}$
• $k$：在 350 K 是 0.0300，在 400 K 是 0.0338。