111 年 國立中央大學機械工程系光機電工程碩士班乙組《材料力學》

核心觀念

兩部分緊密黏結，變形時必須符合相容條件；再搭配平衡條件即可求內力分配。

• 軸向受力：核心與管壁軸向應變相同，且兩者承受的軸力合計為 $P$。
• 扭轉：兩部分扭轉角相同，因此單位長度扭轉角相同；扭矩依各自的 $GJ_p$ 分配。
• 熱膨脹：兩部分軸向應變相同，且沒有外加軸力時，兩部分軸力合計為零。

令核心 A 的截面積為 $A_a$，管壁 B 的截面積為 $A_b$：

$$A_a=\frac{\pi d_a^2}{4}, \qquad A_b=\frac{\pi(d_b^2-d_a^2)}{4}$$

其中管壁的極慣性矩 $J_{pb}$ 對應環形截面，核心的 $J_{pa}$ 對應實心圓截面：

$$J_{pa}=\frac{\pi d_a^4}{32}, \qquad J_{pb}=\frac{\pi(d_b^4-d_a^4)}{32}$$

（1）軸向負載 $P$ 的分配

緊密黏結使兩部分具有相同的軸向應變 $\varepsilon$。依虎克定律：

$$P_a=E_aA_a\varepsilon, \qquad P_b=E_bA_b\varepsilon$$

由軸向力平衡 $P_a+P_b=P$，可得：

$$\varepsilon=\frac{P}{E_aA_a+E_bA_b}$$

因此核心與管壁承受的軸力分別為：

$$\boxed{P_a=\frac{E_aA_a}{E_aA_a+E_bA_b}P}$$ $$\boxed{P_b=\frac{E_bA_b}{E_aA_a+E_bA_b}P}$$

若 $P$ 為拉力，兩者皆為拉力；若 $P$ 為壓力，兩者皆為壓力。

（2）總扭矩 $T$ 下的最大剪應力

兩部分扭轉角相同，故單位長度扭轉角 $\phi'$ 相同。各部分分擔的扭矩為：

$$T_a=G_aJ_{pa}\phi', \qquad T_b=G_bJ_{pb}\phi'$$

由 $T_a+T_b=T$ 得：

$$\phi'=\frac{T}{G_aJ_{pa}+G_bJ_{pb}}$$

所以：

$$T_a=\frac{G_aJ_{pa}}{G_aJ_{pa}+G_bJ_{pb}}T, \qquad T_b=\frac{G_bJ_{pb}}{G_aJ_{pa}+G_bJ_{pb}}T$$

圓軸扭轉剪應力為 $\tau=Tr/J_p$。核心 A 的最大應力在外表面 $r=d_a/2$；管壁 B 的最大應力在最外緣 $r=d_b/2$。因此：

核心觀念

本題考查：

1. 集中力偶作用下簡支梁的支承反力。
2. 剪力圖與彎矩圖的繪製。
3. 對稱工字形截面的形心軸慣性矩。
4. 彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{Mc}{I}$$

其中 $M$ 為截面彎矩、$c$ 為中性軸至最外纖維距離、$I$ 為截面對中性軸的面積慣性矩。

以下取圖示力偶方向為逆時針，並以左支承為 $A$、右支承為 $B$。

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一、支承反力

梁全長為 $2L$，集中力偶 $M_0$ 作用於跨距中央。

由垂直力平衡：

$$A_y+B_y=0$$

對 $A$ 點取力矩：

$$B_y(2L)+M_0=0$$

因此：

$$B_y=-\frac{M_0}{2L}$$ $$A_y=\frac{M_0}{2L}$$

代入 $M_0=22.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$、$L=1.5\ \text{m}$：

$$A_y=\frac{22.5}{2(1.5)} =7.5\ \text{kN}$$ $$B_y=-7.5\ \text{kN}$$

所以左支承向上 $7.5\ \text{kN}$，右支承向下 $7.5\ \text{kN}$。

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二、剪力圖

集中力偶不會造成剪力跳躍，因此：

區間 $0<x<L$

$$V(x)=A_y=7.5\ \text{kN}$$

區間 $L<x<2L$

截面左側包含 $A_y$ 與集中力偶 $M_0$，但力偶不直接改變剪力，因此：

$$V(x)=7.5\ \text{kN}$$

不過在右支承 $B$ 處有向下反力 $7.5\ \text{kN}$，剪力圖最後跳回零。

因此剪力圖為：

• $A$ 點之後：$V=+7.5\ \text{kN}$
• 全跨距內維持水平線
• $B$ 點處由 $+7.5\ \text{kN}$ 跳至 $0$

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三、彎矩圖

令 $x$ 自左支承 $A$ 起算。

區間 $0\leq x<L$

$$M(x)=A_yx$$ $$M(x)=7.5x\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

在力偶作用點左側：

$$M(L^-)=7.5(1.5) =11.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

集中力偶造成的彎矩跳躍

集中力偶大小為 $22.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$，因此彎矩圖在 $x=L$ 處向下跳躍 $22.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$：

$$M(L^+)=11.25-22.5 =-11.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

區間 $L<x\leq 2L$

$$M(x)=A_yx-M_0$$ $$M(x)=7.5x-22.5 \ \text{kN}\cdot\text{m}$$

在右支承處：

$$M(2L)=7.5(3)-22.5=0$$

因此彎矩圖關鍵值為：

$$M(A)=0$$ $$M(L^-)=+11.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M(L^+)=-11.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M(B)=0$$

彎矩圖為左半部由 $0$ 線性上升至 $+11.25\ \text{kN}\cdot\text{m}$，在中央向下跳 $22.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$，再線性上升至右支承的 $0$。

故絕對最大彎矩為：

核心觀念

本題考查：

• 對稱結構與對稱載重下的支承反力。
• Euler–Bernoulli 梁的撓曲關係
  $EI\frac{d^2y}{dx^2}=-M(x)$
  其中 $y$ 軸取向上為正，均布載重 $w_0$ 向下。
• 由斜率與撓度積分求梁的變形。
• 中央截面位於整支梁長度的中點，因此由對稱性可知
  $y'(0)=0.$

令梁中央為 $x=0$，則：

• 左端：$x=-(a+b)$
• 左支承：$x=-b$
• 右支承：$x=b$
• 右端：$x=a+b$

設右支承右側端點距離為 $a$。

解題方法

梁總長為 $2a+2b$，由對稱性，兩支承反力相等：

$R_A=R_B=w_0(a+b).$

只取右半部 $0\le x\le b$ 分析。對中央至右支承間任一截面，彎矩為

$$M(x)=R_B(b-x)-\frac{w_0}{2}(a+b-x)^2.$$

代入 $R_B=w_0(a+b)$：

$$M(x)=w_0(a+b)(b-x)-\frac{w_0}{2}(a+b-x)^2.$$

(i) 求使中央撓度為零的 $b/a$

由 $y'(0)=0$，中央至右支承的撓度差為

$$y(b)-y(0) =\int_0^b (b-x)y''(x)\,dx =-\frac{1}{EI}\int_0^b(b-x)M(x)\,dx.$$

因為右支承處 $y(b)=0$，題目要求中央撓度 $y(0)=0$，所以必須滿足

$$\int_0^b(b-x)M(x)\,dx=0.$$

代入彎矩式：

$$\begin{aligned} 0 &=w_0\int_0^b(b-x) \left[ (a+b)(b-x)-\frac12(a+b-x)^2 \right]dx\\ &=w_0b^2\left(-\frac{a^2}{4}+\frac{5b^2}{24}\right). \end{aligned}$$

因 $w_0\ne0$ 且 $b\ne0$，故

$$-\frac{a^2}{4}+\frac{5b^2}{24}=0.$$

因此

$$5b^2=6a^2$$

以及

$$\boxed{\frac ba=\sqrt{\frac65}}.$$

(ii) 求右端撓度

先求右支承處斜率：

核心觀念

本題是圓管的「偏心軸力、彎矩與扭矩」組合應力。截面上的正應力與剪應力分別由

$$\sigma=\frac{N}{A}-\frac{M_z y}{I_z}+\frac{M_y z}{I_y}$$

以及

$$\tau_{\text{扭}}=\frac{Tr}{J}$$

求得，其中

$$A=\frac{\pi}{4}(D_o^2-D_i^2)$$ $$I_y=I_z=\frac{\pi}{64}(D_o^4-D_i^4),\qquad J=2I$$

本題管徑為

$$D_o=48\text{ mm},\qquad D_i=44\text{ mm}$$

因此

$$A=289.0\text{ mm}^2$$ $$I_y=I_z=7.659\times10^4\text{ mm}^4$$ $$J=1.532\times10^5\text{ mm}^4$$

外表面距截面中心

$$c=\frac{48}{2}=24\text{ mm}$$

解題方法

在欲求應力的截面切開管件，對切面一側的所有外力取平衡，求出：

• 軸力 $N$
• 彎矩 $M_y,M_z$
• 扭矩 $T$

再將截面上該點的座標 $(y,z)$ 代入正應力公式，並以

$$\tau=\frac{Tc}{J}$$

求外表面最大扭轉剪應力。

依圖，H 位於水平管段，距左側固定端 $100\text{ mm}$；K 的標記在所提供的掃描圖中無法辨識。圖中雖可看出垂直管高度為 $250\text{ mm}$、水平尺寸為 $100\text{ mm}$ 與 $150\text{ mm}$，但缺少 K 在管截面圓周上的確切位置，因此 K 點的正應力與剪應力無法唯一決定。

H 點計算式

對 H 截面右側取自由體圖，將右側各力對 H 點取矩：

$$\mathbf M_H=\sum(\mathbf r_i\times\mathbf F_i)$$