111 年 國立中央大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

此題考查卡諾循環 (Carnot cycle) 的 P-v 圖與 T-s 圖，以及四個過程的特性。

卡諾循環是由兩個等溫過程 (isothermal processes) 和兩個絕熱過程 (adiabatic processes) 組成，是熱力學中效率最高的理想熱機循環。

1. P-v 圖 (Pressure-Volume Diagram):

• 過程 1-2 (等溫吸熱，Isothermal Heat Addition):
  • 系統從高溫熱源吸熱，溫度保持恆定 ($T_H$)，壓力下降，體積增加。
  • 在 P-v 圖上表現為一條向下傾斜的曲線。
• 過程 2-3 (絕熱膨脹，Adiabatic Expansion):
  • 系統與外界無熱量交換，體積持續增加，但壓力下降得比等溫過程更快，因為溫度也隨之下降。
  • 在 P-v 圖上表現為一條比等溫過程更陡峭的向下傾斜曲線。
• 過程 3-4 (等溫放熱，Isothermal Heat Rejection):
  • 系統向低溫熱源放熱，溫度保持恆定 ($T_L$)，壓力上升，體積減小。
  • 在 P-v 圖上表現為一條向上傾斜的曲線。
• 過程 4-1 (絕熱壓縮，Adiabatic Compression):
  • 系統與外界無熱量交換，體積持續減小，壓力上升得比等溫過程更快，因為溫度也隨之升高。
  • 在 P-v 圖上表現為一條比等溫過程更陡峭的向上傾斜曲線。

2. T-s 圖 (Temperature-Entropy Diagram):

此題考查定常流系統 (steady-flow system) 的總能量組成。定常流系統的能量守恆可以透過控制體積 (control volume) 的觀點來分析，其總能量變化率為零，因此進入控制體積的能量等於離開控制體積的能量。

定常流系統的總能量主要由以下四個組成部分構成：

1. 內能 (Internal Energy, $U$):

   • 這是物質分子運動和分子間相互作用的能量，與物質的溫度和相態有關。
   • 在定常流系統中，流體具有一定的內能，隨物質的流動而傳遞。

2. 位能 (Potential Energy, $PE$):

   • 這是由於流體相對於某個參考基準面 (reference datum) 的高度而具有的能量。
   • 其變化量通常表示為 $m \cdot g \cdot \Delta z$，其中 $m$ 是質量，$g$ 是重力加速度，$\Delta z$ 是高度差。

3. 動能 (Kinetic Energy, $KE$):

   • 這是由於流體運動而具有的能量。
   • 其變化量通常表示為 $\frac{1}{2} m \cdot V^2$，其中 $m$ 是質量，$V$ 是流體速度。

4. 流體功 (Flow Work, $W_{flow}$):

   • 這是流體進入或離開控制體積時，由於壓力作用而對周圍流體所做的功，也稱為流動功或壓力功。
   • 在單位質量流體的情況下，流體功可以表示為 $P \cdot v$，其中 $P$ 是壓力，$v$ 是比體積 (specific volume)。
   • 流體功是將流體推入或拉出控制體積所必需的能量。

此題考查空調系統的性能係數 (Coefficient of Performance, COP)，並要求與卡諾製冷循環 (Carnot refrigeration cycle) 進行關聯，探討降低室內溫度對最佳 COP 的影響。

最佳的 COP 發生在理想的可逆循環，即卡諾製冷循環。對於一個製冷循環，其 COP 定義為：
$COP_R = \frac{\text{Desired Output}}{\text{Required Input}} = \frac{\text{Cooling Load}}{\text{Work Input}} = \frac{Q_L}{W_{in}}$

對於卡諾製冷循環，其 COP 可以用工作溫度來表示。假設高溫熱源溫度為 $T_H$ (室外溫度)，低溫熱源溫度為 $T_L$ (室內溫度)，則卡諾製冷循環的 COP 為：
$COP_{R, Carnot} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$
這裡的溫度必須使用絕對溫度 (Kelvin)。

給定資訊：

• 室外溫度 $T_{outdoor} = 37^\circ C$
• 室內溫度變化範圍：從 $27^\circ C$ 降至 $23^\circ C$

計算步驟：

首先，將攝氏溫度轉換為凱氏溫度：

• $T_H = T_{outdoor} + 273.15 = 37 + 273.15 = 310.15 \, K$

接著，計算兩種室內溫度下的最佳 COP：

情況 1：室內溫度為 $27^\circ C$

• $T_L = 27 + 273.15 = 300.15 \, K$
• $COP_{R, Carnot, 27^\circ C} = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{300.15 \, K}{310.15 \, K - 300.15 \, K} = \frac{300.15}{10.00} = 30.015$

此題考查熱力學第二定律中的熵增原理 (Principle of Increase of Entropy)，並要求討論「系統在任何過程中的熵變都不能為負或零」這個說法是否正確。

熵增原理的陳述：
熱力學第二定律的其中一種表述方式是「熵增原理」。它指出，對於一個孤立系統 (isolated system)，其總熵在任何自發過程 (spontaneous process) 中總是增加的。對於一個封閉系統 (closed system) 加上其周圍環境，構成一個孤立系統，則整個宇宙的總熵在任何自發過程中總是增加的。
數學上表示為：

• 對於孤立系統：$\Delta S_{isolated} \ge 0$
• 對於宇宙 (系統+環境)：$\Delta S_{universe} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surroundings} \ge 0$

對題幹說法的分析：
題幹中的說法是：「系統在任何過程中的熵變都不能為負或零」。這句話需要仔細區分「系統本身」和「孤立系統」或「宇宙」。

1. 對於孤立系統：

   • 如果一個系統是孤立的（即與外界沒有質量和能量交換），那麼它本身就是一個孤立系統。根據熵增原理，這種系統的熵變 $\Delta S_{system}$ 在自發過程中必須是 $\ge 0$。
   • 在可逆過程中，$\Delta S_{isolated} = 0$。
   • 在不可逆過程中，$\Delta S_{isolated} > 0$。
   • 因此，對於一個「孤立系統」，其熵變確實不能為負。

2. 對於非孤立系統（開放系統或封閉系統）：

   • 如果一個系統不是孤立的（例如，它是一個與外界有能量交換的封閉系統，或者是一個有質量和能量交換的開放系統），那麼它的熵變 $\Delta S_{system}$ 可以為負或零。
   • 這是因為系統的熵變是兩個部分之和：系統本身的熵變和系統與環境之間交換的熵。

此題考查熱力學第二定律的兩種重要表述方式：克耳文-普朗克敘述 (Kelvin-Planck Statement) 和克勞修斯敘述 (Clausius Statement)，並要求說明它們之間的區別。這兩種敘述本質上是等價的，但它們從不同的角度強調了熱力學第二定律的核心概念。

1. 克耳文-普朗克敘述 (Kelvin-Planck Statement):

• 陳述： 不可能製造出一個循環工作的熱機，它從單一熱源吸取熱量，並將其完全轉化為功。
  • $\oint \frac{\delta Q}{T} \ge 0$ (克耳文-普朗克敘述可推導出此不等式，對於單一熱源吸熱 $Q_{in}$ 並完全轉化為功 $W_{out}$，則 $\frac{Q_{in}}{T_{source}} - \frac{W_{out}}{T_{ideal}} = 0$。如果 $W_{out} = Q_{in}$，則 $T_{ideal}$ 必須為無限大，或 $T_{source}$ 為無限大，或 $Q_{in}=0$。這意味著無法實現從單一熱源吸熱並完全轉化為功的循環過程。)
• 強調的重點： 這種敘述主要關注熱機 (heat engine) 的效率限制。它直接否定了製造一種「永動機第二類」(perpetual motion machine of the second kind) 的可能性，這種機器可以 100% 的效率將熱能轉換為機械功。
• 物理意義： 任何熱機都必須有兩個不同溫度的熱源（一個高溫熱源，一個低溫熱源）。熱機從高溫熱源吸取熱量，一部分轉化為功，另一部分必須排放到低溫熱源。因此，熱機的效率不可能達到 100%。

2. 克勞修斯敘述 (Clausius Statement):

• 陳述： 不可能製造出一個循環工作的裝置，它除了將熱量從低溫物體傳遞到高溫物體之外，不產生其他任何影響（即不消耗功）。
  • $\oint \frac{\delta Q}{T} \ge 0$ (克勞修斯敘述也可推導出此不等式。若要將熱量從低溫傳到高溫，必須有外部功輸入 $W_{in}$。若無外部功輸入，則 $\frac{Q_L}{T_L} - \frac{Q_H}{T_H} = 0$。這意味著 $Q_L$ 必須為零，或 $T_L$ 為零，或 $T_H$ 為無限大，這與將熱量從低溫傳到高溫的目標矛盾。)
• 強調的重點： 這種敘述主要關注熱量傳遞的方向。它說明了熱量不會自發地從低溫區域流向高溫區域。要實現這種方向的熱量傳遞（例如冰箱或空調），必須有外部功的輸入。
• 物理意義： 熱量自發流動的方向總是從高溫物體到低溫物體。將熱量從低溫傳遞到高溫是一個「違反自然」的過程，需要消耗能量來實現。

區別總結：

此題考查真實氣體混合物 (real gas mixture) 的焓變化 (enthalpy change) 的計算方法，要求說明兩種不同的處理方式。真實氣體混合物的焓計算比理想氣體複雜，因為真實氣體分子間存在作用力，且分子本身佔有體積，其狀態方程不再是簡單的理想氣體狀態方程 $PV=nRT$。

處理真實氣體混合物焓變的方法，通常是基於以下兩種思路：

方法一：基於殘差性質 (Residual Properties) 的方法

這種方法是將真實氣體的性質與相同溫度和壓力下的理想氣體性質進行比較。殘差性質是真實氣體性質與對應理想氣體性質之間的差值。

1. 焓的殘差性質定義：
   對於單一組分，焓的殘差性質 $h^R$ 定義為：
   $h^R(T, P) = h(T, P) - h^{ig}(T, P)$
   其中 $h(T, P)$ 是真實氣體的焓，$h^{ig}(T, P)$ 是在相同溫度 $T$ 和壓力 $P$ 下的理想氣體焓。
   真實氣體的焓可以表示為：
   $h(T, P) = h^{ig}(T, P) + h^R(T, P)$

2. 理想氣體焓的計算：
   理想氣體的焓僅是溫度的函數，其變化可以透過積分計算：
   $h^{ig}(T_2) - h^{ig}(T_1) = \int_{T_1}^{T_2} C_{P}^{ig} dT$
   其中 $C_{P}^{ig}$ 是理想氣體的定壓比熱。

3. 真實氣體混合物的焓：
   對於真實氣體混合物，總焓可以表示為各組分理想氣體焓的總和，加上混合物的殘差焓。
   $H(T, P, n_1, n_2, ...) = \sum_{i} n_i h_i^{ig}(T) + H^R(T, P, n_1, n_2, ...)$
   其中 $n_i$ 是組分 $i$ 的摩爾數。
   混合物的殘差焓 $H^R$ 可以透過混合規則 (mixing rules) 來計算，例如 Kay's rule 或 Lee-Kesler 方法。這些混合規則利用各組分的臨界參數 (如臨界溫度 $T_c$ 和臨界壓力 $P_c$) 來計算混合物的「假想」臨界參數，然後應用單一組分的殘差焓圖表或方程。

4. 焓變的計算：
   混合物的焓變 $\Delta H$ 可以表示為：
   $\Delta H = H_2 - H_1 = \left( \sum_{i} n_i h_i^{ig}(T_2) + H_2^R \right) - \left( \sum_{i} n_i h_i^{ig}(T_1) + H_1^R \right)$
   $\Delta H = \sum_{i} n_i (h_i^{ig}(T_2) - h_i^{ig}(T_1)) + (H_2^R - H_1^R)$
   其中 $H_2^R$ 和 $H_1^R$ 是混合物在狀態 2 和狀態 1 的殘差焓，可以通過查找圖表或使用相應的方程（如 Pitzer التركيب equation）計算得到。

方法二：基於狀態方程 (Equation of State, EOS) 的方法

這種方法直接使用適用於真實氣體混合物的狀態方程來計算焓。許多狀態方程，如 Redlich-Kwong (RK), Soave-Redlich-Kwong (SRK), Peng-Robinson (PR) 等，都可以推導出真實氣體混合物的焓。

1. 狀態方程的選擇：
   選擇一個合適的狀態方程，例如 Peng-Robinson 狀態方程：

此題考查布雷頓循環 (Brayton cycle) 中再生器 (regenerator) 的使用對循環熱效率的影響，以及在壓力比很大時的特殊情況。

布雷頓循環是燃氣渦輪機 (gas turbine) 的理想化模型，包含壓縮、加熱、膨脹、放熱四個過程。在標準的布雷頓循環中，高溫的渦輪排出氣體直接排放到大氣，而壓縮後的冷空氣則直接進入燃燒室與燃料混合加熱。使用再生器可以將渦輪排出氣體的部分熱量預熱進入燃燒室的壓縮空氣，從而減少燃料消耗，提高效率。

a) 使用再生器如何影響循環之熱效率?為什麼?

影響： 使用再生器會提高布雷頓循環的熱效率。

原因：
在標準的布雷頓循環中，壓縮機出來的空氣（狀態 2）進入燃燒室，與燃料混合後被加熱到渦輪進氣溫度（狀態 3）。燃燒室需要提供所有的熱量輸入 ($Q_{in}$)。
$Q_{in, standard} = h_3 - h_2$
渦輪膨脹後的廢氣（狀態 4）直接排放。

當引入再生器時，渦輪出來的高溫廢氣（狀態 4）會與壓縮機出來的冷空氣（狀態 2）進行熱交換。空氣在通過再生器後，溫度升高（狀態 2'），然後才進入燃燒室與燃料混合加熱到渦輪進氣溫度（狀態 3）。
$Q_{in, regenerator} = h_3 - h_{2'}$
廢氣在通過再生器後，溫度降低（狀態 4'），然後排放。

由於再生器預熱了進入燃燒室的空氣，所以燃燒室只需要提供較少的熱量來達到相同的渦輪進氣溫度 $T_3$。也就是說，$h_{2'} < h_2$，因此 $Q_{in, regenerator} < Q_{in, standard}$。

熱效率的定義為：
$\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} = \frac{W_{turbine} - W_{compressor}}{Q_{in}}$
或者
$\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$
對於布雷頓循環，如果假設為理想氣體且為定壓過程，則 $Q_{in}$ 和 $Q_{out}$ 與焓的變化成正比。
在有再生器的情況下，$Q_{in}$ 減小，而淨功 $W_{net} = W_{turbine} - W_{compressor}$ 在理想情況下（如果渦輪和壓縮機的效率不變，且渦輪出口溫度 $T_3$ 不變）大致相同。因此，由於 $Q_{in}$ 減小，熱效率 $\eta$ 會提高。

更嚴格地說，對於理想布雷頓循環，壓力比為 $r_p$，溫度比為 $T_1$（壓縮機進口）、$T_2$（壓縮機出口）、$T_3$（渦輪進口）、$T_4$（渦輪出口）。
標準布雷頓循環效率：
$\eta_{standard} = 1 - \frac{T_1}{T_3} \left( r_p^{\frac{k-1}{k}} - 1 \right)$
(這裡假設 $T_2/T_1 = T_3/T_4 = r_p^{(k-1)/k}$)

考慮再生器後，壓縮空氣被預熱，其溫度從 $T_2$ 升高到 $T_{2'}$。渦輪排氣溫度 $T_4$ 被冷卻到 $T_{4'}$。
理想再生器的效率 $\epsilon$ 定義為：
$\epsilon = \frac{h_{2'} - h_2}{h_4 - h_2} = \frac{T_{2'} - T_2}{T_4 - T_2}$
在理想再生器中，空氣被預熱到廢氣的溫度，即 $T_{2'} = T_4$。
此時，進入燃燒室的熱量 $Q_{in} = h_3 - h_{2'} = h_3 - h_4$。
而標準循環的熱量輸入 $Q_{in, std} = h_3 - h_2$。
由於 $T_4 > T_2$（或 $h_4 > h_2$），所以 $Q_{in} < Q_{in, std}$。
再生布雷頓循環的效率：
$\eta_{regen} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{h_4 - h_1}{h_3 - h_{2'}}$
在理想情況下，若 $T_1, T_3$ 不變，且 $T_4$ 保持不變，則 $W_{net} = W_{turbine} - W_{compressor} = c_p(T_3 - T_4) - c_p(T_2 - T_1)$ 保持不變。
由於 $Q_{in}$ 減小，$\eta_{regen} = W_{net} / Q_{in}$ 提高。

b) 當壓力比很大時,使用再生器反而會降低循環之熱效率嗎?為什麼?

情況： 在壓力比 ($r_p = P_2/P_1$) 非常大的情況下。

此題考查製冷系統中，為了在特定環境溫度下進行製冷，冷媒需要被壓縮到的最低壓力。這與製冷循環中的冷凝過程相關。

核心概念：
製冷循環的主要過程包括壓縮、冷凝、節流和蒸發。

• 壓縮 (Compression): 冷媒蒸氣被壓縮機壓縮，溫度和壓力升高。
• 冷凝 (Condensation): 高溫高壓的冷媒蒸氣在高壓側（冷凝器）向周圍環境散熱，冷卻並凝結成高壓液體。
• 節流 (Expansion): 高壓液體通過節流閥（膨脹閥），壓力急劇下降，溫度也隨之降低。
• 蒸發 (Evaporation): 低溫低壓的液態冷媒在蒸發器中吸收被冷卻物體的熱量而蒸發成低壓蒸氣。

問題分析：
製冷系統的冷凝器需要將冷媒的熱量散發到周圍環境中。為了使熱量能夠從冷媒傳遞到周圍環境，冷媒在冷凝器中的溫度必須高於周圍環境的溫度。

題目給定的環境溫度是 $26^\circ C$。這意味著，冷凝器必須將熱量散發到溫度為 $26^\circ C$ 的環境中。
因此，冷媒在冷凝器中的溫度必須略高於 $26^\circ C$，以確保熱量能夠順利傳遞。

R-134a 是一種製冷劑，其壓力與溫度之間存在對應關係，這可以從其飽和溫度表 (Saturated Temperature Table) 中查到。
在飽和狀態下，冷媒的溫度與其飽和壓力對應。

計算步驟：

1. 確定冷凝溫度 (Condensing Temperature):
   為了將熱量散發到 $26^\circ C$ 的環境中，冷媒的冷凝溫度 $T_{condenser}$ 必須略高於 $26^\circ C$。在理想情況下，我們希望這個溫差盡可能小，以提高效率。通常取一個比環境溫度高幾度（例如 5-10°C）的溫度作為冷凝溫度。但題目問的是「最低壓力」，這意味著我們應該尋找與稍微高於 $26^\circ C$ 的溫度對應的飽和壓力。
   如果我們假設冷凝溫度恰好就是 $26^\circ C$（這是理論上的最低要求，實際上需要高於此溫度），那麼我們就需要查找 $26^\circ C$ 對應的飽和壓力。