111 年 國立中央大學機械工程學系碩士班丁組《工程數學（含程式設計）》

核心觀念

1. Legendre 多項式的正交性 (Orthogonality of Legendre Polynomials)：
   Legendre 多項式序列 $\{P_n(x)\}_{n=0}^\infty$ 在區間 $[-1, 1]$ 上具正交性，權重函數（Weight function） $w(x) = 1$：
   $\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}$
   其中 $\delta_{mn}$ 為 Kronecker delta 函數（當 $m=n$ 時為 1，不同時為 0）。

2. 廣義傅立葉級數展開 (Generalized Fourier Series Expansion)：
   定義在 $[-1, 1]$ 上的函數 $f(x)$，其 Legendre 多項式展開式為：
   $f(x) = \sum_{n=0}^N a_n P_n(x)$
   利用正交性可得展開係數（Fourier-Legendre 係數）計算公式：
   $a_n = \frac{\int_{-1}^1 f(x) P_n(x) \, dx}{\int_{-1}^1 [P_n(x)]^2 \, dx} = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_n(x) \, dx$

3. 正交函數集的完備性 (Completeness of Orthogonal Set)：

   • 無窮集合 ($N \to \infty$)：Legendre 多項式集合 $\{P_n(x)\}_{n=0}^\infty$ 在 $L^2[-1, 1]$ 函數空間中構成完備正交集（Complete Orthogonal Set）。當 $N \to \infty$ 時，任何平方可積函數皆能以均方收斂（Mean-Square Convergence）精確表示。
   • 有限截斷 ($N = 3$)：有限集合 $\{P_0(x), \dots, P_N(x)\}$ 僅張出最高次數為 $N$ 的多項式子空間。若被展開函數 $f(x)$ 本身即為次數 $d \le N$ 之多項式，則有限項展開即可精確表示該函數（均方誤差為 0）。

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解題方法

步驟一：計算展開係數 $a_0, a_1, a_2, a_3$

已知前四項 Legendre 多項式為：

• $P_0(x) = 1$
• $P_1(x) = x$
• $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$
• $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$

目標函數 $f(x) = 3x^2 - 2x + 2$。

法一：比較係數法（快速解法）
由於 $f(x)$ 為二次多項式，可直接將 $x^2, x, 1$ 用 Legendre 多項式表示：

1. 由 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ 可得：$3x^2 = 2P_2(x) + 1 = 2P_2(x) + P_0(x)$
2. 由 $P_1(x) = x$ 可得：$x = P_1(x)$
3. 由 $P_0(x) = 1$ 可得：$1 = P_0(x)$

將上述代回 $f(x)$：
$f(x) = 3x^2 - 2x + 2 = [2P_2(x) + P_0(x)] - 2P_1(x) + 2P_0(x) = 3P_0(x) - 2P_1(x) + 2P_2(x) + 0P_3(x)$

對照 $\sum_{n=0}^N a_n P_n(x)$ 可直接得係數：

• $a_0 = 3$
• $a_1 = -2$
• $a_2 = 2$
• $a_3 = 0$
  （且對所有 $n \ge 3$，皆有 $a_n = 0$）

法二：正交積分公式法（標準推導）
利用 $a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^1 (3x^2 - 2x + 2) P_n(x) \, dx$：

1. 計算 $a_0$：
   $a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 (3x^2 - 2x + 2)(1) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x^3 - x^2 + 2x \right]_{-1}^1 = \frac{1}{2} \left[ (1 - 1 + 2) - (-1 - 1 - 2) \right] = 3$

2. 計算 $a_1$：
   $a_1 = \frac{3}{2} \int_{-1}^1 (3x^2 - 2x + 2) x \, dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^1 (3x^3 - 2x^2 + 2x) \, dx$
   奇函數 $3x^3$ 與 $2x$ 在對稱區間 $[-1, 1]$ 積分為 0：

核心觀念

本題考查**傅立葉級數（Fourier Series）**的基礎定義、函數性質與展開形式的轉換，關鍵觀念包含：

1. 週期與頻率關係：週期 $T$ 與基本角頻率 $\omega_0$（或基本頻率 $f_0$）滿足 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。
2. 函數之奇偶性（Symmetry）：
   • 偶函數（Even function）：僅含常數項 $a_0$ 與餘弦項 $a_n \cos(\omega_n t)$（$b_n = 0$）。
   • 奇函數（Odd function）：僅正弦項 $b_n \sin(\omega_n t)$（$a_0 = 0, a_n = 0$）。
   • 包含非零常數項（$a_0 \neq 0$）與奇函數正弦項之組合時，函數既非偶函數亦非奇函數。
3. 直流分量（DC Component / 平均值）：傅立葉級數的常數項 $a_0$ 即為函數在一個週期內的平均值：
   $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt$
4. 半波對稱性（Half-Wave Symmetry）：滿足 $f\left(t + \frac{T}{2}\right) = f(t)$ 的最小正週期為 $\frac{T}{2}$。若原基本週期為 $T$，則半週期移位後正弦項將產生 $(-1)^n$ 的變號現象。
5. 傅立葉級數之餘弦相位形式（Cosine-Phase Form）：
   正弦與餘弦合成公式為 $a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t) = C_n \cos(\omega_n t + \phi_n)$，其中振幅 $C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$（對 $n \ge 1$），相位角 $\phi_n = \tan^{-1}\left(-\frac{b_n}{a_n}\right)$。

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解題方法

由題意已知傅立葉係數為：

• $a_0 = 1$
• $a_n = 0 \quad (n > 0)$
• $b_n = \frac{2}{2^n} \quad (n > 0)$

將係數代回原傅立葉級數展式 Eq. (1)，可得 $f(t)$ 的明確表示式為：
$f(t) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2^n} \sin(nt)$

依據各子題要求，直接進行代數推導與定義分析。

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各子題詳細解析

(a) 求基本週期（Fundamental Period）與基本頻率（Fundamental Frequency）

• 題目明確給定基本週期 $T = 2\pi$。
• 基本角頻率 $\omega_0$（或基本弧度頻率）：
  $\omega_0 = \omega_1 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ rad/s}$
• 基本頻率 $f_0$（或循環頻率）：
  $f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \text{ Hz}$

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(b) 判斷 $f(t)$ 為偶函數、奇函數或兩者皆非

將 $-t$ 代入 $f(t)$ 的展開式中：
$f(-t) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2^n} \sin(n(-t)) = 1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2^n} \sin(nt)$

比較 $f(-t)$ 與 $f(t)$ 及 $-f(t)$：

1. $f(-t) \neq f(t)$（故非偶函數）。
2. $-f(t) = -1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2^n} \sin(nt) \neq f(-t)$（故非奇函數）。

結論：因為包含非零常數項 $a_0 = 1$（偶函數成分）與正弦級數（奇函數成分），故 $f(t)$ 既非偶函數亦非奇函數（Neither）。

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(c) 計算 $f(t)$ 在 $t \in [0, 2\pi)$ 區間上的平均值

函數在一個完整週期 $T = 2\pi$ 上的平均值定義為：
$f_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) \, dt$

將 $f(t) = 1 + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nt)$ 代入：

【題目概覽與核心觀念】

本題為國立中央大學機械工程學系碩士班丁組 111 學年度工程數學入學考試的常微分方程式（ODE）經典考題，涵蓋了研究所考試中最核心的三種 ODE 解題機制：

1. 二階常係數齊次 ODE：考驗特徵方程式根的性質與初值條件（IVP）帶入，可使用指數函數或雙曲函數形式表示。
2. 二階常係數非齊次 ODE：考驗齊次解（Homogeneous Solution）與特解（Particular Solution）的求解，可採用「未定係數法（Method of Undetermined Coefficients）」結合指數移位法則。
3. 變係數 ODE 之級數解法（Frobenius Method）：針對規則奇異點（Regular Singular Point），設定 Frobenius 函數級數，求取指標方程式（Indicial Equation）與遞迴關係式（Recurrence Relation）以建立基礎解系（Basis of Solutions）。

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【第 (a) 題 詳解】

核心觀念

本題為二階線性常係數齊次微分方程式 $y'' - k^2y = 0$ ($k \neq 0$) 之初值問題。

1. 特徵方程式（Characteristic Equation）：設 $y = e^{rt}$，代入得 $r^2 - k^2 = 0$，解出相異實根 $r = \pm k$。
2. 通解結構：
   • 指數函數形式：$y(t) = C_1 e^{kt} + C_2 e^{-kt}$
   • 雙曲函數形式：$y(t) = A \cosh(kt) + B \sinh(kt)$
3. 初值條件（Initial Conditions）：代入 $y(0) = 1$ 與 $y'(0) = 1$ 決定待定常數。

解題方法與推導

步驟一：求特徵根與齊次通解
寫出微分方程式之特徵方程式：
$r^2 - k^2 = 0 \implies (r - k)(r + k) = 0$
由於 $k \neq 0$，得兩相異實根 $r_1 = k$ 與 $r_2 = -k$。
故通解可寫為雙曲函數形式：
$y(t) = A \cosh(kt) + B \sinh(kt)$

步驟二：代入初值條件求未知常數
對 $y(t)$ 微分得：
$y'(t) = A k \sinh(kt) + B k \cosh(kt)$

代入第一個初值條件 $y(0) = 1$：
$y(0) = A \cosh(0) + B \sinh(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = 1 \implies A = 1$

代入第二個初值條件 $y'(0) = 1$：
$y'(0) = A k \sinh(0) + B k \cosh(0) = A k \cdot 0 + B k \cdot 1 = B k = 1 \implies B = \frac{1}{k}$

步驟三：寫出特解
將 $A = 1$ 與 $B = \frac{1}{k}$ 代回通解：
$y(t) = \cosh(kt) + \frac{1}{k} \sinh(kt)$

若換算為指數函數表示法：
$y(t) = \frac{e^{kt} + e^{-kt}}{2} + \frac{1}{k} \cdot \frac{e^{kt} - e^{-kt}}{2} = \left(\frac{k+1}{2k}\right) e^{kt} + \left(\frac{k-1}{2k}\right) e^{-kt}$

解題技巧與驗算

• 快速判斷：當 ODE 形式為 $y'' - k^2 y = 0$ 且邊界條件給在 $t = 0$ 時，採用雙曲函數 $\cosh(kt)$ 與 $\sinh(kt)$ 展開比指數函數 $e^{\pm kt}$ 更容易解聯立方程，因為 $\cosh(0) = 1, \sinh(0) = 0$ 能迅速讓常數獨立出來。
• 驗算：
  • $y(0) = \cosh(0) + \frac{1}{k}\sinh(0) = 1 + 0 = 1$（符合）
  • $y'(0) = k\sinh(0) + \cosh(0) = 0 + 1 = 1$（符合）

【答案】
$y(t) = \cosh(kt) + \frac{1}{k} \sinh(kt) \quad \text{或} \quad y(t) = \frac{k+1}{2k} e^{kt} + \frac{k-1}{2k} e^{-kt}$

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【第 (b) 題 詳解】

核心觀念

本題為二階非齊次常係數線性微分方程式。
註：題目原文印刷為 $y'' + 4y + 5y = e^{-t}\cos(t)$，其中 $4y$ 顯係 $4y'$ 之常見印製筆誤（若為 $4y+5y=9y$ 則項未合併，不符考題慣例）。本題依標準考試原意方程式 $y'' + 4y' + 5y = e^{-t}\cos(t)$ 進行正規推導。

1. 通解結構：$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
2. 齊次解 $y_h(t)$：求解特徵方程式 $r^2 + 4r + 5 = 0$ 之複數共軛根。
3. 特解 $y_p(t)$：外力項為 $e^{-t}\cos(t)$，非諧振項（Non-resonant），可採用未定係數法或**算子法（Operator Method）**求解。

解題方法與推導

步驟一：求齊次解 $y_h(t)$
齊次方程式為 $y'' + 4y' + 5y = 0$，其特徵方程式為：
$r^2 + 4r + 5 = 0 \implies (r + 2)^2 + 1 = 0 \implies r = -2 \pm i$
實部為 $-2$，虛部為 $1$，故齊次解為：
$y_h(t) = e^{-2t} (C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

步驟二：求特解 $y_p(t)$
右式外力項為 $r_{force} = -1 \pm i$，與齊次根 $r = -2 \pm i$ 不同，無重根現象。
設特解形式為：
$y_p(t) = e^{-t} (A \cos t + B \sin t)$

對 $y_p(t)$ 求一階與二階導函數：
$y_p'(t) = e^{-t} [(-A + B) \cos t + (-A - B) \sin t]$
$y_p''(t) = e^{-t} [-2B \cos t + 2A \sin t]$

將 $y_p, y_p', y_p''$ 代入原方程式 $y'' + 4y' + 5y = e^{-t}\cos(t)$：
$e^{-t} \left\{ [-2B + 4(-A + B) + 5A] \cos t + [2A + 4(-A - B) + 5B] \sin t \right\} = e^{-t}\cos(t)$
簡化 $\cos t$ 與 $\sin t$ 之係數：
$\cos t \text{ 係數：} (A + 2B) = 1$
$\sin t \text{ 係數：} (-2A + B) = 0$

解聯立方程：
由第二式得 $B = 2A$，代入第一式：
$A + 2(2A) = 1 \implies 5A = 1 \implies A = \frac{1}{5}, \quad B = \frac{2}{5}$

因此特解為：
$y_p(t) = e^{-t} \left( \frac{1}{5} \cos t + \frac{2}{5} \sin t \right)$

步驟三：組合通解並帶入初值條件
完整的通解為：

核心觀念

質量—彈簧—阻尼系統的運動方程為

$$my''+cy'+ky=F(t).$$

本題阻尼係數 $c=0$，因此是無阻尼受迫振動。系統的固有角頻率為

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

當外力的角頻率等於固有角頻率時，系統發生共振。

解題方法

代入 $m=0.25$、$c=0$、$k=2.25$ 及 $F(t)=\cos t-2\sin t$：

$$0.25y''+2.25y=\cos t-2\sin t.$$

兩邊除以 $0.25$，得到

$$y''+9y=4\cos t-8\sin t.$$

先求特解。設

$$y_p=A\cos t+B\sin t.$$

代入 $y''+9y$，可得

$$8A\cos t+8B\sin t=4\cos t-8\sin t,$$

所以 $A=\frac12$、$B=-1$，因此

$$y_p=\frac12\cos t-\sin t.$$

齊次解為

$$y_h=C\cos 3t+D\sin 3t.$$

通解為 $y=y_h+y_p$。使用初始條件 $y(0)=0$：

$$C+\frac12=0 \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac12.$$

再對通解微分，使用 $y'(0)=0$：

核心觀念

本題旨在考查線性代數（Linear Algebra）中**矩陣乘法（Matrix Multiplication）與線性組合（Linear Combination）**的實際應用。

1. 矩陣乘法定義：設 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，$B$ 為 $n \times p$ 矩陣，則兩矩陣相乘之結果 $C = AB$ 為 $m \times p$ 矩陣。其中第 $i$ 列第 $j$ 行之元素 $c_{ij}$ 為：
   $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$
2. 物理意義建模：本題中各運動項目的時間（小時）與消耗熱量速率（$\text{cal/hr}$）呈線性關係。透過建立 $4 \times 3$ 的運動時間矩陣與 $3 \times 1$ 的卡路里消耗速率行向量，兩者相乘即可得到包含週一、週三、週五、週六每日總消耗熱量的 $4 \times 1$ 行向量（Column Vector）。

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解題方法

步驟一：建立運動熱量消耗速率向量（$3 \times 1$）

根據題意，走路（walk）、騎腳踏車（bicycle）、慢跑（jog）每小時消耗熱量分別為 $350\text{ cal/hr}$、$500\text{ cal/hr}$ 及 $950\text{ cal/hr}$。
定義速率行向量 $\mathbf{c}$ 為：
$\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 350 \\ 500 \\ 950 \end{bmatrix}$

步驟二：建立每週運動時間矩陣（$4 \times 3$）

將週一（Mon）、週三（Wed）、週五（Fri）、週六（Sat）三種運動的時間（單位：小時）依序排列於各列（Row）：

• 週一（Mon）：$(1.0, 0, 0.5)$
• 週三（Wed）：$(1.0, 1.0, 0.5)$
• 週五（Fri）：$(1.5, 0, 0.5)$
• 週六（Sat）：$(2.0, 1.5, 1.0)$

定義時間矩陣 $\mathbf{T}$ 為：
$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1.0 & 0 & 0.5 \\ 1.0 & 1.0 & 0.5 \\ 1.5 & 0 & 0.5 \\ 2.0 & 1.5 & 1.0 \end{bmatrix}$

步驟三：計算每日熱量消耗向量 $\mathbf{V}$（$4 \times 1$）

執行矩陣乘法 $\mathbf{V} = \mathbf{T}\mathbf{c}$：
$\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1.0 & 0 & 0.5 \\ 1.0 & 1.0 & 0.5 \\ 1.5 & 0 & 0.5 \\ 2.0 & 1.5 & 1.0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 350 \\ 500 \\ 950 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題涵蓋線性代數兩大核心主題：矩陣反矩陣的高斯-喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination）及其原理與特徵值問題（Eigenvalue Problem）的幾何與代數意義。

1. 高斯-喬登消去法求反矩陣：
   對於 $n \times n$ 可逆矩陣 $A$，構造增廣矩陣 $[A \mid I]$。透過一系列基本列運算（Elementary Row Operations），將左側 $A$ 化簡為單位矩陣 $I$，此時右側的 $I$ 即被轉化為反矩陣 $A^{-1}$，亦即 $[A \mid I] \xrightarrow{\text{列運算}} [I \mid A^{-1}]$。

2. 基本列運算的代數本質：
   每一次基本列運算皆等價於左乘一個基本矩陣（Elementary Matrix）$E_k$。若存在有限個基本矩陣使得 $(E_k \cdots E_2 E_1) A = I$，根據反矩陣定義，其組合 $E_k \cdots E_2 E_1 = A^{-1}$。

3. 特徵值與特徵向量的物理／幾何意義：
   對於 $n \times n$ 矩陣 $A$，方程 $Ax = \lambda x$（$x \neq 0$）表示非零向量 $x$ 經過矩陣 $A$ 所代表的線性轉換後，其幾何方向保持平行（不發生旋轉），僅長度按純量 $\lambda$ 進行伸縮倍率轉換。此時 $\lambda$ 稱為特徵值（Eigenvalue），$x$ 稱為對應的特徵向量（Eigenvector）。

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詳細解析

(a) 以高斯-喬登消去法求解矩陣 $A$ 之反矩陣 $A^{-1}$

給定矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1/2 \\ 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

建立增廣矩陣 $[A \mid I]$：

$$[A \mid I] = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1/2 & \Big| & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1/2 & \Big| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \Big| & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

步驟一：對調第一列與第二列 ($R_1 \leftrightarrow R_2$)
使第一列的主元素（Pivot）不為零：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 & \Big| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & \Big| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \Big| & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

步驟二：利用第三列消去第一列與第二列的第三項

• 第一列減去二分之一倍的第三列：$R_1 \leftarrow R_1 - \frac{1}{2} R_3$

$$R_1: [1, 0, 0 \mid 0, 1, -1/2]$$

• 第二列減去二分之一倍的第三列：$R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2} R_3$

$$R_2: [0, 1, 0 \mid 1, 0, -1/2]$$

整理後得到簡約列梯形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）：

$$[I \mid A^{-1}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \Big| & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 & \Big| & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & \Big| & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

故矩陣 $A$ 的反矩陣為：

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1/2 \\ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

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(b) 說明高斯-喬登消去法可用於計算反矩陣之原理

高斯-喬登消去法的理論基礎可由**基本矩陣（Elementary Matrices）**進行推導：

1. 基本列運算與基本矩陣：
   對矩陣進行的每一項基本列運算（列對調、列乘純量、列加減其他列之倍數），均等價於在該矩陣左側乘上一個對應的可逆基本矩陣 $E_i$。

2. 化簡至單位矩陣：
   若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 為非奇異矩陣（可逆），則必可經過一連串（設共 $k$ 次）基本列運算化簡為單位矩陣 $I$：

   $$(E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1) A = I$$

3. 反矩陣之定義：
   依據反矩陣定義，若存在矩陣 $B$ 使得 $BA = I$，則 $B = A^{-1}$。由上式可知：

   $$A^{-1} = E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1$$

4. 同步作用於增廣矩陣：
   當我們對增廣矩陣 $[A \mid I]$ 套用相同的基本列運算序列時，等價於對兩邊同時左乘 $(E_k \cdots E_1)$：

   $$(E_k \cdots E_1) [A \mid I] = [(E_k \cdots E_1) A \;\Big|\; (E_k \cdots E_1) I] = [I \;\Big|\; A^{-1}]$$

   因此，當增廣矩陣左半部被成功化簡為 $I$ 時，右半部的單位矩陣便精確地累積轉化為 $A^{-1}$。

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(c)(i) 解釋式 (2) $Ax = \lambda x$ 之數學與幾何意義

式 (2) $Ax = \lambda x$ （其中 $x \neq 0$）為線性代數中的特徵值問題，其主要意義包含：

1. 幾何變形的不變性（Invariant Directions）：
   矩陣 $A$ 在幾何上可視為將向量轉換至新位置的線性映射（Linear Mapping）。一般而言，向量經映射後會同時改變方向與長度；但滿足 $Ax = \lambda x$ 的非零向量 $x$，經 $A$ 轉換後方向維持在同一跨度（Span）上（不發生旋轉），僅產生純量 $\lambda$ 倍的拉伸縮短。

2. 特徵值與特徵向量的定義：

   • 純量 $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalue），代表線性轉換在該特定方向上的縮放係數（$\lambda > 0$ 表示同向拉伸，$\lambda < 0$ 表示反向拉伸，$\lambda = 0$ 表示映射至零點）。

核心觀念

平面直角座標系中，點 $(x,y)$ 的位置由 $x$、$y$ 的正負決定：

• 第 I 象限：$x>0,\ y>0$
• 第 II 象限：$x<0,\ y>0$
• 第 III 象限：$x<0,\ y<0$
• 第 IV 象限：$x>0,\ y<0$
• $X$ 軸上：$y=0$ 且 $x\neq 0$
• $Y$ 軸上：$x=0$ 且 $y\neq 0$
• 原點：$x=0,\ y=0$

題目文字中的「第 VI 象限」應為「第 IV 象限」，因為平面直角座標系只有四個象限。

由於座標宣告為實數，判斷時必須使用 $>$、$<$、$=$，不能只以整數條件處理。

解題方法

判斷順序應先處理座標軸與原點，再判斷四個象限：

1. 若 $x=0$ 且 $y=0$，為原點。
2. 若 $y=0$，為 $X$ 軸上。
3. 若 $x=0$，為 $Y$ 軸上。
4. 當 $x$、$y$ 都不為零時，依正負判斷象限。

先判斷原點，是因為原點同時滿足 $x=0$ 與 $y=0$。若先判斷座標軸，會把原點誤判為位於 $X$ 軸或 $Y$ 軸上。

參考程式碼

使用語言：C++

核心觀念

1. 完全數（Perfect Number）之數學定義：
   若一正整數 $N$ 的所有真因數（Proper Divisors，即小於 $N$ 且能整除 $N$ 的所有正因數，包含 $1$）相加之和等於 $N$ 本身，則 $N$ 稱為完全數。以數學符號可表示為：
   $\sum_{d \mid N, 1 \le d < N} d = N$
   若包含 $N$ 本身，則所有因數之和為 $2N$。

2. 巢狀迴圈（Nested Loops）演算法：

   • 外層迴圈：走訪目標範圍內的每一個整數 $N \in [2, 8888]$。
   • 內層迴圈：搜尋該整數 $N$ 的所有真因數，並進行累加。

3. 題目限制：

   • 變數全數必須宣告為整數型別（Integer）。
   • 需在答案卷明確標示所採用的程式語言（可選 C、C++、Visual Basic、Fortran）。

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解題方法

本題採用 C 語言 進行撰寫。

切入點與邏輯步驟

1. 變數宣告：

   • num：整數型別，作為外層迴圈變數，代表目前正在檢驗的數字（從 $2$ 至 $8888$）。
   • i：整數型別，作為內層迴圈變數，代表可能的因數（從 $1$ 至 $num / 2$）。
   • sum：整數型別，用以累加 num 的所有真因數。

2. 範圍縮減優化：
   一個整數 $N$ 除其自身外，最大的真因數絕不可能超過 $\lfloor N / 2 \rfloor$。因此內層迴圈的搜尋邊界只需設定至 num / 2，可將計算量減少一半。

3. 檢查與輸出：
   對於每個 num，當內層迴圈結束後，若 sum == num，代表該數符合完全數定義，立即印出於螢幕。

完整程式碼（C 語言）