108 年 國立中央大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學及熱傳學》

核心觀念

本題考查：

1. 連續方程式：穩態、不可壓縮流體滿足
   $Q=A V$
2. 伯努力方程式：忽略摩擦損失，且管路水平。
3. 線動量方程式：利用控制體分析水流對擴散器及螺栓的作用力。

依圖示，擴散器出口直接排至大氣，因此取出口表壓 $p_2=0$。

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解題方法

設管內截面為 $1$，擴散器出口為 $2$。

已知：

$$\rho=1000\ \text{kg/m}^3,\qquad Q=0.15\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$D_1=0.20\ \text{m},\qquad D_2=0.30\ \text{m}$$

(a) 管內及擴散器出口流速

截面積為

$$A_1=\frac{\pi D_1^2}{4} =\frac{\pi(0.20)^2}{4} =0.031416\ \text{m}^2$$ $$A_2=\frac{\pi D_2^2}{4} =\frac{\pi(0.30)^2}{4} =0.070686\ \text{m}^2$$

由連續方程式：

$$V_1=\frac{Q}{A_1} =\frac{0.15}{0.031416} =4.77\ \text{m/s}$$ $$V_2=\frac{Q}{A_2} =\frac{0.15}{0.070686} =2.12\ \text{m/s}$$

因此，

$$\boxed{V_1=4.77\ \text{m/s}}$$ $$\boxed{V_2=2.12\ \text{m/s}}$$

流動方向皆由左向右。

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(b) 螺栓所承受的水流作用力

1. 求擴散器入口壓力

對截面 $1$ 與 $2$ 使用伯努力方程式。由於管路水平且忽略摩擦損失：

$$\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}$$

取表壓 $p_2=0$，因此

$$p_1=\frac{\rho}{2}\left(V_2^2-V_1^2\right)$$

代入數值：

核心觀念

本題考查：

1. 以 Buckingham $\Pi$ 定理進行流體力學的因次分析。
2. Darcy 摩擦因子 $f$ 的定義。
3. Reynolds number $Re$ 與相對粗糙度 $\epsilon/D$。
4. Darcy–Weisbach 公式計算管內主要水頭損失。

Darcy 摩擦因子定義為

$$f=\frac{8\tau_w}{\rho V^2}$$

其中 $\tau_w$ 為管壁剪應力，$\rho$ 為流體密度，$V$ 為截面平均流速。

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（a）因次分析

1. 決定影響變數

對穩態、不可壓縮、牛頓流體在長直圓管內的流動，壁面剪應力可表示為

$$\tau_w=\Phi(\rho,\mu,V,D,\epsilon)$$

各變數的基本因次如下：

變數	意義	因次
$\tau_w$	壁面剪應力	$ML^{-1}T^{-2}$
$\rho$	密度	$ML^{-3}$
$\mu$	動黏度	$ML^{-1}T^{-1}$
$V$	平均流速	$LT^{-1}$
$D$	管徑	$L$
$\epsilon$	平均粗糙高度	$L$

共有 $6$ 個變數、$3$ 個基本因次，因此可形成 $6-3=3$ 個無因次群。

2. 形成無因次參數

選取 $\rho,V,D$ 作為重複變數，可得到：

壁面剪應力無因次群

$$\Pi_1=\frac{\tau_w}{\rho V^2}$$

因為

$$[\rho V^2] = \frac{M}{L^3}\left(\frac{L}{T}\right)^2 = ML^{-1}T^{-2}$$

與 $\tau_w$ 具有相同因次。

Reynolds number

$$\Pi_2=\frac{\rho VD}{\mu} =Re$$

相對粗糙度

$$\Pi_3=\frac{\epsilon}{D}$$

因此

$$\frac{\tau_w}{\rho V^2} = \Phi\left(Re,\frac{\epsilon}{D}\right)$$

將摩擦因子定義為

$$f=\frac{8\tau_w}{\rho V^2}$$

可將常數 $8$ 吸收到函數定義中，得到

$$\boxed{ f=\Phi\left(Re,\frac{\epsilon}{D}\right) }$$

這表示 Darcy 摩擦因子主要由 Reynolds number 與相對粗糙度決定。

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（b）Reynolds number

已知

$$\rho=1.23\ \text{kg/m}^3$$ $$V=50\ \text{m/s}$$ $$D=4.0\ \text{mm}=4.0\times10^{-3}\ \text{m}$$ $$\mu=1.79\times10^{-5}\ \text{N}\cdot\text{s/m}^2$$

Reynolds number 為

$$Re=\frac{\rho VD}{\mu}$$

代入：

$$Re = \frac{(1.23)(50)(4.0\times10^{-3})} {1.79\times10^{-5}}$$

核心觀念

本題考查具有空間分布熱源（本題為熱匯）的平面壁一維穩態熱傳導。主要使用：

• 一維穩態熱傳導方程式
• Fourier 熱傳導定律
• 兩側表面具有相同溫度時的對稱性
• 熱通量方向與溫度梯度的關係

原題寫作 $q=-\cos(\pi x/2L)$，因熱源項必須具有單位，以下定義熱匯分布為

$$\dot q'''(x)=-q_0\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right), \qquad q_0>0,$$

其中 $q_0$ 為熱匯強度。若依原題採無因次化表示，令 $q_0=1$ 即可。

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解題方法與假設

考慮厚度為 $2L$ 的平面壁，取中央為 $x=0$，兩側表面分別為 $x=-L$ 與 $x=L$，且

$$T(-L)=T(L)=T_s.$$

假設：

1. 穩態傳導，無時間變化。
2. 一維熱傳導，溫度僅為 $x$ 的函數。
3. 導熱係數 $k$ 為常數。
4. 壁內無流體流動與對流。
5. 熱匯分布為 $\dot q'''(x)=-q_0\cos(\pi x/2L)$。
6. 兩側表面溫度相同，因此溫度分布關於 $x=0$ 對稱。

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(a) 溫度分布與熱通量

1. 求溫度分布

一維穩態熱傳導方程式為

$$\frac{d}{dx}\left(k\frac{dT}{dx}\right)+\dot q'''(x)=0.$$

因 $k$ 為常數，

$$k\frac{d^2T}{dx^2} -q_0\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)=0.$$

因此

$$\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{q_0}{k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right).$$

第一次積分得

$$\frac{dT}{dx} = \frac{2Lq_0}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)+C_1.$$

由對稱性，中央位置的溫度梯度為零：

$$\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0,$$

故 $C_1=0$。

再次積分：

$$T(x) = -\frac{4L^2q_0}{\pi^2k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)+C_2.$$

在 $x=L$ 處，因 $\cos(\pi/2)=0$，且 $T(L)=T_s$，可得 $C_2=T_s$。所以溫度分布為

$$\boxed{ T(x)=T_s- \frac{4L^2q_0}{\pi^2k} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) }$$

其中

$$-L\le x\le L.$$

中央最低溫度為

$$T(0)=T_s-\frac{4L^2q_0}{\pi^2k},$$

兩側表面溫度皆為 $T_s$。

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2. 求熱通量

依 Fourier 定律，

$$q_x''=-k\frac{dT}{dx}.$$

代入溫度梯度：

本題考驗熱輻射的原理，以及如何應用集總參數法 (Lumped Capacitance Method) 來分析太空人身體溫度的演變。

核心觀念：

1. 熱輻射定律 (Radiation Heat Transfer Laws)：特別是史蒂芬-波茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)。
2. 能量守恆 (Energy Conservation)：對於集總參數系統，身體吸收的淨熱量等於身體儲存的熱量變化率。
3. 集總參數法 (Lumped Capacitance Method)：適用於物體內部導熱阻力遠小於外部傳熱阻力的情況，物體內部溫度均勻。

解題步驟：

情境分析：
太空人在外太空，沒有大氣，因此沒有對流傳熱。熱傳主要透過輻射進行。太空人會吸收來自太陽或其他天體的輻射，同時也會將自身的熱量以輻射形式散發出去。

假設 (Assumptions)：

1. 集總參數法適用性：太空人身體的內部導熱係數非常高，或者身體尺寸相對較小，使得身體內部的溫度梯度可以忽略不計。身體被視為一個均勻溫度的物體。
2. 輻射模型：
   • 太空人身體視為一個黑體 (blackbody)，或有一個均勻的表面總輻射率 $\epsilon_s$。
   • 來自太陽或其他天體的入射輻射是均勻且恆定的，其總輻射通量為 $G_{in}$ (例如太陽常數 $G_{solar}$)。
   • 太空人身體的表面總輻射率為 $\epsilon_s$，並向外輻射。
   • 忽略其他複雜的輻射因素，如太空的背景輻射溫度。
3. 其他傳熱模式忽略：沒有對流，也沒有內部產生熱量 (例如代謝作用，除非題目要求考慮)。題目描述「no convection」，並未提及內部熱源，因此我們假設只有輻射。
4. 熱容率恆定：太空人身體的熱容率 $C$ 為常數。

建立能量守恆方程：
根據集總參數法，物體的能量變化率等於淨進入物體的熱量。
$\frac{dQ_{in}}{dt} = \dot{m} c_p \frac{dT}{dt} = C \frac{dT}{dt}$
其中 $C = \dot{m} c_p$ 是總熱容。

淨進入身體的熱量 $Q_{in}$ 來自於吸收的入射輻射和散發的自身輻射。
吸收的輻射：$Q_{absorbed} = G_{in} A_s$，其中 $A_s$ 是太空人的表面積。
散發的輻射：$Q_{emitted} = \epsilon_s \sigma A_s T_s^4$，其中 $\sigma$ 是史蒂芬-波茲曼常數， $T_s$ 是太空人的表面溫度 (絕對溫度，單位 K)。

淨熱量進入身體的速率為：
$\dot{Q}_{net} = Q_{absorbed} - Q_{emitted} = G_{in} A_s - \epsilon_s \sigma A_s T_s^4$

根據能量守恆：
$C \frac{dT_s}{dt} = G_{in} A_s - \epsilon_s \sigma A_s T_s^4$

這就是太空人體溫演變的微分方程。

求解微分方程：
$\frac{dT_s}{dt} = \frac{A_s}{C} (G_{in} - \epsilon_s \sigma T_s^4)$
$\frac{dT_s}{dt} = \frac{A_s \epsilon_s \sigma}{C} (\frac{G_{in}}{\epsilon_s \sigma} - T_s^4)$

令 $\tau = \frac{C}{A_s \epsilon_s \sigma}$ (時間常數)，令 $T_{surr} = (\frac{G_{in}}{\epsilon_s \sigma})^{1/4}$ (假設的等效周圍溫度，如果 $G_{in}$ 代表來自某個溫度為 $T_{surr}$ 的物體的輻射)。
則方程變為：
$\frac{dT_s}{dt} = \frac{1}{\tau} (\frac{T_{surr}^4 \epsilon_s \sigma}{\epsilon_s \sigma} - T_s^4) = \frac{1}{\tau} (T_{surr}^4 - T_s^4)$

這是一個非線性的微分方程，形式為 $\frac{dT}{dt} = K(T_{eq}^4 - T^4)$。
這個方程通常沒有簡單的解析解，除非做進一步近似。

近似處理：

1. 假設 $T_s \ll T_{surr}$ (例如，太空人剛進入太空，體溫較低，或吸收的輻射很強)：
   此時 $T_s^4$ 項相對較小，可以忽略。
   $\frac{dT_s}{dt} \approx \frac{1}{\tau} T_{surr}^4$
   $\frac{dT_s}{dt} \approx \frac{A_s G_{in}}{C}$ (常數)
   積分得：$T_s(t) = T_s(0) + \frac{A_s G_{in}}{C} t$。
   這表示溫度線性增加。

2. 假設 $T_s$ 變化不大，可以用線性近似：
   對於輻射傳熱，通常採用線性近似：$Q_{rad} = h_r A_s (T_s - T_{surr})$，其中 $h_r = \epsilon_s \sigma (T_s + T_{surr})(T_s^2 + T_{surr}^2)$。
   如果 $T_s \approx T_{surr}$，則 $h_r \approx 4 \epsilon_s \sigma T_{surr}^3$。
   方程變為：$C \frac{dT_s}{dt} = h_r A_s (T_{surr} - T_s)$
   $\frac{dT_s}{dt} = \frac{h_r A_s}{C} (T_{surr} - T_s)$
   這是一個標準的一階線性微分方程，形式為 $\frac{dT}{dt} = -\alpha (T - T_{eq})$。
   其解為：$T_s(t) = T_{surr} + (T_s(0) - T_{surr}) e^{-\alpha t}$，其中 $\alpha = \frac{h_r A_s}{C}$。
   這表示溫度指數級地趨近於 $T_{surr}$。

考慮實際情況：
在太空中，太空人身體會維持一定的溫度（例如人體正常體溫 37°C 或 310 K），同時也會吸收太陽輻射。
假設太空人剛進入太空，初始溫度為 $T_0$。

核心觀念

本題分為兩部分：

1. 利用固定流量下的尺度分析，判斷管內流動之 $c_f$、$Nu$ 與 $h_x$ 對管徑 $d$ 的次方關係。
2. 利用平板外部流動的局部與平均 Nusselt 數，計算局部熱傳係數及整板總熱傳率。

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(1) 管內流動的尺度關係

流量固定時，

$$\dot{m}=\rho V A$$

圓管截面積 $A\propto d^2$，因此平均速度為

$$V\propto d^{-2}$$

雷諾數

$$Re=\frac{\rho Vd}{\mu}$$

所以

$$Re\propto d^{-1}$$

層流

圓管層流的摩擦係數滿足

$$c_f\propto Re^{-1}$$

因此

$$c_f\propto d^1$$

故

$$n_1=1$$

充分發展層流且管壁溫度固定時，$Nu$ 為常數，因此

$$Nu\propto d^0$$

故

$$n_3=0$$

由

$$Nu=\frac{h_xd}{k}$$

可得

$$h_x\propto \frac{Nu}{d}\propto d^{-1}$$

故

$$n_2=-1$$

紊流

紊流管內流動可採用 Blasius 關係：

$$c_f\propto Re^{-1/4}$$

由 $Re\propto d^{-1}$，

$$c_f\propto (d^{-1})^{-1/4}=d^{1/4}$$

故

$$n_4=\frac14$$

紊流熱傳關係可寫成

$$Nu\propto Re^{4/5}$$

因此

$$Nu\propto (d^{-1})^{4/5}=d^{-4/5}$$

故

$$n_5=-\frac45$$

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(2) 平板外部流動

解題方法與物性選取

空氣流過溫度固定為 $350\ \mathrm{K}$ 的加熱平板，應以膜溫評估物性：

$$T_f=\frac{T_\infty+T_w}{2} =\frac{300+350}{2}=325\ \mathrm{K}$$

由表中 $300\ \mathrm{K}$ 與 $350\ \mathrm{K}$ 線性內插：

$$\rho=1.0782\ \mathrm{kg/m^3}$$ $$\mu=19.64\times10^{-6}\ \mathrm{N\,s/m^2}$$ $$k=0.02815\ \mathrm{W/(m\,K)}$$ $$Pr=0.7035$$

平板長度方向速度為 $U_\infty=4.0\ \mathrm{m/s}$。

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(2a) 中點的局部熱傳係數

中點位置為

$$x=1.0\ \mathrm{m}$$

先計算當地雷諾數：

$$Re_x=\frac{\rho U_\infty x}{\mu}$$ $$Re_x =\frac{(1.0782)(4.0)(1.0)} {19.64\times10^{-6}} \approx 2.20\times10^5$$

因為 $Re_x<5\times10^5$，流動仍屬層流，使用局部層流平板關係式：