108 年 國立中央警察大學水上警察研究所海洋科技組《數學》

此題在考驗對矩陣運算的性質理解，特別是關於矩陣方程式的解。推導過程中有一個關鍵的錯誤，即從 $AB=0$ 不能直接推論出 $A=0$ 或 $B=0$。

步驟分析與說明：

（一）$A^2 - 4A = 0$

• 數學根據： 這是從給定的條件 $A^2 = 4A$ 透過移項得到的。等號兩邊同時減去 $4A$ 是合法的矩陣運算。

（二）$A(A - 4I) = 0$，其中 $I$ 為單位矩陣。

• 數學根據： 這是利用矩陣的分配律（左分配律）將 $A^2 - 4A$ 進行因式分解。由於 $4A = 4AI$，因此 $A^2 - 4AI = A(A - 4I)$。此步驟是正確的。

（三）$A - 4I = 0$

• 數學根據： 此步驟是從 $A(A - 4I) = 0$ 推導而來。然而，這一步驟是錯誤的。
• 原因： 一般來說，對於實數，若 $ab = 0$，則必有 $a=0$ 或 $b=0$。但是，對於矩陣，若 $AB = 0$，不能直接推論出 $A=0$ 或 $B=0$。例如，非零矩陣 $A$ 和非零矩陣 $B$ 的乘積也可能為零矩陣（稱為零因子）。
  在此例中，$A(A - 4I) = 0$ 僅表示 $A$ 是矩陣 $A - 4I$ 的左零化子，或 $A - 4I$ 是矩陣 $A$ 的右零化子。它不能保證 $A=0$ 或 $A - 4I = 0$。

（四）得唯一解 $A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

• 數學根據： 此步驟是假設（三）正確，即 $A - 4I = 0$，進而得到 $A = 4I = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$。

核心觀念

本題考查：

• 常數函數的不定積分。
• 指數函數的積分公式：
  $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\qquad a>0,\ a\ne1。$
• 隱函數微分：對含有 $x,y$ 的方程式兩邊同時對 $x$ 微分，並將 $\frac{dy}{dx}$ 解出。
• 不定積分必須加上任意常數 $C$。

解題方法

（一）$\int 0\,dx$

由於 $0$ 的原函數為任意常數，因此

$$\int 0\,dx=C。$$

（二）$\int 2^x\,dx$

利用指數函數積分公式

$$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C。$$

令 $a=2$，得到

$$\int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C。$$

驗算：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln2}\right) =\frac{1}{\ln2}\cdot 2^x\ln2 =2^x。$$

（三）求 $\dfrac{dy}{dx}$，其中 $xy=e^x$

對方程式兩邊同時對 $x$ 微分。左側使用乘積法則：

$$\frac{d}{dx}(xy) =x\frac{dy}{dx}+y\frac{dx}{dx} =x\frac{dy}{dx}+y。$$

右側為

$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x。$$

因此

$$x\frac{dy}{dx}+y=e^x。$$

移項並除以 $x$：

$$x\frac{dy}{dx}=e^x-y,$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-y}{x}.$$

形式上代入題目指定的座標 $(2,0)$：

本題包含極限計算、瑕積分計算、不定積分計算以及矩陣的正交性證明與特徵值求解。

（一）計算下列各題

1. $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\tan 7x}$

• 核心觀念： 極限的代數運算、三角函數極限的性質 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$。
• 詳解：
  我們知道 $\tan 7x = \frac{\sin 7x}{\cos 7x}$。
  $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\tan 7x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\frac{\sin 7x}{\cos 7x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cos 7x}{\sin 7x}$
  為了使用 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ 的性質，我們需要湊出 $\frac{\sin 7x}{7x}$ 的形式。
  $\lim_{x \to 0} \frac{2x \cos 7x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2x}{\sin 7x} \cdot \cos 7x \right)$
  $= \lim_{x \to 0} \left( \frac{2x}{7x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x} \cdot \cos 7x \right)$
  $= \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{7} \cdot \frac{7x}{\sin 7x} \cdot \cos 7x \right)$
  當 $x \to 0$ 時，$7x \to 0$。因此，$\lim_{x \to 0} \frac{7x}{\sin 7x} = 1$。
  同時，$\lim_{x \to 0} \cos 7x = \cos(0) = 1$。
  所以，極限值為：
  $\frac{2}{7} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{7}$
• 【答案】$\frac{2}{7}$

2. $\int_0^1 (\ln x)^2 x^{-1} \, dx$

• 核心觀念： 瑕積分（積分區間的端點函數值不存在或趨近無限大）、積分換元法。
• 詳解：
  此積分是一個瑕積分，因為當 $x \to 0^+$ 時，$\ln x \to -\infty$，所以 $(\ln x)^2 \to \infty$。
  我們需要使用極限定義來計算：
  $\int_0^1 (\ln x)^2 x^{-1} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 (\ln x)^2 \frac{1}{x} \, dx$
  我們先計算不定積分 $\int (\ln x)^2 \frac{1}{x} \, dx$。
  令 $u = \ln x$，則 $du = \frac{1}{x} \, dx$。
  $\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C$
  將 $u = \ln x$ 代回：
  $\int (\ln x)^2 \frac{1}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$
  現在計算定積分（瑕積分）：
  $\lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} \right]_a^1$
  $= \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} - \frac{(\ln a)^3}{3} \right)$
  $= \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{0^3}{3} - \frac{(\ln a)^3}{3} \right)$
  $= \lim_{a \to 0^+} \left( 0 - \frac{(\ln a)^3}{3} \right)$
  當 $a \to 0^+$ 時，$\ln a \to -\infty$。因此 $(\ln a)^3 \to -\infty$。
  所以，$-\frac{(\ln a)^3}{3} \to - \frac{-\infty}{3} = +\infty$。
  由於極限值為無限大，此瑕積分發散。
• 【答案】積分發散 (Diverges)

3. $\int x \ln x \, dx$

• 核心觀念： 分部積分法。
• 詳解：
  分部積分法公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
  我們選擇 $u = \ln x$ (因為其微分較簡單) 和 $dv = x \, dx$。
  則 $du = \frac{1}{x} \, dx$ 且 $v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$。
  套用公式：
  $\int x \ln x \, dx = (\ln x) \left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \left(\frac{x^2}{2}\right) \left(\frac{1}{x}\right) \, dx$
  $= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx$
  $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$
  $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \left(\frac{x^2}{2}\right) + C$
  $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$
• 【答案】$\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$

（二）證明下列矩陣為正交矩陣，並求出其特徵值。

矩陣： $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• 核心觀念： 正交矩陣的定義、特徵值與特徵向量的定義。

• 詳解：

  1. 證明 $A$ 為正交矩陣：
  一個矩陣 $A$ 是正交矩陣，若且唯若其轉置矩陣 $A^T$ 等於其逆矩陣 $A^{-1}$，即 $A^T A = I$ (或 $AA^T = I$)。
  首先計算 $A$ 的轉置矩陣 $A^T$：
  $A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
  接著計算 $A^T A$：
  $A^T A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

本題主要考驗基本微分計算，以及對微分方程式和變化率概念的應用。

（一）求下列各題之導函數 $\frac{dy}{dx}$

1. $y = 2e^{-x} + e^{3x}$

• 核心觀念： 指數函數微分、連鎖律。
• 詳解：
  我們需要對 $y$ 對 $x$ 微分。
  $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2e^{-x} + e^{3x})$
  利用微分的線性性質：
  $\frac{dy}{dx} = 2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) + \frac{d}{dx}(e^{3x})$
  使用連鎖律 $\frac{d}{dx}(e^{u}) = e^u \frac{du}{dx}$：
  對於 $2e^{-x}$，令 $u = -x$，則 $\frac{du}{dx} = -1$。
  $2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2 (e^{-x} \cdot (-1)) = -2e^{-x}$
  對於 $e^{3x}$，令 $u = 3x$，則 $\frac{du}{dx} = 3$。
  $\frac{d}{dx}(e^{3x}) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
  將兩部分加起來：
  $\frac{dy}{dx} = -2e^{-x} + 3e^{3x}$
• 【答案】$-2e^{-x} + 3e^{3x}$

2. $y = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} x^2 - x$

• 核心觀念： 多項式微分、冪次法則。
• 詳解：
  首先，化簡 $y$ 的表達式：
  $y = \frac{x^2}{2} - \frac{3x^2}{2} - x = \frac{1-3}{2} x^2 - x = \frac{-2}{2} x^2 - x = -x^2 - x$
  現在對化簡後的 $y$ 微分：
  $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^2 - x)$
  利用微分的線性性質和冪次法則 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$：
  $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^2) - \frac{d}{dx}(x)$
  $= -(2x^{2-1}) - (1x^{1-1})$
  $= -2x - 1x^0$
  $= -2x - 1$
• 【答案】$-2x - 1$

（二）魚種數量的變化百分率與變化情形

• 核心觀念： 變化百分率的定義、微分方程式的分析（邏輯斯諦模型）。
• 詳解：