109 年 國立中央警察大學水上警察研究所海洋科技組《數學》

核心觀念

本題要求計算

$$I=\int \sqrt{x}\sqrt{x-1}\,dx =\int\sqrt{x(x-1)}\,dx.$$

主要使用：

1. 完全平方：

$$x(x-1)=x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14。$$

2. 標準積分公式：

$$\int\sqrt{t^2-a^2}\,dt = \frac12\left[t\sqrt{t^2-a^2} -a^2\ln\left|t+\sqrt{t^2-a^2}\right|\right]+C。$$

3. 分部積分公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du。$$

實數範圍下，原被積分式要求 $x(x-1)\geq 0$，因此定義域為 $x\leq 0$ 或 $x\geq 1$。

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（一）以變數變換法求之

題目指定令

$$u=x+1，$$

因此

$$x=u-1,\qquad dx=du。$$

被積分式變為

$$\sqrt{x(x-1)} = \sqrt{(u-1)(u-2)} = \sqrt{u^2-3u+2}.$$

完成平方：

$$u^2-3u+2 = \left(u-\frac32\right)^2-\frac14。$$

再令

$$t=u-\frac32，$$

則

$$dt=du,\qquad u^2-3u+2=t^2-\frac14。$$

所以

$$I=\int\sqrt{t^2-\frac14}\,dt。$$

套用標準公式，其中 $a^2=\frac14$：

$$I = \frac12\left[ t\sqrt{t^2-\frac14} -\frac14\ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac14}\right| \right]+C。$$

代回 $t=u-\frac32$，並利用 $u=x+1$：

$$t=x-\frac12，$$

且

$$\sqrt{t^2-\frac14} = \sqrt{x(x-1)}。$$

因此

$$\boxed{ I= \frac12\left(x-\frac12\right)\sqrt{x(x-1)} -\frac18\ln\left| x-\frac12+\sqrt{x(x-1)} \right|+C }$$

亦可寫成

$$\boxed{ I= \frac{2x-1}{4}\sqrt{x(x-1)} -\frac18\ln\left| x-\frac12+\sqrt{x(x-1)} \right|+C }。$$

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（二）以分部積分法求之

令

$$R=\sqrt{x(x-1)}。$$

原積分為

$$I=\int R\,dx。$$

取

$$u=R,\qquad dv=dx，$$

則

$$v=x。$$

又因為

$$R=\sqrt{x^2-x}，$$

所以

$$du = \frac{2x-1}{2\sqrt{x(x-1)}}\,dx = \frac{2x-1}{2R}\,dx。$$

由分部積分公式：

$$I=xR-\frac12\int\frac{x(2x-1)}{R}\,dx。$$

注意到

$$x(2x-1)=2x^2-x =2x(x-1)+x，$$

因此

$$I = xR-\int R\,dx-\frac12\int\frac{x}{R}\,dx。$$

由於 $\int R\,dx=I$，可得

本題考驗基本微分、積分公式以及極限的計算。

核心觀念：指數函數微分、不定積分基本公式、不定積分計算、重要極限。

(一) $\frac{d}{dx}(2^x)$
這是指數函數的微分，其公式為 $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$。
令 $a=2$，則 $\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2$。

(二) $\frac{d}{dx}(e^x)$
這是自然指數函數的微分，其公式為 $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$。

(三) $\int 0 \, dx$
不定積分的性質：$\int c \, dx = cx + C$，其中 $c$ 為常數。
令 $c=0$，則 $\int 0 \, dx = 0 \cdot x + C = C$。

(四) $\int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, dx$
此積分可使用變數換元法。
令 $u = \ln x$。
則 $du = \frac{1}{x} \, dx$。
積分式變為 $\int \sin(u) \, du$。
$\int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C$。
將 $u = \ln x$ 代回，得 $-\cos(\ln x) + C$。

本題包含極限計算、不定積分計算以及函數的極值問題。

核心觀念：極限性質、不定積分計算、分部積分法、函數極值（臨界點與端點）。

(一) 計算下列各題。

1. $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 4x}{x}$
   這是極限的計算。分子 $\sin 4x$ 的值介於 -1 和 1 之間，即 $-1 \le \sin 4x \le 1$。
   當 $x \to \infty$ 時，分母 $x \to \infty$。
   因此，我們有 $\frac{-1}{x} \le \frac{\sin 4x}{x} \le \frac{1}{x}$。
   根據夾擠定理 (Squeeze Theorem)，由於 $\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x} = 0$ 且 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$，
   所以 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 4x}{x} = 0$。

2. $\int \frac{x^{e+1}}{x} \, dx$
   首先，簡化被積函數：$\frac{x^{e+1}}{x} = x^{(e+1)-1} = x^e$。
   然後計算積分：
   $\int x^e \, dx$
   這是冪函數的積分，公式為 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (當 $n \ne -1$)。
   在這裡，$n = e$。
   所以，$\int x^e \, dx = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$。

3. $\int x^2 e^{-x} \, dx$
   這是一個分部積分的題目，需要進行兩次。
   分部積分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。

第一次分部積分：
令 $u = x^2$，則 $du = 2x \, dx$。
令 $dv = e^{-x} \, dx$，則 $v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$。
$\int x^2 e^{-x} \, dx = x^2 (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2x \, dx)$
$= -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} \, dx$。

第二次分部積分 (針對 $\int x e^{-x} \, dx$)：
令 $u = x$，則 $du = dx$。
令 $dv = e^{-x} \, dx$，則 $v = -e^{-x}$。
$\int x e^{-x} \, dx = x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \, dx$
$= -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx$
$= -x e^{-x} - e^{-x}$。

將第二次的結果代回第一次：
$\int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-x e^{-x} - e^{-x}) + C$
$= -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$

本題包含極限計算、不定積分計算以及區域面積計算。

核心觀念：極限計算（合併分數、L'Hôpital 法則）、變數換元積分法、分部積分法、曲線下面積計算。

(一) 計算下列各題。

1. $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x\sqrt{1+x}} - \frac{1}{x} \right)$
   首先，合併兩個分數，找出公分母：
   $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x\sqrt{1+x}} - \frac{\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}} \right)$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}$。
   當 $x \to 0$ 時，分子 $1 - \sqrt{1+0} = 1 - 1 = 0$。
   分母 $0 \cdot \sqrt{1+0} = 0$。
   這是一個 $0/0$ 型的未定式，我們可以使用 L'Hôpital 法則，或者利用共軛式來處理。

方法一：使用共軛式
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1 + \sqrt{1+x}}{1 + \sqrt{1+x}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1^2 - (1+x)}{x\sqrt{1+x}(1 + \sqrt{1+x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - 1 - x}{x\sqrt{1+x}(1 + \sqrt{1+x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x\sqrt{1+x}(1 + \sqrt{1+x})}$
消去 $x$：
$= \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{1+x}(1 + \sqrt{1+x})}$
代入 $x=0$：
$= \frac{-1}{\sqrt{1+0}(1 + \sqrt{1+0})} = \frac{-1}{1(1+1)} = \frac{-1}{2}$。

方法二：使用 L'Hôpital 法則
令 $f(x) = 1 - \sqrt{1+x}$， $g(x) = x\sqrt{1+x} = x(1+x)^{1/2}$。
$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$。
$g'(x) = 1 \cdot (1+x)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$
$g'(x) = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}$。
$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}}{\sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}}}$
代入 $x=0$：
$= \frac{-\frac{1}{2}(1+0)^{-1/2}}{\sqrt{1+0} + \frac{0}{2\sqrt{1+0}}} = \frac{-1/2}{1+0} = -\frac{1}{2}$。
兩種方法結果一致。

2. $\int \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$
   這是變數換元法的積分。
   令 $u = -\sqrt{x}$。
   則 $du = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$。