109 年 國立成功大學地球科學研究所甲組《應用數學》

此題要求計算週期函數 $f(x)$ 的傅立葉級數。函數定義在區間 $(-2, 2)$ 上，且週期為 $T = 4$。
首先，我們計算傅立葉級數的係數 $a_0$, $a_n$, $b_n$。

週期 $T = 4$，因此 $\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。
傅立葉級數的積分範圍取一個週期，例如 $[-2, 2]$。

$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} f(x) dx$
由於 $f(x)$ 是奇函數（$f(-x) = -f(x)$），因此在對稱區間上的積分為 0。
$a_0 = \frac{1}{4} \left( \int_{-2}^{0} (-k) dx + \int_{0}^{2} k dx \right) = \frac{1}{4} \left( [-kx]_{-2}^{0} + [kx]_{0}^{2} \right)$
$a_0 = \frac{1}{4} \left( -(0 - (-k)(-2)) + (k(2) - 0) \right) = \frac{1}{4} \left( -(-2k) + 2k \right) = \frac{1}{4} (2k + 2k) = \frac{4k}{4} = k$
修正： 仔細檢查函數 $f(x)$。
$f(x) = -k$ for $-2 < x < 0$
$f(x) = k$ for $0 < x < 2$
$f(-x) = -k$ if $0 < -x < 2 \implies -2 < x < 0$
$f(-x) = k$ if $-2 < -x < 0 \implies 0 < x < 2$
所以 $f(-x) = -f(x)$，函數為奇函數。

因此，$a_0 = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$。

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{T/2}\right) dx = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx$
由於 $f(x)$ 是奇函數，$\cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)$ 是偶函數，奇函數乘以偶函數是奇函數。對稱區間上的積分為 0。
所以，$a_n = 0$ for all $n \ge 1$。

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{T/2}\right) dx = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx$

核心觀念

一維波動方程式為

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

其特徵在於：波形可以以速度 $c$ 沿著 $x$ 軸正向或負向平移而不變形。因此，行波解應表示為

$$u(x,t)=F(x-ct) \quad\text{或}\quad u(x,t)=G(x+ct),$$

其中 $F$ 與 $G$ 是任意二次可微函數。

更一般的解是兩個方向行波的疊加：

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

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解題方法：變數代換

令

$$\xi=x-ct,\qquad \eta=x+ct,$$

並將 $u(x,t)$ 改寫成

$$u(x,t)=U(\xi,\eta).$$

由鏈鎖律，

$$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta},$$

因此

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}.$$

同理，

$$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \eta} = -c\frac{\partial}{\partial \xi} +c\frac{\partial}{\partial \eta},$$

所以

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\right).$$

代入波動方程式：

$$c^2\left(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\right) = c^2\left(U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\right).$$

消去兩側相同項，可得

$$-2U_{\xi\eta}=2U_{\xi\eta},$$

故

$$U_{\xi\eta}=0.$$

對 $\xi$ 積分一次：

核心觀念

本題考查：

1. 週期函數的 Fourier 級數展開。
2. 二階線性常係數微分方程。
3. RLC 電路的穩態週期響應與暫態響應。

依題目給定，取

$$L=1,\qquad R=0.05=\frac1{20},\qquad \frac1C=25.$$

因此微分方程為

$$I''+\frac1{20}I'+25I=E'(t).$$

題目沒有給定 $I(0)$、$I'(0)$，所以嚴格而言無法唯一決定完整的 $I(t)$；以下求物理上通常要求的「週期穩態電流」，並於最後補上一般暫態解。

解題方法：先展開 $E'(t)$

令

$$f(t)=E'(t)= \begin{cases} t+\dfrac{\pi}{2},&-\pi<t<0,\\[4pt] -t+\dfrac{\pi}{2},&0<t<\pi, \end{cases}$$

且 $f(t+2\pi)=f(t)$。

此函數為偶函數，因此 Fourier 級數只有 cosine 項：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt.$$

平均值為零：

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt=0.$$

而

$$\begin{aligned} a_n &=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt\\ &=\frac2\pi\int_0^\pi\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\cos(nt)\,dt\\ &=\frac{2}{\pi n^2}\left[1-(-1)^n\right]. \end{aligned}$$

因此偶數項為零，奇數項為

$$a_n=\frac{4}{\pi n^2}.$$

所以

$$E'(t)=\frac4\pi\sum_{\substack{n=1\\ n\text{ odd}}}^{\infty} \frac{\cos(nt)}{n^2}.$$

求各 Fourier 項所造成的電流

對單一外力

$$F_n\cos(nt)$$

設其穩態響應為

$$I_n(t)=A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt).$$

代入

$$I_n''+\frac1{20}I_n'+25I_n=F_n\cos(nt)$$

可得

$$(25-n^2)A_n+\frac n{20}B_n=F_n,$$ $$-\frac n{20}A_n+(25-n^2)B_n=0.$$

解此聯立方程：

$$A_n= \frac{F_n(25-n^2)} {(25-n^2)^2+\dfrac{n^2}{400}},$$ $$B_n= \frac{F_n\dfrac n{20}} {(25-n^2)^2+\dfrac{n^2}{400}}.$$

其中對奇數 $n$，

$$F_n=\frac4{\pi n^2}.$$

因此週期穩態電流為

此題要求描述簡諧運動系統中發生共振的條件。

給定的微分方程是：
$my'' + cy' + ky = r(t)$
這是一個包含阻尼項 ($cy'$) 的二階線性非齊次微分方程，描述了質量-彈簧系統的受迫振動。
其中：
$m$ 是質量 (mass)
$c$ 是阻尼係數 (damping coefficient)
$k$ 是彈簧常數 (spring constant)
$r(t)$ 是外加的驅動力 (driving force)

外加驅動力為 $r(t) = F_0 \cos(\omega t)$，其中 $F_0$ 是幅值，$\omega$ 是驅動頻率 (driving frequency)。

首先，我們考慮齊次方程 $my'' + cy' + ky = 0$。其特徵方程為 $mr^2 + cr + k = 0$。
特徵根為 $r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$。
如果 $c > 0$ (有阻尼)，則特徵根的實部為 $-\frac{c}{2m} < 0$。
齊次解（自由振動）的形式為 $y_h(t) = e^{-ct/(2m)} (A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t))$，其中 $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{4m^2}}$ 是系統的自然角頻率 (natural angular frequency)。
如果 $c=0$ (無阻尼)，則 $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$。

接著，我們考慮非齊次方程 $my'' + cy' + ky = F_0 \cos(\omega t)$ 的特解 $y_p(t)$，它代表穩態響應 (steady-state response)。
特解的形式與驅動力函數 $r(t)$ 的形式有關，並且會受到系統參數 $m, c, k$ 的影響。

共振 (resonance) 的現象是指當驅動頻率 $\omega$ 非常接近系統的某個固有頻率時，系統的響應振幅會顯著增大。

情況一：有阻尼系統 ($c > 0$)
在有阻尼的情況下，系統的穩態響應振幅 $A(\omega)$ 達到最大值時，其對應的驅動頻率 $\omega$ 被稱為共振頻率 (resonant frequency)。
這個共振頻率 $\omega_{res}$ 略低於自然角頻率 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$。
具體來說，共振頻率為：

核心觀念

這題考二階常係數線性微分方程的特徵方程解法，以及特徵根為純虛數或實數時，解的形態與物理意義。

令解為 $x(t)=e^{rt}$，代入

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega x=0$$

得到特徵方程

$$r^2+\omega=0.$$

$\omega$ 的正負會改變特徵根的型態，因此解分別呈現振盪或指數增減。

解題方法與推導

當 $\omega>0$，令 $\Omega=\sqrt{\omega}$。特徵根為

$$r=\pm i\Omega.$$

因此通解為

$$x(t)=C_1\cos(\Omega t)+C_2\sin(\Omega t),$$

也可寫成

$$x(t)=A\cos(\Omega t+\phi).$$

這是週期振盪，角頻率為 $\Omega=\sqrt{\omega}$，週期為

$$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega}}.$$

若將方程視為單位質量物體的運動方程，則可寫成 $x''=-\omega x$：加速度總是指向平衡位置 $x=0$，因此物體作簡諧運動。例如彈簧振子中，$\omega$ 對應恢復力常數除以質量。

當 $\omega<0$，令 $\lambda=\sqrt{-\omega}>0$，則方程改寫為

$$x''-\lambda^2x=0.$$

特徵根為

$$r=\pm\lambda,$$

所以通解為

$$x(t)=C_1e^{\lambda t}+C_2e^{-\lambda t}.$$

此題要求計算四個定積分或不定積分。

(1) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin 2x}{\sqrt{3 - 2\cos x}} dx$

首先，我們將被積函數進行化簡。
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$。
所以積分變為 $\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin x \cos x}{\sqrt{3 - 2\cos x}} dx$。

我們可以使用換元積分法。令 $u = \cos x$。
則 $du = -\sin x dx$。
當 $x=0$ 時，$u = \cos(0) = 1$。
當 $x=\pi$ 時，$u = \cos(\pi) = -1$。

積分變為：
$\int_{1}^{-1} \frac{2 u}{\sqrt{3 - 2u}} (-du) = \int_{-1}^{1} \frac{2 u}{\sqrt{3 - 2u}} du$。

為了計算這個積分，我們再次進行換元。令 $v = \sqrt{3 - 2u}$。
則 $v^2 = 3 - 2u$。
$2u = 3 - v^2 \implies u = \frac{3 - v^2}{2}$。
$du = -\frac{2v}{2} dv = -v dv$。

當 $u=-1$ 時，$v = \sqrt{3 - 2(-1)} = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$。
當 $u=1$ 時，$v = \sqrt{3 - 2(1)} = \sqrt{1} = 1$。

積分變為：
$\int_{\sqrt{5}}^{1} \frac{2 \left(\frac{3 - v^2}{2}\right)}{v} (-v dv) = \int_{\sqrt{5}}^{1} (3 - v^2) (-dv)$
$= \int_{1}^{\sqrt{5}} (3 - v^2) dv$
$= \left[ 3v - \frac{v^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$= \left( 3\sqrt{5} - \frac{(\sqrt{5})^3}{3} \right) - \left( 3(1) - \frac{1^3}{3} \right)$
$= \left( 3\sqrt{5} - \frac{5\sqrt{5}}{3} \right) - \left( 3 - \frac{1}{3} \right)$
$= \left( \frac{9\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{3} \right) - \left( \frac{9 - 1}{3} \right)$
$= \frac{4\sqrt{5}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4\sqrt{5} - 8}{3}$。

【答案】
$\frac{4\sqrt{5} - 8}{3}$

(2) $\int x^2 \sin xdx$

這是不定積分，我們需要使用分部積分法兩次。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$。