108 年 國立中央大學太空科學研究所碩士班在職生《電磁學》

核心觀念

• Laplace 方程：若 $V(\mathbf r)$ 在某區域內滿足 $\nabla^{2}V=0$，則稱 $V$ 為調和函數。
• 平均值性質 (Mean‑Value Property)：調和函數在任意以其內點為中心的球面上，其表面平均值恆等於該點的函數值。
• 本題要求證明此性質：
  $V_{\text{avg}}(R)=\frac{1}{4\pi R^{2}}\oint_{|\mathbf r|=R}V(\mathbf r)\,dS = V(\mathbf 0),\qquad \forall\,R>0.$

解題方法

1. 定義球面平均值

$$V_{\text{avg}}(R)=\frac{1}{4\pi R^{2}}\oint_{S_{R}}V\,dS , \qquad S_{R}:\ |\mathbf r|=R .$$

2. 求 $V_{\text{avg}}(R)$ 對 $R$ 的導數

$\frac{d}{dR}V_{\text{avg}}(R)=\frac{d}{dR}\Bigl[\frac{1}{4\pi R^{2}}\oint_{S_{R}}V\,dS\Bigr].$

利用球面面積元素 $dS=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\phi$，可寫成

$$\frac{d}{dR}V_{\text{avg}}(R)=\frac{1}{4\pi R^{2}} \oint_{S_{R}}\frac{\partial V}{\partial r}\,dS .$$

其中 $\displaystyle \frac{\partial V}{\partial r} =\mathbf{\hat r}\cdot\nabla V$ 為徑向導數。

3. 將球面積分轉為體積積分（利用散度定理）

$$\oint_{S_{R}}\frac{\partial V}{\partial r}\,dS =\int_{B_{R}}\nabla\!\cdot(\nabla V)\,d\tau =\int_{B_{R}}\nabla^{2}V\,d\tau ,$$

其中 $B_{R}$ 為半徑 $R$ 的球體，$d\tau$ 為體積元素。

核心觀念

利用鏡像法處理接地無限導體平面。將導體平面 $z=0$ 的影響，等效為平面下方的鏡像電荷；計算平面上方真實電荷所受的力時，納入其他真實電荷與所有鏡像電荷的庫侖力。

依掃描圖，$-2q$ 位於 $z=d$，也就是接地平面上方；題目括號中的 $z=-d$ 與圖示位置不一致。以下依圖示作答。

解題方法

對於平面上方的每個真實電荷，在平面下方放置一個位置對稱、電量相反的鏡像電荷：

• 真實電荷 $+q$ 位於 $(0,0,3d)$，其鏡像電荷 $-q$ 位於 $(0,0,-3d)$。
• 真實電荷 $-2q$ 位於 $(0,0,d)$，其鏡像電荷 $+2q$ 位於 $(0,0,-d)$。

因此，$+q$ 所受的力由 $-2q$、鏡像電荷 $-q$ 與鏡像電荷 $+2q$ 的庫侖力相加而得。令 $\hat{\mathbf z}$ 為 $z$ 軸正向，庫侖常數為 $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$。

真實電荷 $-2q$ 距離 $+q$ 為 $2d$，兩者相吸，力向下：

$$\mathbf F_{-2q} = -\frac{k(2q^2)}{(2d)^2}\hat{\mathbf z} = -\frac{kq^2}{2d^2}\hat{\mathbf z}.$$

核心觀念

• 電位移向量 $\mathbf D$ 與電場 $\mathbf E$ 的關係稱為本構關係 (constitutive relation)。
• 在一般介質中，$\mathbf D$ 與 $\mathbf E$ 的關係可能是張量、非線性、時間相依或空間相依的。
• 形式 $\mathbf D =\epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E$ 為最簡單的線性、各向同性、均勻且非色散的介質模型。

條件
要使本構關係寫成 $\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E$，必須同時滿足以下四個條件：

1. 線性 (Linear)

$\mathbf D(\alpha\mathbf E_1+\beta\mathbf E_2)=\alpha\mathbf D(\mathbf E_1)+\beta\mathbf D(\mathbf E_2)$

換言之，$\mathbf D$ 對 $\mathbf E$ 的比例常數不隨 $\mathbf E$ 大小改變，無二次、三次等非線性項。

2. 各向同性 (Isotropic)
   介質的電氣性質在所有方向上相同，故相對介電常數 $\epsilon_r$ 為純量而非二階張量。若介質為各向異性，則應寫成 $\mathbf D =\epsilon_0\mathbf{\underline{\underline{\epsilon}}}_r\mathbf E$。

3. 均勻 (Homogeneous)
   $\epsilon_r$ 為空間常數，與位置 $\mathbf r$ 無關。

核心觀念

• 電介質極化：在外部電場 $\mathbf{E}$ 作用下，介質內的分子或原子產生偶極子，形成極化向量 $\mathbf{P}(\mathbf{r})$。
• 束縛電荷：極化產生的電荷分為體束縛電荷與表面束縛電荷

$$\rho_b = -\nabla\!\cdot\!\mathbf{P},\qquad \sigma_b = \mathbf{P}\!\cdot\!\hat{\mathbf n}$$

其中 $\hat{\mathbf n}$ 為介質表面的外向法向量。

• 中性介質：整體無自由電荷，即外加電場只改變內部電荷分布，總電量保持零。

---

解題方法
利用散度定理（Gauss 定理）把體積內的束縛電荷轉換成表面積分，與表面束縛電荷相抵消，從而證明總束縛電荷為零。步驟如下：

1. 寫出總束縛電荷

$Q_b = \int_V \rho_b\,dV + \int_S \sigma_b\,dS$

其中 $V$ 為介質體積，$S$ 為其外表面。

2. 代入 $\rho_b$、$\sigma_b$ 的定義

$$Q_b = \int_V \bigl(-\nabla\!\cdot\!\mathbf{P}\bigr)\,dV + \int_S \bigl(\mathbf{P}\!\cdot\!\hat{\mathbf n}\bigr)\,dS$$

3. 應用散度定理

$$\int_V \bigl(-\nabla\!\cdot\!\mathbf{P}\bigr)\,dV = -\oint_S \mathbf{P}\!\cdot\!\hat{\mathbf n}\,dS$$

4. 相加

核心觀念

本題比較兩條平行帶電線之間的靜電斥力與磁力吸引。設兩線在同一慣性座標系中帶有相同線電荷密度 $\lambda$，相距 $d$，並以相同方向、相同速率 $v$ 移動。每條線形成的電流為

$$I=\lambda v.$$

同方向的平行電流互相吸引；同號電荷線則互相排斥。

解題方法

先計算兩線間的靜電力，再計算磁力，令兩者大小相等。

由高斯定律，線電荷密度為 $\lambda$ 的無限長直線，在距離 $d$ 處產生的電場大小為

$$E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 d}.$$

因此，另一條線每單位長度所受的靜電斥力為

$$\frac{F_E}{L}=\lambda E =\frac{\lambda^2}{2\pi\varepsilon_0 d}.$$

由安培定律，電流為 $I$ 的無限長直線，在距離 $d$ 處產生的磁場大小為

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.$$

另一條線每單位長度所受的磁力大小為

解題方法

圖中是電容 $C$、電感 $L$ 與開關 $S$ 串成的單一迴路；開關在 $t=0$ 閉合，電容初始電壓為 $V$。圖上沒有標示電容極性或電流箭頭，以下取電容初始正端流出的放電方向為正電流，並令 $q(t)$ 為該端的電荷量。

由電容關係 $q(0)=CV$，且放電時電流為 $i=-dq/dt$。依迴路電壓定律，電感與電阻上的電壓降等於電容電壓：

$$L\frac{di}{dt}+Ri-\frac{q}{C}=0$$

代入 $i=-dq/dt$，可得

$$\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=0$$

初始條件為 $q(0)=CV$、$i(0)=0$，也就是 $q'(0)=0$。

核心觀念

這題考串聯 LC 迴路的自然振盪，以及串入電阻後的阻尼振盪。電容儲存電場能量，電感儲存磁場能量；無電阻時，能量在兩者之間交換。加入電阻後，能量逐漸耗散，振盪振幅隨時間衰減。

無電阻時

令 $R=0$，定義自然角頻率 $\omega_0=1/\sqrt{LC}$，電荷方程為

$$q''+\omega_0^2q=0$$

套用初始條件，得到 $q(t)=CV\cos(\omega_0t)$。因此電流為

$$i(t)=-\frac{dq}{dt} =CV\omega_0\sin(\omega_0t) =V\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right)$$

此式在 $t=0$ 給出 $i(0)=0$，且初始斜率 $di/dt|_{t=0}=V/L$，符合電感電壓 $L\,di/dt=V$。電流若改採相反參考方向，整個電流式的符號也會相反。

核心觀念

本題考查磁靜力學中的向量勢

$$\mathbf{A}(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|} \,dV'$$

以及散度的定義。令

$$n=|\mathbf r-\mathbf r'|.$$

在磁靜力學中，電流密度滿足電荷守恆：

$$\nabla'\cdot\mathbf J(\mathbf r')=0,$$

其中 $\nabla'$ 是對源點座標 $\mathbf r'$ 微分。

需注意：

$$\nabla\cdot\mathbf A \neq \mathbf A\cdot\nabla.$$

正確的散度為

$$\nabla\cdot\mathbf A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.$$

---

解題方法

觀察 $\mathbf A(\mathbf r)$ 的積分式，$\mathbf r$ 只出現在 $1/n$ 中，而 $\mathbf J(\mathbf r')$ 與觀察座標 $\mathbf r$ 無關。因此可將散度移入積分：

$$\nabla\cdot\mathbf A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \nabla\cdot \left( \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{n} \right) dV'.$$

由於 $\mathbf J(\mathbf r')$ 是關於 $\mathbf r'$ 的函數，對 $\mathbf r$ 微分時可視為常向量，所以

$$\nabla\cdot \left( \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{n} \right) = \mathbf J(\mathbf r')\cdot\nabla\left(\frac{1}{n}\right).$$

又因為 $n=|\mathbf r-\mathbf r'|$，對觀察座標與源點座標分別微分時有

$$\nabla\left(\frac{1}{n}\right) = -\nabla'\left(\frac{1}{n}\right).$$

因此

$$\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{\mu_0}{4\pi} \int \mathbf J(\mathbf r') \cdot \nabla' \left(\frac{1}{n}\right) dV'.$$

利用乘積散度公式

$$\nabla'\cdot \left( \frac{\mathbf J}{n} \right) = \frac{1}{n}\nabla'\cdot\mathbf J + \mathbf J\cdot\nabla' \left(\frac{1}{n}\right),$$

可得

$$\mathbf J\cdot\nabla' \left(\frac{1}{n}\right) = \nabla'\cdot \left( \frac{\mathbf J}{n} \right) - \frac{1}{n}\nabla'\cdot\mathbf J.$$

代回原式：

$$\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{\mu_0}{4\pi} \int \nabla'\cdot \left( \frac{\mathbf J}{n} \right)dV' + \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\nabla'\cdot\mathbf J}{n}dV'.$$

磁靜力學中

$$\nabla'\cdot\mathbf J=0,$$

故第二項為零：