108 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班一般生《大氣動力學》

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 在等壓座標下，水平地轉平衡可寫成

$$f\mathbf{k}\times\mathbf{V}_g=-\nabla_p\Phi .$$

2. 利用靜力平衡與等熵條件，證明等壓面上的位勢高度梯度，等於等熵面上蒙哥馬利流函數

$$\Psi=c_pT+\Phi$$

的水平梯度：

$$\nabla_p\Phi=\nabla_\theta\Psi .$$

其中 $\theta$ 為位溫，等熵面即 $\theta$ 為常數的面。題目中的 $\nabla_\Psi$ 表示等熵座標上的水平梯度，以下以較常見的 $\nabla_\theta$ 表示。

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一、等壓座標下的地轉平衡

水平動量方程在忽略摩擦與水平加速度時，為

$$f\mathbf{k}\times\mathbf{V}_g = -\frac{1}{\rho}\nabla_z p .$$

在等壓座標中，利用靜力平衡

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$$

以及位勢

$$\Phi=gz,$$

可得等壓座標下的水平壓力梯度關係

$$\frac{1}{\rho}\nabla_z p=\nabla_p\Phi .$$

因此，地轉平衡寫成

$$\boxed{ f\mathbf{k}\times\mathbf{V}_g=-\nabla_p\Phi }$$

這表示地轉風由等壓面上的位勢梯度決定。

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二、靜力平衡與熱力學關係

靜力平衡在壓力座標中為

$$\frac{\partial\Phi}{\partial p}=-\alpha ,$$

其中

$$\alpha=\frac{1}{\rho}$$

為比容。對乾燥大氣，熱力學基本關係為

$$T\,ds=c_p\,dT-\alpha\,dp .$$

在等熵面上 $ds=0$，因此

$$c_p\,dT=\alpha\,dp .$$

故沿著等熵面有

$$\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_\theta = \frac{\alpha}{c_p}.$$

這個關係正是蒙哥馬利流函數能夠消除壓力座標變換項的關鍵。

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三、定義蒙哥馬利流函數

定義

$$\boxed{ \Psi=c_pT+\Phi }$$

考慮其在等熵面上的水平梯度。以 $x$ 方向為例，利用鏈鎖律：

$$\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)_\theta = c_p\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta + \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right)_\theta .$$

將等熵座標 $\theta$ 下的導數改寫成等壓座標 $p$ 下的導數：

$$\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta = \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p + \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_\theta \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta ,$$ $$\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right)_\theta = \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right)_p + \left(\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta .$$

代入後得到

核心觀念

本題考查：

1. 地轉風：水平氣壓梯度力與科氏力平衡。
2. 靜力平衡：氣壓面高度與溫度的關係。
3. 熱力風關係：水平溫度梯度決定地轉風隨高度的風向與風速變化。
4. 冷暖平流與風向轉變：北半球中，暖平流通常伴隨風向隨高度順時針轉變，冷平流則伴隨逆時針轉變。

地轉風可寫為

$$\boldsymbol{V}_g=\frac{1}{f}\boldsymbol{k}\times\nabla_p\Phi,$$

其中 $\Phi$ 為位勢高度，$f$ 為科氏參數。靜力平衡給出

$$\frac{\partial \Phi}{\partial \ln p}=-RT,$$

因此得到熱力風關係

$$\frac{\partial \boldsymbol{V}_g}{\partial \ln p} =-\frac{R}{f}\boldsymbol{k}\times\nabla_p T.$$

由於高度增加時氣壓降低，故由低層至高層的地轉風變化為

$$\boldsymbol{V}_g(p_2)-\boldsymbol{V}_g(p_1) = \frac{R}{f} \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \boldsymbol{k}\times\nabla_p T,$$

其中 $p_1>p_2$，分別代表低層與高層氣壓。

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(a) 地轉風向隨高度的轉變與冷暖平流

以北半球為例，假設赤道附近較暖、中高緯度較冷，則溫度由南向北降低。若 $y$ 軸指向北方，則

$$\frac{\partial T}{\partial y}<0.$$

此時

$$\boldsymbol{k}\times\nabla T$$

指向東方，因此熱力風，即地轉風的垂直切變，主要為西風方向：

$$\frac{\partial \boldsymbol{V}_g}{\partial z} \quad\text{指向東方}.$$

也就是說，在典型的北半球中緯度地區，西風通常隨高度增強。

暖平流

暖平流表示風將暖空氣輸送至某地。若低層風具有指向暖區的分量，配合向東的熱力風切變，風向隨高度會逐漸向順時針方向轉變，稱為風向隨高度順轉或 veering。

例如：

• 低層為南風，將低緯度暖空氣向北輸送；
• 高度增加後，因熱力風切變加入西風分量；
• 風向由南風轉為西南風，再轉為西風。

因此，北半球中：

$$\boxed{\text{暖平流通常伴隨風向隨高度順時針轉變}}$$

冷平流

冷平流表示風將冷空氣輸送至某地。此時風向隨高度通常向逆時針方向轉變，稱為風向隨高度逆轉或 backing。

因此，北半球中：

$$\boxed{\text{冷平流通常伴隨風向隨高度逆時針轉變}}$$

南半球的科氏參數 $f<0$，上述風向轉變方向相反。

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(b) 中緯度與赤道的地面溫差估計

解題方法

利用熱力風關係，將已知的西風增強量換算為水平溫度梯度，再乘上赤道至中緯度的水平距離，即可估計地面溫差。

假設：

• 地面氣壓：$p_1\approx1000\ \mathrm{hPa}$
• 對流層頂氣壓：$p_2\approx200\ \mathrm{hPa}$
• 中緯度約為 $45^\circ$ 緯度
• 赤道至 $45^\circ$ 的距離：

$$L\approx 45^\circ\times111\ \mathrm{km} \approx5.0\times10^6\ \mathrm{m}$$

• 北半球中緯度的科氏參數：

本題考查邊界層摩擦對大尺度氣旋的影響，以及如何利用渦度方程估計旋轉減慢的時間尺度。

核心觀念：

1. 二次環流 (Secondary Circulation): 在大尺度氣旋中，由於邊界層摩擦，近地面的空氣會向氣旋中心匯聚，然後在上升過程中產生向上的運動。在氣旋的較高層，空氣會向外輻散，形成一個垂直的環流，稱為二次環流。
2. 渦度方程 (Vorticity Equation): 描述渦度如何隨時間變化，其中包含平流、伸展、扭轉、散度和摩擦等項。
3. 邊界層摩擦 (Boundary Layer Friction): 作用在近地面，會減緩水平風速，並導致空氣向低壓中心匯聚。
4. 旋消 (Spin-down): 指渦旋的旋轉速度隨時間減慢的過程。

解題步驟：

第一部分：說明二次環流如何導致旋消

1. 摩擦引起的水平輻合： 在大尺度氣旋的邊界層，由於摩擦力的作用，近地面的風速會減小，且風向會略微偏向低壓中心（與地轉風不同）。這導致近地面空氣向氣旋中心輻合（水平匯聚）。

2. 垂直運動的產生： 由於近地面的空氣不斷向中心輻合，這些空氣沒有地方可去，只能向上運動。因此，在氣旋中心附近會產生顯著的向上運動，形成一個垂直的環流。

3. 渦度的變化：

   • 絕對渦度 (Absolute Vorticity): 絕對渦度 $\zeta_a = f + \zeta$，其中 $f$ 是行星渦度，$\zeta$ 是相對渦度。
   • 伸展效應 (Stretching Effect): 當空氣向上運動時，其水平尺度會減小，這會導致相對渦度 $\zeta$ 增加（渦度伸展）。然而，在本題的「旋消」情境下，我們關注的是整體渦旋的減弱。
   • 扭轉效應 (Tilting Effect) 和摩擦效應 (Friction Effect):
     在氣旋的邊界層，摩擦力不僅減緩了水平風速，還可能通過扭轉作用來減小渦度。更重要的是，摩擦力直接作用在渦度上，產生耗散作用。
     二次環流的向上運動會將低層的渦度平流到高層。如果低層存在較高的渦度，向上運動會將其帶走。
     然而，題目中提到「致使主渦旋旋轉慢下來」，這主要是因為邊界層摩擦的耗散作用以及二次環流的影響。

   更詳細的解釋二次環流如何導致旋消：

   • 摩擦的直接影響： 摩擦力直接作用於空氣粒子，將其動量轉移給地面，從而減慢了空氣的水平運動速度，這直接導致了渦旋的減速。
   • 二次環流的影響：
     • 渦度平流： 在氣旋中心，向上運動將低層的空氣（可能具有較高的渦度）帶到高層。如果高層的空氣有向外輻散的趨勢，那麼將渦度從低層帶到高層，再向外輻散，相當於將渦度從氣旋的「核心」區域稀釋或移走，從而導致渦旋的減弱。
     • 扭轉效應： 雖然題目沒有明確給出，但垂直運動和水平風速切變的結合可能產生扭轉效應，進一步影響渦度。
     • 整體效應： 總體而言，邊界層的摩擦和由此產生的二次環流，會通過直接耗散動量和渦度，以及通過渦度平流和扭轉效應，導致氣旋的整體渦度減小，即旋消。

第二部分：利用正壓渦度方程估計旋消所需的時間

正壓渦度方程 (Dry Barotropic Vorticity Equation):
在正壓且忽略水平渦度平流和伸展效應的情況下，渦度方程可以簡化為：
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} = - \nabla \cdot (\mathbf{V} \zeta) + f \nabla \cdot \mathbf{V} + \text{Friction}$
在題幹的描述下，我們主要關注摩擦對渦度的影響。且假設是「穩定的大氣邊界層」，這意味著邊界層的特性（如摩擦力大小）在時間上是相對恆定的。
題目提到「致使主渦旋旋轉慢下來」，這暗示我們關注的是渦度的減小。
如果我們假設只有摩擦項在起作用，並且摩擦力與渦度成正比（這是一個簡化假設），或者摩擦力導致渦度以某種速率衰減。

簡化假設：
假設渦度隨時間的變化率主要由邊界層摩擦引起，且該摩擦效應與渦度本身成正比（類似於阻尼）。
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} = -k \zeta$
其中 $k$ 是一個與摩擦強度相關的常數。
這個方程的解是：
$\zeta(t) = \zeta_0 e^{-kt}$
其中 $\zeta_0$ 是初始渦度。
旋消所需的時間，可以理解為渦度衰減到某個較小值（例如初始值的 $1/e$）所需的時間。這個時間尺度為 $\tau = 1/k$。

如何估計 $k$？
$k$ 代表了摩擦的強度。摩擦力與風速有關。
邊界層摩擦的影響通常用一個「摩擦尺度」或「衰減時間尺度」來表示。
在邊界層內，水平風速 $V$ 會因為摩擦而衰減。
考慮一個簡單的阻尼項：
$\frac{dV}{dt} = -kV$
這個簡化模型表明，速度 $V$ 以指數衰減，衰減時間尺度為 $1/k$。

估計摩擦的強度：
邊界層的厚度通常在幾百米到幾公里之間。
摩擦的影響範圍主要在邊界層內。
我們可以從摩擦引起的水平輻合來估計。
在邊界層內，水平速度 $V$ 與地轉風 $V_g$ 的關係可以表示為：
$V = V_g \times (\text{阻尼因子})$
或者，摩擦力導致風向偏向低壓中心。
如果我們考慮渦度方程中的摩擦項，它通常寫成：
$(\frac{\partial \zeta}{\partial t})_{\text{friction}} = \text{Friction Term}$
對於一個大尺度氣旋，其渦度可能在 $10^{-4} \text{ s}^{-1}$ 到 $10^{-3} \text{ s}^{-1}$ 的量級。
邊界層的摩擦效應會導致渦度減小。

估計旋消時間尺度 $\tau = 1/k$:
一個常見的估計是，邊界層的摩擦效應會導致渦度在幾個小時到一天左右的時間尺度上衰減。
例如，如果我們假設渦度以指數形式衰減，並且在 12 小時後衰減到原來的 $1/e$。

本題主要考查準地轉理論 (QG) 和半地轉理論 (SG) 的基礎、差異，以及它們在鋒面形成過程中的應用。

核心觀念：

1. 地轉平衡 (Geostrophic Balance): 科氏力與壓力梯度力平衡，描述大尺度、緩慢變化的天氣系統。
2. 準地轉理論 (Quasi-Geostrophic Theory, QG): 在地轉平衡的基礎上，引入小參數（如 Rossby數 $Ro = U/(fL)$，其中 $U$ 是特徵速度，$f$ 是科氏參數，$L$ 是特徵尺度），將非地轉項視為小擾動，並進行級數展開。
3. 半地轉理論 (Semi-Geostrophic Theory, SG): 也是基於地轉平衡，但它關注的是非地轉加速度項（如 $\frac{d\mathbf{V}}{dt}$ 中的 $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}$ 和 $\mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V}$）與地轉平衡項的相對大小。它在處理強加速度過程（如鋒面發展）時，比 QG 更為精確。
4. 鋒面 (Front): 溫度梯度非常大的區域，通常伴隨著強烈的風切變和垂直運動。

解題步驟：

第一部分：準地轉理論 (QG) 與半地轉理論 (SG) 的依據及主要差異

• 共同依據：

  • 兩者都假設大尺度和緩慢變化的天氣現象，因此地轉平衡是其基本假設，即科氏力與壓力梯度力大致平衡。
  • 兩者都使用無散風（或視為主要部分是無散風）來分析渦度。

• 主要差異：

  特徵	準地轉理論 (QG)	半地轉理論 (SG)
  核心假設	認為非地轉加速度項（如 $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}$ 和 $\mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V}$）相對於地轉平衡項非常小。	認為非地轉加速度項中的時間變化項 ($\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}$) 和水平加速度項 ($\mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V}$) 的主要部分可以被保留，但其梯度（例如 $\nabla (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t})$）可以近似為地轉。
  處理方式	採用級數展開，將非地轉項視為高階小量。例如，在動量方程中，將 $\frac{d\mathbf{V}}{dt}$ 中的加速度項省略或視為小擾動。	在動量方程中，保留了非地轉加速度項，但對其進行了變換，使得其梯度可以與地轉平衡項聯繫起來。例如，它將真實風 $\mathbf{V}$ 與地轉風 $\mathbf{V}_g$ 區分開，並通過一個轉換來處理非地轉加速度。
  數學形式	通常導致一個約束方程（如 QG 渦度方程），它將渦度變化與伸展、扭轉等聯繫起來。	導致所謂的「半地轉變換」，其中時間和空間導數被重新定義，使得動量方程可以寫成類似於地轉平衡的形式，但作用在一個變換後的空間上。
  適用範圍	對於中尺度、緩慢演變的天氣系統（如大尺度的溫帶氣旋發展初期）表現良好。

本題主要考查颱風的暖心強度估計、邊界層摩擦的影響，以及位渦保守在颱風移動中的應用。

(a) 尺度分析估計強烈颱風暖心強度 (10分)

核心觀念：

• 颱風暖心結構 (Warm Core Structure): 颱風中心溫度高於周圍環境，這是因為氣旋中心的下沉運動或上升運動中的凝結潛熱釋放。
• 尺度分析 (Scale Analysis): 通過比較不同物理過程的量級，來確定哪個過程是主要的，並估計物理量的量級。
• 地轉平衡 (Geostrophic Balance): 在颱風尺度上，水平運動接近地轉平衡。
• 靜力平衡 (Hydrostatic Balance): 垂直方向上的平衡。

解題步驟：

1. 颱風暖心的成因：
   颱風的暖心結構主要來自於颱風眼區的上升運動過程中，水汽凝結釋放的潛熱。這些潛熱加熱了颱風中心的空氣，使其溫度高於周圍環境。

2. 相關尺度：

   • 水平尺度 (L): 颱風的典型水平尺度約為幾百公里，例如 $L \sim 500 \text{ km} = 5 \times 10^5 \text{ m}$。
   • 垂直尺度 (H): 颱風的垂直尺度（對流層高度）約為 $H \sim 10 \text{ km} = 10^4 \text{ m}$。
   • 速度 (U): 強烈颱風的地面風速可達 $50 \text{ m/s}$ 或更高。我們取一個代表性的值 $U \sim 50 \text{ m/s}$。
   • 科氏參數 (f): 在熱帶地區，科氏參數較小，例如在 $15^\circ$ 緯度， $f \approx 3 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}$。
   • 溫度差 ($\Delta T$): 我們要估計的是暖心的溫度差，即中心與周圍環境的溫差。

3. 尺度分析應用：
   我們利用熱力風關係來估計溫度梯度與風速切變的關係。
   熱力風關係（在等壓座標下）：
   $f \frac{\partial \mathbf{V}_g}{\partial z} = -\frac{R}{\rho} \nabla_p T$
   考慮其垂直分量，並假設 $\mathbf{V}_g$ 主要為東西風，且溫度梯度主要為南北向：
   $f \frac{\partial u_g}{\partial z} = -\frac{R}{\rho} \frac{\partial T}{\partial y}$
   如果我們假設颱風的暖心結構是由於中心區域的溫度比周圍高，那麼在水平方向上，溫度梯度是存在的。
   然而，暖心的形成主要是垂直過程（凝結潛熱）和潛在的下沉運動（在颱風眼）。

   另一種方法：利用地轉平衡和靜力平衡
   在地轉平衡下，$f V_g \approx \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$ （徑向壓力梯度）。
   在靜力平衡下，$\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$。
   將後者代入前者，可以得到：
   $f V_g \approx \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} = \frac{1}{-\frac{\partial p}{\partial z}/g} \frac{\partial p}{\partial r} = -\frac{g}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$
   這個關係式說明了風速與壓力梯度和密度的關係。

   考慮溫度與壓力、密度的關係：
   理想氣體定律：$p = \rho R T$ $\implies \rho = p / (R T)$。
   將 $\rho$ 代入靜力平衡方程：
   $\frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{p}{R T} g \implies \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{g}{R T}$
   $\frac{\partial (\ln p)}{\partial z} = -\frac{g}{R T}$
   這表明，溫度越高，氣壓隨高度下降得越慢。

   現在將此應用於地轉平衡。
   $f V_g = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} = \frac{R T}{p} \frac{\partial p}{\partial r}$
   $f V_g = R T \frac{\partial (\ln p)}{\partial r}$
   $\frac{\partial (\ln p)}{\partial r} = \frac{f V_g}{R T}$
   我們知道 $\frac{\partial (\ln p)}{\partial z} = -\frac{g}{R T}$。
   我們可以將 $T$ 寫成 $T(r, z)$。
   $\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial T}{\partial (\ln p)} \frac{\partial (\ln p)}{\partial r}$
   $\frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial T}{\partial (\ln p)} \frac{\partial (\ln p)}{\partial z}$
   從 $\frac{\partial (\ln p)}{\partial z} = -\frac{g}{R T}$，我們得到 $\frac{\partial T}{\partial (\ln p)} = -\frac{g}{R} \frac{T^2}{T^2} = -\frac{g}{R}$。
   所以，
   $\frac{\partial T}{\partial r} = -\frac{g}{R} \frac{\partial (\ln p)}{\partial r} = -\frac{g}{R} \frac{f V_g}{R T} = -\frac{fg V_g}{R^2 T}$
   這表明溫度梯度與風速梯度有關。

   更直接的暖心強度估計：
   颱風的暖心是其結構的特徵。暖心的強度（中心溫度比周圍高多少）與颱風的強度（最大風速）有關。
   根據經驗公式或理論模型，暖心的溫度差 $\Delta T$ 可以與最大風速 $V_{max}$ 聯繫起來。
   一個常用的關係來自於熱力學和動力學的結合，特別是考慮到凝結潛熱的作用。
   暖心的溫度差 $\Delta T$ 與颱風強度 $V_{max}$ 大致成正比。
   $\Delta T \propto V_{max}^2$
   這個關係源於：

   1. 地轉平衡： $f V_{max} \sim \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$。
   2. 靜力平衡和理想氣體定律： 壓力梯度與溫度梯度有關。
   3. 凝結潛熱： 暖心的來源。

   尺度分析的應用：
   考慮颱風眼壁的上升運動。
   假設眼壁的上升速度 $w \sim U$ (與地面風速相同量級)。
   凝結潛熱釋放加熱了空氣。
   來自於凝結的潛熱 $L_v$。
   單位質量的空氣獲得的熱量 $Q \sim L_v \times (\text{水汽凝結率})$。
   水汽凝結率與空氣中的水汽含量和上升速度有關。

   另一種方法：利用能量守恆或功率分析
   颱風的強度由其內部釋放的能量決定，主要是凝結潛熱。
   考慮單位時間內，在一個圓柱體（半徑 $R$，高度 $H$）內釋放的總潛熱。
   總潛熱釋放率 $\approx \int_0^H \int_0^{2\pi} L_v \times (\text{凝結率}) \times r dr d\theta$。
   這個能量釋放驅動了颱風的動力學過程。

   估計 $\Delta T$:
   一個常見的估計是，強烈颱風的暖心溫度差 $\Delta T$ 大約在 $10^\circ \text{C}$ 到 $20^\circ \text{C}$ 之間。
   例如，如果中心最高溫度為 $30^\circ \text{C}$，而周圍環境為 $10^\circ \text{C}$。
   這個溫度差 $\Delta T$ 的量級可以用尺度分析來估計。

   考慮地轉平衡和靜力平衡。
   $f V \sim \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$
   $\frac{\partial p}{\partial z} \sim -\rho g$
   $\frac{\partial p}{\partial r} \sim \rho f V$
   $\frac{\partial p}{\partial z} \sim -\frac{p}{RT} g$
   $\frac{\partial p}{\partial r} \sim \frac{\partial}{\partial r} (p_0 \exp(-\frac{gz}{RT}))$ (假設 $T$ 是常數)

   更實用的尺度分析方法：
   考慮颱風眼壁的上升運動和凝結潛熱。
   上升速度 $w \sim U$。
   潛熱加熱率 $\frac{dQ}{dt} \approx L_v \frac{dq_s}{dt}$，其中 $q_s$ 是飽和水汽比濕。
   $\frac{dq_s}{dt} \approx \frac{\partial q_s}{\partial T} \frac{dT}{dt} = \frac{\partial q_s}{\partial T} w \frac{\partial T}{\partial z}$。
   這個加熱率增加了空氣的溫度。

   一個簡單的估計：
   假設暖心的溫度差 $\Delta T$ 是由凝結潛熱釋放引起的。
   我們知道，在 1 km 的高度差上，溫度大約下降 6.5 K (標準大氣)。
   颱風的暖心是其中心溫度高於周圍。
   考慮中心眼牆的上升運動，潛熱釋放加熱了空氣。
   如果空氣上升 10 km，並且釋放了足夠的潛熱，使得中心溫度比周圍高。
   我們可以將 $\Delta T$ 與風速 $V$ 的關係式 $f V \sim \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$ 和 $\frac{\partial p}{\partial z} \sim -\rho g$ 結合起來。
   從 $\frac{\partial (\ln p)}{\partial z} = -\frac{g}{RT}$，我們知道溫度越高，氣壓隨高度下降越慢。
   在颱風中心，溫度高，所以氣壓隨高度下降得慢。這導致颱風中心高層的氣壓比周圍高。
   然而，颱風的暖心結構意味著中心溫度高，而眼壁的上升運動和凝結潛熱是主要原因。

   利用經驗關係：
   強烈颱風的暖心強度（中心溫度與周圍溫度之差）通常在 $10^\circ \text{C}$ 到 $20^\circ \text{C}$ 之間。
   我們可以嘗試用尺度分析來推導 $\Delta T \propto V^2$。
   考慮地轉平衡：$f V \sim \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}$。
   考慮靜力平衡：$\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$。
   考慮熱力風關係：$f \frac{\partial u_g}{\partial z} = -\frac{R}{\rho} \frac{\partial T}{\partial y}$。

   最簡單的尺度分析方法：
   假設颱風強度 $V$ 與其驅動的壓力梯度有關，而壓力梯度又與溫度梯度有關。
   $f V \sim \frac{1}{\rho} \frac{\Delta p}{\Delta r}$
   $\frac{\Delta p}{\Delta z} \sim -\rho g$
   $\Delta p \sim \rho g \Delta z$
   $\frac{\Delta p}{\Delta r} \sim \rho g \frac{\Delta z}{\Delta r}$ （這不對）

   另一種思路：能量。
   颱風的能量來源是凝結潛熱。
   假設釋放的總能量 $E$ 與颱風的強度有關。
   $E \sim L_v \times (\text{總凝結量})$。
   總凝結量 $\sim (\text{水汽含量}) \times (\text{上升運動強度}) \times (\text{核心區域體積})$。
   $\Delta T$ 是這個能量轉化為熱能的結果。

   實際估計：
   一個常見的估計是，颱風的暖心強度 $\Delta T$ 與最大風速 $V_{max}$ 的平方成正比。
   $\Delta T \propto V_{max}^2$。
   如果 $V_{max} = 50 \text{ m/s}$，那麼 $\Delta T$ 的量級可能在 $10^\circ \text{C}$ 左右。
   例如，一個簡化的模型可以得出 $\Delta T \approx \frac{f V_{max} L}{R}$，其中 $L$ 是水平尺度。
   $\Delta T \approx \frac{(3 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}) \times (50 \text{ m/s}) \times (5 \times 10^5 \text{ m})}{287 \text{ J/(kg·K)}} \approx 2.6 \text{ K}$。
   這個結果太小了。

   使用熱力學關係：
   考慮暖心結構，中心溫度 $T_c$，周圍溫度 $T_a$。
   $\Delta T = T_c - T_a$。
   在眼壁，上升運動，潛熱釋放。
   考慮靜力平衡和地轉平衡：
   $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} = f V_g$
   $\frac{\partial p}{\partial z} = - \rho g$
   $\frac{\partial p}{\partial r} = \frac{\partial p}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial r}$
   $\frac{\partial p}{\partial z} = \frac{\partial p}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial z} + \frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial z}$
   利用 $p = \rho R T$ $\implies \rho = p / (RT)$。
   $\frac{\partial p}{\partial z} = - \frac{p}{RT} g$
   $\frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} = - \frac{g}{RT}$
   $\frac{\partial \ln p}{\partial z} = - \frac{g}{RT}$
   $\frac{\partial \ln p}{\partial r} = \frac{f V_g}{RT}$
   $\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial T}{\partial \ln p} \frac{\partial \ln p}{\partial r} = (-\frac{g}{R}) \frac{f V_g}{RT} = -\frac{fg V_g}{R^2 T}$
   這個公式表明，溫度梯度與風速梯度和溫度本身有關。

   更實際的估計方法：
   暖心的強度 $\Delta T$ 與颱風的強度 $V_{max}$ 密切相關，通常 $\Delta T \approx 10 \sim 20 \text{ K}$。
   這個關係可以從能量平衡和動力學過程推導出來，但尺度分析直接得到精確的定量結果比較困難。
   我們可以給出一個量級的估計。
   假設 $\Delta T$ 的量級與 $\frac{V_{max}^2}{c_p}$ 有關，其中 $c_p$ 是定壓比熱。
   $c_p \approx 1000 \text{ J/(kg·K)}$。
   $\Delta T \sim \frac{(50 \text{ m/s})^2}{1000 \text{ J/(kg·K)}} = \frac{2500}{1000} = 2.5 \text{ K}$。
   這個結果仍然偏小。

   回到熱力風關係：
   $f \frac{\partial u_g}{\partial z} = -\frac{R}{\rho} \frac{\partial T}{\partial y}$
   考慮徑向壓力梯度和溫度梯度。

核心觀念

本題考查「絕對角動量守恆」及其在大氣環流中的應用。

單位質量空氣在緯度 $\phi$、距地軸距離 $a\cos\phi$ 處的絕對角動量為

$$M=(\Omega a\cos\phi+u)(a\cos\phi),$$

因此

$$M=\Omega a^2\cos^2\phi+ua\cos\phi,$$

其中：

• $a$：地球半徑；
• $\Omega$：地球自轉角速度；
• $u$：相對於地面的緯向風速，西風取正值；
• $\Omega a^2\cos^2\phi$：行星角動量；
• $ua\cos\phi$：相對角動量。

若空氣未受外加緯向力矩，則其絕對角動量 $M$ 隨氣團守恆。

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解題方法

先利用初始位置的風速與緯度計算絕對角動量，再令其等於北緯 $45^\circ$ 位置的絕對角動量，解出新的西風風速。

本題假設：

1. 氣流由赤道移動至北緯 $45^\circ$；
2. 過程中無摩擦、山脈阻力及其他外加力矩；
3. 地球半徑視為固定；
4. 初始風速 $u_1=10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$。

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(a) 氣流速度的改變

初始位置為赤道，故

$$\phi_1=0^\circ,\qquad \cos\phi_1=1.$$

初始絕對角動量為

$$M_1=\Omega a^2+u_1a =\Omega a^2+10a.$$

移動至北緯 $45^\circ$ 後，

$$\phi_2=45^\circ,\qquad \cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}.$$

若絕對角動量守恆，

$$M_1=M_2,$$

即

$$\Omega a^2+10a = \Omega a^2\cos^245^\circ +u_2a\cos45^\circ.$$

因為

$$\cos^245^\circ=\frac12,$$

所以

$$\Omega a^2+10a = \frac12\Omega a^2+\frac{u_2a}{\sqrt2}.$$

整理得

$$\frac{u_2a}{\sqrt2} = \frac12\Omega a^2+10a,$$

因此

$$u_2 = \sqrt2\left(\frac12\Omega a+10\right).$$

取

$$\Omega=7.292\times10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad a=6.37\times10^6\ \mathrm{m},$$

則

$$\Omega a\approx465\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

因此

$$u_2 = \sqrt2\left(\frac{465}{2}+10\right) \approx343\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

所以氣流移至北緯 $45^\circ$ 後，理論上的西風速度約為

$$\boxed{u_2\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}$$

即約

$$\boxed{343\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.$$

此數值非常大，顯示單純的絕對角動量守恆會預測中緯度出現極強西風；實際大氣中的摩擦、波動與渦旋作用會使風速遠低於此理論值。

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(b) 可改變絕對角動量的大氣因素

對氣團而言，絕對角動量改變的根本原因是受到外加的緯向力矩。其概念式可寫為

$$\frac{DM}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial\lambda} +a\cos\phi\,F_\lambda,$$

其中 $\lambda$ 為經度，$\rho$ 為空氣密度，$F_\lambda$ 為單位質量的緯向摩擦力或其他非保守力。

主要因素如下。

1. 地表摩擦與湍流拖曳

近地面空氣受到地表摩擦，使緯向風速 $u$ 改變，因而改變相對角動量

$$M_{\mathrm{rel}}=ua\cos\phi.$$

地表通常會對大氣提供或吸收角動量，並透過邊界層湍流向上傳遞。

2. 山脈阻力與地形力矩

氣流越過山脈時，會產生行星尺度的定常波。山脈對氣流施加阻力，形成山脈力矩，能使大氣獲得或失去緯向角動量。

這也是中高緯度大氣與地球固體部分交換角動量的重要途徑。

3. 非軸對稱的壓力梯度

若壓力場隨經度改變，即

$$\frac{\partial p}{\partial\lambda}\ne0,$$

則壓力梯度會對氣團產生緯向力矩，使單一氣團的 $M$ 改變。