112 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班在職生《大氣動力學》

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 在氣壓座標中，水平動量方程式的流線座標分解。
2. 曲率加速度、科氏力與水平氣壓梯度力之間的平衡。
3. 強烈颱風與一般低壓系統的不同動力平衡。

原式為

$$\frac{D\mathbf{V}}{Dt}+f\mathbf{k}\times\mathbf{V} =-\nabla_p\phi,$$

其中 $\mathbf{V}$ 為水平風速、$f$ 為科氏參數、$\phi$ 為重力位。

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(a) 流線座標中的梯度風方程

1. 建立流線座標

取：

• $\mathbf{e}_s$：沿流線、與風向相同的切向單位向量；
• $\mathbf{e}_n$：流線左側的法向單位向量；
• $\mathbf{V}=V\mathbf{e}_s$，其中 $V=|\mathbf{V}|$；
• $R$：帶有正負號的曲率半徑，若流線向左彎，則 $R>0$。

由於 $\mathbf{e}_n$ 指向流線左側，因此

$$\mathbf{k}\times\mathbf{V} =V\mathbf{e}_n.$$

水平速度的物質加速度可分解為切向加速度與法向曲率加速度：

$$\frac{D\mathbf{V}}{Dt} = \frac{DV}{Dt}\mathbf{e}_s + \frac{V^2}{R}\mathbf{e}_n.$$

氣壓座標下的重力位梯度為

$$\nabla_p\phi = \frac{\partial\phi}{\partial s}\mathbf{e}_s + \frac{\partial\phi}{\partial n}\mathbf{e}_n.$$

代入原方程式：

$$\left( \frac{DV}{Dt}\mathbf{e}_s+ \frac{V^2}{R}\mathbf{e}_n \right) + fV\mathbf{e}_n = - \left( \frac{\partial\phi}{\partial s}\mathbf{e}_s+ \frac{\partial\phi}{\partial n}\mathbf{e}_n \right).$$

分別比較切向與法向分量。

2. 切向分量

$$\boxed{ \frac{DV}{Dt} = -\frac{\partial\phi}{\partial s} }$$

此式表示沿流線方向的風速變化，受到沿流線方向重力位梯度控制。

3. 法向分量

$$\frac{V^2}{R}+fV = -\frac{\partial\phi}{\partial n}.$$

因此梯度風方程為

$$\boxed{ \frac{V^2}{R}+fV = -\frac{\partial\phi}{\partial n} }$$

這就是梯度風平衡。左側包括：

• $\dfrac{V^2}{R}$：曲率加速度；
• $fV$：科氏力的法向分量。

右側則是水平氣壓梯度力在法向的分量。

4. 常用的圓形流形式

若為軸對稱圓形流，令 $r$ 為由低壓中心向外的距離，且低壓中心外圍氣壓隨半徑增加，則可寫成

$$\boxed{ \frac{V^2}{r}+fV = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} }$$

其中利用了氣壓梯度力的形式

$$-\frac{1}{\rho}\nabla p.$$

在氣壓座標中，則以 $-\partial\phi/\partial n$ 表示相應的水平氣壓梯度力。

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(b) 強烈颱風暴風圈為氣旋流平衡

強烈颱風的暴風圈具有下列特徵：

• 風速 $V$ 很大；
• 風場曲率半徑 $R$ 很小；
• 水平氣壓梯度很強。

曲率項與科氏項的量級比為

核心觀念

1. 雷諾分解與平均（Reynolds Decomposition and Averaging）：
   大氣運動具有多尺度特徵。在數值模式中，網格無法直接解析小尺度紊流（亂流），故將瞬時物理量分解為「可解析的平均場（網格尺度）」與「未解析的擾動場（次網格尺度）」，並透過雷諾平均導出紊流對大尺度運動的非線性回饋項——雷諾應力（Reynolds stress）。
2. 大氣邊界層動量方程式（PBL Momentum Equation）：
   大氣為極高雷諾數流體，分子黏滯力可忽略不計，動量垂直傳遞主要由垂直紊流動量通量（$\overline{u'w'}, \overline{v'w'}$）主導。
3. 行星邊界層之三力平衡（Ekman Balance）：
   在邊界層受力平衡狀態下，水平氣壓梯度力（PGF）、柯氏力（CF）與紊流摩擦力（Frictional Force）達成向量平衡，致使氣流無法維持平行等壓線的地轉平衡，而產生跨越等壓線流向低壓的分量。

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解題方法與推導

(a) 雷諾分解及平均之方法與意義

1. 方法

• 變數分解：將大氣瞬時物理量 $\phi(\mathbf{x}, t)$ 分解為網格（或時間、空間）平均值 $\bar{\phi}$ 與次網格擾動值 $\phi'$：
  $\phi = \bar{\phi} + \phi'$
  雷諾平均運算子滿足下列基本性質：
  $\overline{\bar{\phi}} = \bar{\phi}, \quad \overline{\phi'} = 0, \quad \overline{\bar{\phi}\psi'} = 0, \quad \overline{\phi\psi} = \bar{\phi}\bar{\psi} + \overline{\phi'\psi'}$
• 方程式推導：將不可壓縮或布辛涅司克（Boussinesq）近似之連續方程式 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ 配合動量方程式，將非線性平流項改寫為通量形式 $\nabla \cdot (\mathbf{u}\mathbf{u})$，將 $\mathbf{u} = \bar{\mathbf{u}} + \mathbf{u}'$ 代入後取雷諾平均，利用連續式化簡，得到雷諾平均動量方程式（Reynolds-averaged Navier-Stokes equations, RANS）。

2. 物理意義

• 分子黏滯力之不可行性：大氣中尺度與綜觀尺度運動的雷諾數極大（$Re \sim 10^{12}$），分子黏滯力極微弱（僅在貼地毫米級的黏滯底層作用），實際大氣動量垂直混合主要由紊流渦旋（turbulent eddies）負責。
• 次網格效應分離與參數化需求：數值天氣預報模式受限於有限網格解析度，無法直接計算次網格尺度的紊流運動。透過雷諾平均，可將運動方程式分離為「可解析的平均流場」與「未解析的次網格紊流通量（雷諾應力 $-\bar{\rho}\overline{u_i'u_j'}$）」。由於紊流應力項引入了未知的二階動差，造成方程式不閉合（紊流閉合問題），促使模式必須藉由「紊流參數化（Turbulence Parameterization）」將其以可解析的平均量（如 $K$-理論、渦黏滯係數）表示。

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(b) 中緯度綜觀尺度雷諾平均動量方程式

1. 方程式表示

在中緯度綜觀尺度運動中，根據尺度分析：

• 垂直尺度（$H \sim 1\text{ km}$）遠小於水平尺度（$L \sim 1000\text{ km}$），垂直方向之紊流應力發散項遠大於水平方向（$\frac{\partial}{\partial z} \gg \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$）。
• 忽略分子黏滯項與水平紊流擴散項。

水平向量形式：
$\frac{D\bar{\mathbf{V}}_h}{Dt} = -f\mathbf{k}\times\bar{\mathbf{V}}_h - \frac{1}{\bar{\rho}}\nabla_h \bar{p} + \frac{1}{\bar{\rho}}\frac{\partial \boldsymbol{\tau}}{\partial z}$

卡氏座標分量形式（$x$ 為東向，$y$ 為北向，$z$ 為垂直向上）：
$\frac{D\bar{u}}{Dt} - f\bar{v} = -\frac{1}{\bar{\rho}}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x} - \frac{\partial (\overline{u'w'})}{\partial z}$
$\frac{D\bar{v}}{Dt} + f\bar{u} = -\frac{1}{\bar{\rho}}\frac{\partial \bar{p}}{\partial y} - \frac{\partial (\overline{v'w'})}{\partial z}$

2. 各項說明

• $\frac{D\bar{\mathbf{V}}_h}{Dt} = \frac{\partial \bar{\mathbf{V}}_h}{\partial t} + \bar{u}\frac{\partial \bar{\mathbf{V}}_h}{\partial x} + \bar{v}\frac{\partial \bar{\mathbf{V}}_h}{\partial y} + \bar{w}\frac{\partial \bar{\mathbf{V}}_h}{\partial z}$：平均水平氣流之全微分（實質加速度）。
• $-f\mathbf{k}\times\bar{\mathbf{V}}_h$：平均流之柯氏力（Coriolis force），其中 $f = 2\Omega\sin\phi$ 為柯氏參數。
• $-\frac{1}{\bar{\rho}}\nabla_h \bar{p}$：平均水平氣壓梯度力（Pressure Gradient Force, PGF）。

此題主要考察學生對大氣動力學基本方程式的掌握，以及如何推導和理解垂直渦度方程的意義。

核心觀念：
垂直渦度 (vertical vorticity, $\zeta = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$) 是描述流體繞垂直軸旋轉程度的物理量。理解其如何隨時間變化，以及受到哪些物理過程影響，對於分析天氣系統（如氣旋和反氣旋）的發展至關重要。

推導垂直渦度方程：

我們從題目一給定的水平動量方程式（p 座標系）開始：
$\frac{DV}{Dt} + f\mathbf{k} \times V = -\nabla_p \phi$
其中 $V = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}$ 是水平速度，$f$ 是科氏參數，$\phi$ 是重力位。

將方程式寫成向量形式：
$\frac{\partial V}{\partial t} + (V \cdot \nabla)V + f\mathbf{k} \times V = -\nabla_p \phi$

為了得到垂直渦度方程，我們需要計算 $\nabla_p \times V$ (水平速度的旋度)。
首先，計算 $\nabla_p \times (\frac{DV}{Dt})$。
$\frac{DV}{Dt} = \frac{\partial V}{\partial t} + (V \cdot \nabla)V$
$\nabla_p \times (\frac{DV}{Dt}) = \nabla_p \times (\frac{\partial V}{\partial t}) + \nabla_p \times ((V \cdot \nabla)V)$

1. 計算 $\nabla_p \times (\frac{\partial V}{\partial t})$：
   $\nabla_p \times (\frac{\partial V}{\partial t}) = \frac{\partial}{\partial t} (\nabla_p \times V) = \frac{\partial \zeta}{\partial t}$
   其中 $\zeta = \nabla_p \times V$ 是垂直渦度。

2. 計算 $\nabla_p \times ((V \cdot \nabla)V)$：
   這是一個向量的旋度。令 $A = (V \cdot \nabla)V$。
   $V = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}$
   $V \cdot \nabla = u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}$
   $A = (u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y})(u\mathbf{i} + v\mathbf{j})$
   $A_x = (u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y})\mathbf{i}$
   $A_y = (u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y})\mathbf{j}$
   $\nabla_p \times A = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$
   $\frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + u\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} + v\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$
   $\frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}) = \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} + u\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

   $\nabla_p \times ((V \cdot \nabla)V) = (\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + u\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} + v\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}) - (\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} + u\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})$
   整理後，此項可表示為：
   $\nabla_p \times ((V \cdot \nabla)V) = (V \cdot \nabla)\zeta + \zeta (\nabla \cdot V)$
   在不可壓縮流體中，$\nabla \cdot V = 0$，故此項為 $(V \cdot \nabla)\zeta$。
   然而，在大氣中，我們通常在 p 座標系下討論，其連續性方程（或稱流體不可散性條件）為：
   $\nabla_p \cdot V + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0$
   其中 $\omega = \frac{Dp}{Dt}$ 是垂直速度在 p 座標下的形式。
   所以 $\nabla_p \cdot V = -\frac{\partial \omega}{\partial p}$。
   因此，$\nabla_p \times ((V \cdot \nabla)V) = (V \cdot \nabla)\zeta + \zeta (-\frac{\partial \omega}{\partial p})$。

3. 計算 $\nabla_p \times (f\mathbf{k} \times V)$：
   $f\mathbf{k} \times V = f(k \times (u\mathbf{i} + v\mathbf{j})) = f(k \times u\mathbf{i} + k \times v\mathbf{j}) = f(u\mathbf{j} - v\mathbf{i})$
   $\nabla_p \times (f\mathbf{k} \times V) = \nabla_p \times (f u\mathbf{j} - f v\mathbf{i})$
   $= \frac{\partial}{\partial x}(-fv) - \frac{\partial}{\partial y}(fu)$
   $= -f\frac{\partial v}{\partial x} - v\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial u}{\partial y} + u\frac{\partial f}{\partial y}$
   由於 $f = f_0 + \beta y$ (其中 $f_0$ 是在某參考緯度 $y_0$ 的科氏參數，$\beta = \frac{\partial f}{\partial y}$ 是科氏參數的緯度變化率)，假設 $f$ 僅隨 y 變化，則 $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$。
   $= -f(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}) - v\frac{\partial f}{\partial x} + u\frac{\partial f}{\partial y}$
   $= -f\zeta - v(0) + u\beta$
   $= -f\zeta + u\beta$
   (這裡假設 $\frac{\partial f}{\partial y} = \beta$ 且 $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$)

4. 計算 $\nabla_p \times (-\nabla_p \phi)$：
   這是壓力梯度向量的旋度。由於壓力梯度向量 $-\nabla_p \phi$ 是由一個純量 $\phi$ 的梯度構成，梯度向量是保守場，其旋度恆為零。
   $\nabla_p \times (-\nabla_p \phi) = 0$

將所有項組合起來：
$\nabla_p \times (\frac{DV}{Dt}) + \nabla_p \times (f\mathbf{k} \times V) = \nabla_p \times (-\nabla_p \phi)$
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} + (V \cdot \nabla)\zeta + \zeta (\nabla_p \cdot V) + (-f\zeta + u\beta) = 0$
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} + (V \cdot \nabla)\zeta + \zeta (-\frac{\partial \omega}{\partial p}) - f\zeta + u\beta = 0$

整理後得到垂直渦度方程 (Vorticity Equation)：
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} + V \cdot \nabla \zeta + \zeta (\nabla_p \cdot V) - f\zeta + u\beta = -\nabla_p \times (\text{Viscous Force})$ (忽略黏滯力)

此題主要考察學生對 Ertel 位渦和淺水位渦的理解，以及位渦守恆在解釋大氣現象中的應用。

(a) Ertel 位渦 (Potential Vorticity) 與淺水位渦 (Shallow-Water Vorticity) 的定義與意義

Ertel 位渦 (Potential Vorticity, PV)

• 物理定義： Ertel 位渦是 $(-\frac{\partial \phi}{\partial p} \nabla_p \times V + f \frac{\partial V}{\partial p})$ 的一個量，通常表示為：
  $PV = (\zeta + f) \frac{\partial \theta}{\partial p}$ （在 p 座標系下，忽略分子黏滯和熱通量）
  其中：

  • $\zeta$ 是絕對渦度（垂直渦度 $\zeta$ 加上科氏力 $f$）。
  • $\frac{\partial \theta}{\partial p}$ 是單位氣壓變化所對應的位溫變化率，代表了大氣的垂直穩定度。

  更一般的形式（無摩擦、無熱力變化）：
  $PV = (\nabla \times V + 2\Omega) \cdot \nabla \theta$
  其中 $\nabla \times V$ 是速度的旋度，$2\Omega$ 是地球自轉的角速度向量，$\nabla \theta$ 是位溫的梯度。

• 物理意義： Ertel 位渦是一個保守量（在絕熱、無摩擦、無位溫變化的大氣中）。它結合了絕對渦度（流體的旋轉性）和垂直穩定度（單位氣壓變化下的位溫變化率）。

  • 旋轉性： 渦度 $\zeta+f$ 描述了流體塊繞其自身軸線的旋轉。
  • 穩定度： $\frac{\partial \theta}{\partial p}$ 描述了流體塊在垂直方向上的穩定性。如果 $\frac{\partial \theta}{\partial p} > 0$，表示大氣是穩定的，位溫隨高度增加。
  • 保守性： 位渦守恆意味著，當一個流體塊在保守的大氣中移動時，其 PV 值保持不變。這使得 PV 成為一個非常有用的診斷和預報工具。例如，高 PV 值通常與強氣旋性渦旋（如冷心低壓）相關，而低 PV 值可能與暖心高壓或高空輻散區相關。PV 的平流（transport）是理解大尺度天氣系統演變的關鍵。

淺水位渦 (Shallow-Water Vorticity)

• 物理定義： 淺水方程組描述的是一個具有均勻密度的、厚度 $h$ 隨時間和空間變化的流體層。在二維（水平）的情況下，淺水方程組的渦度形式為：
  $\frac{\partial \zeta}{\partial t} + V \cdot \nabla \zeta + \zeta (\nabla \cdot V) = 0$
  這裡：

  • $\zeta = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$ 是二維的垂直渦度。
  • $V = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}$ 是二維速度。
  • $\nabla \cdot V = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$ 是速度場的水平散度。
  • 此方程假設沒有科氏力（或在赤道附近）且流體層厚度 $h$ 的變化被納入了散度項。
  • 如果考慮科氏力，則有 $\frac{\partial \zeta}{\partial t} + V \cdot \nabla \zeta + (\zeta+f)(\nabla \cdot V) = 0$。

• 物理意義： 淺水位渦方程描述了在一個近似均勻厚度的二維流體中，渦度如何隨時間變化。

  • $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$：局地渦度的時間變化。
  • $V \cdot \nabla \zeta$：渦度的平流。
  • $(\zeta+f)(\nabla \cdot V)$：渦度的伸長或壓縮。當流體塊被水平輻合 ($\nabla \cdot V < 0$) 時，渦度會增加；當被輻散 ($\nabla \cdot V > 0$) 時，渦度會減少。
  • 淺水位方程是一個簡化的模型，常用於研究行星波、Rossby波等現象，尤其是在較低緯度或特定尺度下。它主要關注渦度本身的演變，而沒有直接包含垂直穩定度這樣的三維結構信息。

異同點：

• 相同點：

  • 兩者都描述了流體的旋轉性（渦度）的變化。
  • 兩者都包含渦度平流項 ($V \cdot \nabla \zeta$) 和渦度伸長/壓縮項（與散度相關）。
  • 淺水位渦方程在某些情況下（例如，忽略科氏力，或在赤道附近）是 Ertel 位渦方程在特定條件下的近似。

• 不同點：

  • 維度與複雜度： Ertel 位渦是三維的，考慮了垂直結構（位溫梯度 $\frac{\partial \theta}{\partial p}$），而淺水位渦通常是二維的（或一個均勻厚度的三維模型）。
  • 保守性： Ertel 位渦是一個更廣泛的保守量，它結合了旋轉性和穩定度。淺水位渦方程本身是渦度守恆（在沒有外力時），但它描述的是一個簡化的物理系統。
  • 物理過程： Ertel 位渦的保守性是理解大尺度天氣系統（如高空槽脊、極渦）演變的關鍵。淺水位渦則更多用於研究基礎的動力學現象，如行星波的傳播。

此題主要考察學生對斜壓不穩定性的理解，以及準地轉兩層模式在斜壓波發展中的應用。

(a) 斜壓不穩定性與最易發展的斜壓波波長

斜壓不穩定性 (Baroclinic Instability)：

• 定義： 斜壓不穩定性是指在具有緯向溫度梯度（即等壓面與等溫面不平行，存在溫壓梯度場）的大氣中，當滿足一定條件時，擾動（如天氣系統）能夠從平均流中獲得能量並增長。這種不穩定性是中緯度氣旋和反氣旋發展的主要機制。
• 物理機制： 在斜壓大氣中，冷空氣和暖空氣交替出現。如果存在一個擾動，使得暖空氣塊向低緯移動（在水平方向上），同時冷空氣塊向高緯移動，並且這種移動伴隨著垂直方向上的位移（例如，暖空氣塊上升，冷空氣塊下沉），那麼這個擾動就能從水平的溫度梯度中提取能量。
  • 具體來說，暖空氣塊（在高處）相對於其周圍環境具有較高的位溫，而冷空氣塊（在低處）相對於其周圍環境具有較低的位溫。
  • 如果擾動使得暖空氣塊向高處移動（或保持其高處位置但周圍冷空氣下沉），其位溫會比周圍環境高，具有潛在能量。
  • 如果擾動使得冷空氣塊向低處移動（或保持其低處位置但周圍暖空氣上升），其位溫會比周圍環境低，具有潛在能量。
  • 當擾動的運動方向與其所處的環境條件（如溫度梯度、垂直運動）配合時，就能釋放勢能轉化為動能，從而增長。

兩層準地轉模式 (Two-Layer Quasi-Geostrophic Model)：

• 模型簡介： 準地轉兩層模式是一個簡化的二維（或三維）大氣模型，它將大氣分為兩層（例如，上層和下層），並假設在兩層之間的某個中層（例如 500 hPa）風場達到地轉平衡。這種模式被廣泛用於研究斜壓不穩定性和行星波。
• 核心概念： 在這種模式下，斜壓性體現在平均溫度梯度上。通常假設上層溫度高於下層，或者存在緯向溫度梯度。
• 斜壓波 (Baroclinic Wave)： 在兩層模式中，斜壓不穩定性會導致特定波長範圍內的擾動增長。這些增長的擾動被稱為斜壓波。

最容易發展的斜壓波波長：

在標準的準地轉兩層模式中，經過數學推導，可以得出斜壓波的增長率與其波長之間的關係。斜壓波的增長率最大（即最容易發展）對應著一個特定的波長。

• 計算結果： 經過推導，最容易發展的斜壓波波長 $\lambda_{max}$ 與模式的參數有關，包括大氣的平均溫度梯度、科氏參數 $f$、以及模式的層數和垂直尺度。
• 在典型的準地轉兩層模式中，考慮到中緯度地區的參數（例如，平均緯度、溫度梯度），最容易發展的斜壓波的波長大約在 3000 到 4000 公里 之間。
  • 更精確的計算會得到一個具體的值，例如，若取 $f \approx 10^{-4} s^{-1}$，溫度梯度 $\frac{\partial T}{\partial y} \approx 4 K/100km = 40 K/1000km$, 模式尺度，則波長約在 3000-4000 km 範圍內。
  • 這個波長大致對應於中緯度地區主要的鋒面系統和氣旋的尺度。

(b) 解釋為何過長或過短波長的斜壓擾動會穩定下來

斜壓不穩定性只對特定波長範圍內的擾動有利。波長過長或過短的擾動，其增長率會降低，甚至變得穩定。

核心觀念與方程

這題要用準地轉重力位趨勢方程，分辨兩種作用：

1. 地轉絕對渦度平流主要使 500 hPa 槽、脊向下游移動。
2. 差異性厚度平流主要使槽加深或脊增強、減弱。

令 $\Phi$ 為重力位、$\zeta_g$ 為地轉相對渦度、$\sigma$ 為靜力穩定度參數。在 $f_0$ 與 $\sigma$ 近似固定時，重力位趨勢方程可寫為

$$\nabla^2 \Phi_t +\frac{\partial}{\partial p} \left(\frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial \Phi_t}{\partial p}\right) = -f_0\mathbf{V}_g\cdot\nabla(\zeta_g+f) +\frac{\partial}{\partial p} \left[ \frac{f_0^2}{\sigma} \mathbf{V}_g\cdot\nabla\left(-\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right) \right].$$

左側是重力位趨勢的空間與垂直結構；右側第一項代表絕對渦度平流，第二項代表溫度（厚度）平流隨高度的變化。因此，兩個右側項提供趨勢的強迫，重力位趨勢則由整個方程共同決定。準地轉方程的標準形式亦將第二項稱為垂直切變溫度平流項。準地轉重力位趨勢方程講義

北半球中緯度常用的判讀為：

• 正渦度平流（PVA）：通常造成 500 hPa 重力位下降。
• 負渦度平流（NVA）：通常造成 500 hPa 重力位上升。
• 暖平流使氣層厚度增加；冷平流使氣層厚度減少。

解題方法

先依槽、脊軸的上游與下游判斷渦度平流，再看槽、脊下方的厚度平流。最後把兩項合併，判斷趨勢是讓波形平移，還是讓槽脊增強或減弱。

一、渦度平流：使槽脊平移

在中緯度西風帶，槽軸附近的相對渦度較大，脊軸附近則較小。以短波近似而言，槽東側常有正渦度平流，槽西側常有負渦度平流；脊兩側的分布則相反。

500 hPa 區域	渦度平流	重力位趨勢	渦度平流所代表的局地渦度趨勢
槽東側、下游	正渦度平流	重力位下降	正渦度趨勢
槽西側、上游	負渦度平流	重力位上升	負渦度趨勢
脊東側、下游	負渦度平流	重力位上升	負渦度趨勢
脊西側、上游	正渦度平流	重力位下降	正渦度趨勢