115 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《大氣動力學》

核心觀念

本題考查氣塊向赤道移動時的絕對角動量守恆，以及由此造成的相對西風速度變化。

氣塊繞地軸的絕對角動量（單位質量）為

$$M=(\Omega a\cos\phi+u)\,a\cos\phi,$$

其中：

• $\Omega$：地球自轉角速度；
• $a$：地球半徑；
• $\phi$：緯度；
• $u$：相對於地面的 zonal wind，向東為正，即西風 $u>0$；
• $a\cos\phi$：氣塊到地軸的距離。

若忽略摩擦及其他繞地軸的外力矩，則

$$\frac{DM}{Dt}=0.$$

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解題方法

設氣塊原先位於南半球緯度 $\phi_0$，具有西風速度 $U$。其初始絕對角動量為

$$M_0=(\Omega a\cos\phi_0+U)a\cos\phi_0.$$

氣塊向北、亦即向赤道移動至緯度 $\phi_1$。在南半球中，向北移動代表緯度增加，但由於更接近赤道，$\cos\phi$ 增加，因此到地軸的距離

$$r=a\cos\phi$$

變大。

由絕對角動量守恆，

$$(\Omega a\cos\phi_1+u_1)a\cos\phi_1=M_0,$$

所以移動後的相對東西風速度為

$$u_1 = \frac{M_0}{a\cos\phi_1} -\Omega a\cos\phi_1.$$

代入 $M_0$ 得

$$u_1 = \frac{(\Omega a\cos\phi_0+U)a\cos\phi_0} {a\cos\phi_1} -\Omega a\cos\phi_1.$$

整理為

$$u_1 = \Omega a \left( \frac{\cos^2\phi_0}{\cos\phi_1} -\cos\phi_1 \right) + U\frac{\cos\phi_0}{\cos\phi_1}.$$

由於向赤道移動時 $\cos\phi_1>\cos\phi_0$，氣塊的相對西風會減弱。若位移足夠大，$u_1$ 甚至會變成負值，也就是轉為東風。

核心觀念

本題考查自然座標中的梯度風平衡。主要使用：

• 風速 $V$ 沿流線方向的切向分量。
• 曲率半徑 $R$ 所造成的曲率加速度 $V^2/R$。
• 科氏力加速度 $fV$，其中 $f=2\Omega\sin\phi$。
• 水平氣壓梯度力 $$-\frac{1}{\rho}\nabla_h p。$$

梯度風平衡是「氣壓梯度力、科氏力與曲率所需的向心加速度」三者相互平衡的結果。

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自然座標下的動力方程式

取自然座標：

• $s$ 軸沿風向；
• $n$ 軸垂直於風向；
• $R$ 為流線曲率半徑；
• 暫忽略摩擦與垂直運動；
• 假設為定常流，故 $\partial V/\partial t=0$。

沿流線方向的動量方程式為

$$\frac{\partial V}{\partial t} +V\frac{\partial V}{\partial s} =-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}.$$

在梯度風平衡中，沿流線方向沒有加速，因此

$$\frac{\partial p}{\partial s}=0。$$

也就是說，等壓線與流線重合，風沿等壓線吹拂。

在法線方向，流線彎曲所需的向心加速度為

$$\frac{V^2}{R}。$$

因此自然座標下的法向動量方程式可寫成

$$\frac{V^2}{R}+fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n},$$

其中 $n$ 的正方向取為流線左側，$R$ 的正負號依流線彎曲方向決定。這就是自然座標下的梯度風平衡方程式。

若只討論量值，令

$$G=\frac{1}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right|$$

表示氣壓梯度所對應的加速度量值，則梯度風方程式可整理成二次式

$$\frac{V^2}{R}+fV-G=0。$$

其風速解為

$$V= -\frac{fR}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{fR}{2}\right)^2+GR }.$$

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高壓的氣壓梯度上限

對高壓而言，氣壓梯度力指向外側。以北半球為例，正常高壓為反氣旋式環流；異常高壓則為相反方向的環流。無論環流方向如何選取，將法向力平衡改寫為風速量值 $U=|V|$ 後，高壓情況均可化為

$$G=|f|U-\frac{U^2}{R}.$$

其中：

• $|f|U$ 為科氏力項；
• $U^2/R$ 為曲率項；
• 兩者對高壓的可容許氣壓梯度具有相互抵消作用。

將上式視為 $U$ 的二次函數：

$$G(U)=|f|U-\frac{U^2}{R}.$$

其極值由

$$\frac{dG}{dU} = |f|-\frac{2U}{R}=0$$

給出，因此

$$U=\frac{|f|R}{2}.$$

代回即可得最大氣壓梯度加速度：

$$G_{\max} = |f|\left(\frac{|f|R}{2}\right) - \frac{1}{R} \left(\frac{|f|R}{2}\right)^2 = \frac{f^2R}{4}.$$

所以高壓的氣壓梯度量值必須滿足

核心觀念

本題考查：

• 緯向地轉風的垂直於基本氣流方向之位移；
• 科氏力與基本風速梯度造成的慣性振盪；
• 絕對渦度
  $\eta_a=f+\zeta$
  與慣性穩定度的關係。

對緯向風 $U_g(y)$ 而言，相對渦度為

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial U_g}{\partial y}.$$

因此，基本流的絕對渦度為

$$\eta_a=f-\frac{\partial U_g}{\partial y}.$$

慣性不穩定的條件是

$$f\eta_a<0,$$

亦即科氏參數 $f$ 與絕對渦度異號。

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(a) 慣性不穩定條件之推導

1. 基本狀態與地轉平衡

考慮水平、無摩擦、$f$ 平面上的緯向基本流：

$$u=U_g(y),\qquad v=0.$$

水平動量方程式為

$$\frac{Du}{Dt}-fv=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x},$$ $$\frac{Dv}{Dt}+fu=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}.$$

基本流為緯向地轉風，因此

$$fU_g=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}.$$

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2. 讓流體微團產生南北向位移

設一個流體微團由原位置 $y_0$ 向南北方向位移 $\eta$，其南北速度為

$$v=\frac{d\eta}{dt}.$$

流體微團原本具有基本緯向速度 $U_g(y_0)$。位移至 $y_0+\eta$ 後，當地地轉風速近似為

$$U_g(y_0+\eta) \approx U_g(y_0)+\frac{\partial U_g}{\partial y}\eta.$$

令流體微團相對於原基本流的緯向速度擾動為 $u'$，則

$$u=U_g(y_0)+u'.$$

由於基本壓力梯度在 $x$ 方向為零，東西向動量方程式給出

$$\frac{du'}{dt}-fv=0.$$

代入 $v=d\eta/dt$：

$$\frac{du'}{dt} =f\frac{d\eta}{dt}.$$

取初始擾動為零，積分得

$$u'=f\eta.$$

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3. 推導南北向位移方程式

南北向動量方程式為

$$\frac{dv}{dt}+fu =-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}.$$

由基本流的地轉關係，

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} =fU_g(y).$$

因此

$$\frac{dv}{dt}+f\left[U_g(y_0)+u'\right] =fU_g(y_0+\eta).$$

保留一階小量：

$$\frac{dv}{dt}+fu' =f\frac{\partial U_g}{\partial y}\eta.$$

又因為 $v=d\eta/dt$ 且 $u'=f\eta$，所以

$$\frac{d^2\eta}{dt^2}+f^2\eta =f\frac{\partial U_g}{\partial y}\eta.$$

整理得

$$\frac{d^2\eta}{dt^2} +f\left(f-\frac{\partial U_g}{\partial y}\right)\eta=0.$$

定義慣性頻率平方為

$$\omega_I^2 =f\left(f-\frac{\partial U_g}{\partial y}\right).$$

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4. 判斷穩定或不穩定

若

$$\omega_I^2>0,$$

位移方程式為振盪解，流體微團進行慣性振盪，因此基本流對慣性擾動穩定。

若

$$\omega_I^2<0,$$

令

$$\sigma^2=-\omega_I^2>0,$$

則解為

$$\eta\propto e^{\sigma t},$$

本題考查相當位溫（Equivalent Potential Temperature, $T_{e}$）的定義、推導及其在熱力學和天氣學中的應用，特別是與大氣穩定度的關係。

核心觀念：熱力學第一定律、水汽凝結過程、相當位溫的保守性、條件性不穩定。

(a) 相當位溫的推導

相當位溫 $T_e$ 是指將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結成液態水（或冰），然後將其乾絕熱膨脹或壓縮至標準氣壓 $p_0 = 1000$ hPa 時的溫度。它考慮了水汽的潛熱釋放效應，因此比相當溫（Equivalent Temperature, $T_e$）更能反映空氣塊的總熱含量。

推導步驟：

1. 熱力學第一定律：
   對於一個絕熱過程，熱力學第一定律可以表示為：
   $c_p dT = - \frac{1}{\rho} dp + dQ$
   其中 $c_p$ 是定壓比熱，$dT$ 是溫度變化，$\rho$ 是密度，$dp$ 是壓力變化，$dQ$ 是非絕熱過程的熱量變化。
   對於絕熱過程，$dQ=0$。
   $c_p dT = - \frac{1}{\rho} dp$
   由理想氣體定律 $\frac{1}{\rho} = \frac{R_d T}{p}$，代入上式：
   $c_p dT = - \frac{R_d T}{p} dp$
   $\frac{dT}{T} = - \frac{R_d}{c_p} \frac{dp}{p}$
   積分得到乾絕熱過程的關係：
   $T \left(\frac{p}{p_{ref}}\right)^{-R_d/c_p} = \text{constant}$
   其中 $R_d$ 是乾空氣的氣體常數，$c_p$ 是乾空氣的定壓比熱。令 $\kappa = R_d/c_p$。
   $T \left(\frac{p}{p_{ref}}\right)^{-\kappa} = \theta$
   這就是位溫 $\theta$ 的定義。

2. 考慮水汽的潛熱效應：
   當空氣塊中的水汽凝結時，會釋放潛熱，使空氣塊的溫度升高。
   令 $L_v$ 為水汽的潛熱（如果凝結成水）或 $L_s$（如果凝結成冰）。
   在濕絕熱過程中，熱力學第一定律的變化為：
   $c_p dT = - \frac{R_d T}{p} dp + L_v d q_w$
   其中 $dq_w$ 是單位質量空氣中水汽凝結的質量變化（如果 $dq_w > 0$ 表示凝結，則釋放潛熱，使 $T$ 升高）。
   這裡 $q_w$ 是混合比（mixing ratio），表示單位質量乾空氣所含水汽的質量。
   $dq_w$ 是由水汽達到飽和時的變化引起的。

3. 相當位溫 $T_e$ 的定義：
   相當位溫 $T_e$ 是指將空氣塊中的所有水汽（包括未飽和部分）通過絕熱過程凝結，然後將其乾絕熱膨脹或壓縮到標準參考壓力 $p_0$ 時的溫度。
   這個定義比相當溫更精確。

   一個更實用的定義是：
   將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結，釋放的潛熱使空氣的溫度升高。然後，將此「加熱」後的空氣塊，乾絕熱地膨脹或壓縮至標準壓力 $p_0$。此時的溫度即為相當位溫 $T_e$。

   數學推導：
   考慮一個空氣塊，其初始溫度為 $T$，壓力為 $p$，混合比為 $w$。
   首先，假定所有水汽（質量為 $w$）絕熱地凝結。這會釋放潛熱 $L_v w$。
   這個潛熱會使空氣的溫度升高 $\Delta T_{latent}$。
   $c_p \Delta T_{latent} = L_v w$
   $\Delta T_{latent} = \frac{L_v w}{c_p}$
   因此，經過水汽凝結後，空氣的溫度變為 $T' = T + \Delta T_{latent}$。
   這個過程不是嚴格絕熱的，因為潛熱釋放是過程的一部分。

   然後，將此「加熱」後的空氣塊，乾絕熱地膨脹或壓縮至標準壓力 $p_0$。
   我們使用位溫的公式： $\theta = T \left(\frac{p}{p_{ref}}\right)^{-\kappa}$。
   如果我們將溫度從 $T'$ 變化到 $T_e$，壓力從 $p$ 變化到 $p_0$：
   $T_e \left(\frac{p_0}{p_{ref}}\right)^{-\kappa} = T' \left(\frac{p}{p_{ref}}\right)^{-\kappa}$
   $T_e = T' \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\kappa} = \left(T + \frac{L_v w}{c_p}\right) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\kappa}$
   這是一個近似的表達式。

   更精確的相當位溫定義與相當溫（Equivalent Temperature, $T_e^*$）有關。
   相當溫 $T_e^*$ 是指將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結，然後將其溫度升高到 $T_e^*$，此時該空氣塊與周圍空氣處於熱力學平衡（即相當溫相等）。
   相當溫 $T_e^*$ 是通過以下方式定義的：將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結，釋放的潛熱使空氣的溫度升高，然後將其乾絕熱地膨脹到飽和狀態，此時的溫度就是相當溫。

   標準定義：
   相當位溫 $T_e$ 是指將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結，然後將其乾絕熱地膨脹或壓縮至標準壓力 $p_0 = 1000$ hPa 時的溫度。
   這通常由以下公式表示（一個近似公式）：
   $T_e \approx T \exp\left( \frac{L_v w}{c_p T} - \frac{R_d}{c_p} \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) \right)$
   其中 $w$ 是混合比，$L_v$ 是水汽凝結潛熱，$R_d$ 是乾空氣氣體常數，$c_p$ 是乾空氣定壓比熱。

   另一種推導思路：
   相當位溫 $T_e$ 是指當空氣塊中的水汽全部凝結後，若將其乾絕熱地膨脹至某壓力 $p'$，使其溫度與周圍未飽和空氣的溫度相同，則該溫度即為相當溫。

   更常用的相當位溫公式：
   $T_e = T \left(\frac{p_0}{p}\right)^{\kappa} \exp\left( \frac{L_v w}{c_p T_e^*} \right)$
   其中 $T_e^*$ 是相當溫（Equivalent Temperature）。
   相當溫 $T_e^*$ 是指將空氣塊中的水汽全部凝結，然後乾絕熱膨脹到飽和狀態時的溫度。
   $T_e^* = T \exp\left( \frac{L_v w}{c_p T} \right)$
   將 $T_e^*$ 代入 $T_e$ 的公式，並近似 $T_e \approx T_e^*$：
   $T_e \approx T \exp\left( \frac{L_v w}{c_p T} - \frac{R_d}{c_p} \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) \right)$
   這是相當位溫的常用近似公式。
   【答案】相當位溫 $T_e$ 是指將空氣塊中的所有水汽絕熱地凝結，然後將其乾絕熱地膨脹或壓縮至標準壓力 $p_0 = 1000$ hPa 時的溫度。其近似公式為：
   $T_e \approx T \exp\left( \frac{L_v w}{c_p T} - \frac{R_d}{c_p} \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) \right)$
   其中 $T$ 是初始溫度，$p$ 是初始壓力，$w$ 是混合比，$L_v$ 是水汽凝結潛熱，$c_p$ 是乾空氣定壓比熱，$R_d$ 是乾空氣氣體常數，$p_0$ 是標準壓力。

(b) 相當位溫的保守性與條件性不穩定

1. 相當位溫的保守性證明：
   要證明相當位溫 $T_e$ 在濕絕熱過程中是保守的（假設無其他非絕熱過程，如輻射、混合等），我們需要證明 $T_e$ 在濕絕熱變化中保持不變。
   濕絕熱過程的熱力學第一定律：
   $c_p dT = - \frac{R_d T}{p} dp + L_v dw_s$
   其中 $dw_s$ 是單位質量空氣中水汽達到飽和時的混合比變化。
   我們需要將此方程式與相當位溫的定義聯繫起來。

   相當位溫 $T_e$ 的定義可以理解為，將空氣塊中的所有水汽（質量為 $w$）絕熱地凝結，釋放潛熱，溫度升高。然後，再將其乾絕熱地膨脹到標準壓力 $p_0$。
   考慮一個初始狀態 $(T, p, w)$。
   假設所有水汽 $w$ 絕熱地凝結，溫度升高 $\Delta T_{latent} = \frac{L_v w}{c_p}$。
   新的溫度 $T' = T + \Delta T_{latent}$。
   然後，將此狀態 $(T', p)$ 乾絕熱地膨脹到 $p_0$。
   根據乾絕熱過程的位溫公式：
   $\theta = T' \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa}$
   這個 $\theta$ 就是相當位溫 $T_e$。
   $T_e = \left(T + \frac{L_v w}{c_p}\right) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa}$
   這是相當位溫的另一種形式。

   現在，考慮一個濕絕熱過程，從 $(T, p, w)$ 變到 $(T+dT, p+dp, w+dw)$。
   我們需要證明 $dT_e = 0$。
   $dT_e = d\left[ \left(T + \frac{L_v w}{c_p}\right) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa} \right]$
   $dT_e = \left(dT + \frac{L_v dw}{c_p}\right) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa} + \left(T + \frac{L_v w}{c_p}\right) (-\kappa) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa-1} \frac{dp}{p_0}$
   $dT_e = \left(dT + \frac{L_v dw}{c_p}\right) \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa} - \left(T + \frac{L_v w}{c_p}\right) \kappa \left(\frac{p}{p_0}\right)^{-\kappa} \frac{dp}{p}$
   我們知道濕絕熱過程的熱力學第一定律：
   $c_p dT = - \frac{R_d T}{p} dp + L_v dw$
   $dT = - \frac{R_d T}{c_p p} dp + \frac{L_v}{c_p} dw$
   將 $dT$ 代入 $dT_e$ 的表達式：

本題考查半地轉（Semigeostrophic）理論和準地轉（Quasigeostrophic）理論的適用範圍及其在處理動量和能量方程上的差異。

核心觀念：尺度分析、近似方法、地轉平衡、準地轉理論、半地轉理論。

解題過程：

1. 半地轉理論（Semigeostrophic Theory）的應用：

半地轉理論是一種尺度分析方法，它考慮了不同尺度運動的相對重要性。在半地轉理論中，我們認為水平尺度和時間尺度與地轉尺度相近，但垂直尺度和垂直運動可能相對較大。

• 適用天氣系統： 半地轉理論特別適用於描述中尺度天氣系統，例如：

  • 鋒面（Fronts）： 鋒面區域存在較大的溫度梯度和較強的垂直運動，但其水平尺度和時間尺度仍然與地轉尺度（幾千公里，幾天）相當。
  • 對流單體（Convective cells）： 雖然對流單體本身是小尺度系統，但其發展和移動會受到大尺度環境的影響，半地轉理論可以描述這種相互作用。
  • 中尺度對流系統（Mesoscale Convective Systems, MCS）： 如線狀對流系統（squall lines）和對流複合體（convective complexes）。

• 處理水平動量方程式：
  在半地轉理論中，水平動量方程式中的科氏力項被保留，但氣壓梯度力項的處理方式有所不同。它通常保留了完整的水平動量方程，但進行了近似處理，以簡化計算。
  半地轉理論的核心思想是，雖然垂直速度可能很大，但水平運動仍然近似地轉平衡。然而，它比準地轉理論更精確地處理了水平動量守恆，特別是在非地轉效應顯著的區域。
  半地轉理論保留了科氏力項 $fv$ 和 $fu$（其中 $f$ 是科氏參數，$v$ 是南北向速度，$u$ 是東西向速度），以及水平氣壓梯度力項 $\frac{1}{\rho}\nabla p$。
  它與地轉平衡的區別在於，它允許存在非地轉的水平加速度（即 $\frac{du}{dt} \neq 0$ 和 $\frac{dv}{dt} \neq 0$），但它通常假設水平運動的尺度和時間尺度與地轉尺度相當。

• 處理熱力能量方程：
  半地轉理論在處理能量方程時，通常會保留完整的熱力學第一定律，包括潛熱釋放等效應。它可以更精確地描述中尺度系統中的能量轉換過程。

2. 準地轉理論（Quasigeostrophic Theory）的應用：

準地轉理論是另一種尺度分析方法，它假設水平尺度和時間尺度遠大於垂直尺度和垂直運動。它基於一個更強的近似：水平運動近似地轉平衡。

• 適用天氣系統： 準地轉理論主要適用於描述大尺度天氣系統，例如：

  • 溫帶氣旋（Temperate cyclones）： 包括其發展、移動和演變。
  • 高空槽脊（Upper-level troughs and ridges）： 描述大尺度波動的傳播。
  • 行星尺度波動（Planetary-scale waves）： 如羅斯貝波（Rossby waves）。

• 處理水平動量方程式：
  準地轉理論的核心近似是：水平運動近似地轉平衡。這意味著水平氣壓梯度力與科氏力大致平衡。
  $-\frac{1}{\rho}\nabla p \approx f\mathbf{k} \times \mathbf{v}$
  因此，準地轉理論不直接解水平動量方程式，而是從這個平衡關係出發，推導出準地轉渦度方程和熱力方程。它忽略了水平加速度項（$\frac{du}{dt}$ 和 $\frac{dv}{dt}$），以及非地轉的水平風。
  準地轉理論主要描述的是由溫度梯度和渦度梯度驅動的系統演變。

• 處理熱力能量方程：
  準地轉理論中的熱力方程通常是基於相當位溫（或相當溫）的變化率。它描述了由於溫度平流和垂直運動導致的相當位溫的變化。
  準地轉理論的熱力方程通常是：
  $\frac{\partial \theta}{\partial t} + \mathbf{v}_g \cdot \nabla \theta + w_q N^2 = 0$
  其中 $\theta$ 是位溫，$w_q$ 是準地轉垂直速度，$N^2$ 是布伊西內斯頻率（衡量大氣的靜力穩定度）。
  然而，在處理濕空氣時，相當位溫 $T_e$ 的變化更為重要。準地轉理論的熱力方程會考慮相當位溫的平流和濕絕熱過程。

3. 主要區別總結：

特徵	半地轉理論（Semigeostrophic）	準地轉理論（Quasigeostrophic）

核心觀念

本題考查淺水位渦守恆與山脈地形對氣柱厚度的作用。淺水方程中，無摩擦、無加熱且流體為均勻密度時，位渦

$$q=\frac{\zeta+f}{h}$$

沿氣柱守恆，其中：

• $\zeta$：相對渦度；
• $f$：行星渦度；
• $h$：氣柱有效厚度，即自由大氣層底部至上界之間的厚度。

在北半球，$\zeta>0$ 代表氣旋式渦度，$\zeta<0$ 代表反氣旋式渦度。

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山脈造成的位渦變化

設未受山脈影響時，氣柱厚度為 $H$，且基本氣流為均勻流，因此初始相對渦度近似為零：

$$q_0=\frac{f}{H}.$$

氣流爬升山脈時，地形高度增加，使有效氣柱厚度減小：

$$h<H.$$

由位渦守恆，

$$\frac{\zeta+f}{h}=\frac{f}{H},$$

因此

$$\zeta+f=f\frac{h}{H},$$ $$\zeta=f\left(\frac{h}{H}-1\right)<0.$$

所以，氣流越過山脈時，氣柱受到壓縮，會產生反氣旋式相對渦度。

氣流越過山脊後進入背風側，氣柱重新變厚。為維持位渦守恆，流場必須重新調整其相對渦度，形成山脈兩側的旋轉環流。其中，在北半球西風越過寬大山脈時，背風側較容易形成氣旋式環流與低壓槽，這就是地形造成的背風側旋生。

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西風與東風的比較

可將山脈及其兩側的主要渦度配置概略表示如下。

西風由西向東：

$$\text{西側迎風面}\quad \longrightarrow \quad \boxed{\text{山脈：反氣旋式}}\quad \longrightarrow \quad \boxed{\text{東側背風面：氣旋式}}$$

西風越過山脈時，山脈上方主要為反氣旋式地形響應，而氣旋式渦度中心位於山脈下游，也就是背風側。因此，背風側容易出現低壓、輻合及旋生。

東風由東向西時，整個地形誘發的渦度配置相對於山脈左右兩側反轉：

$$\text{東側迎風面}\quad \longleftarrow \quad \boxed{\text{山脈：反氣旋式}}\quad \longleftarrow \quad \boxed{\text{西側背風面：較偏反氣旋式}}$$

本題考查準地轉（Quasigeostrophic, QG）理論中的重力位趨勢方程（Geopotential Tendency Equation），並要求分析地轉渦度平流（vorticity advection）和厚度平流（thickness advection）如何影響 500 hPa 槽脊系統的地轉重力位變化。

核心觀念：準地轉理論、重力位趨勢方程、渦度平流、厚度平流、槽脊系統、天氣系統的發展。

解題過程：

1. 準地轉重力位趨勢方程：
   準地轉理論導出的重力位趨勢方程（或稱位勢趨勢方程）描述了在某一等壓面（例如 500 hPa）上，重力位高度（或位勢高度）隨時間的變化率。這個方程是理解天氣系統發展的關鍵。
   該方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\Phi_{ref} - \Phi) + \omega_g S_T$
   或者，更常見的形式是基於渦度和相當位溫（或溫度）的變化：
   $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\zeta_g + f) + f \frac{\partial \omega}{\partial p}$
   這個方程與重力位趨勢方程有關。

   準地轉重力位趨勢方程的標準形式：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \frac{\partial \Phi}{\partial p}$
   其中 $\frac{\partial \Phi}{\partial p}$ 是重力位的垂直梯度，與溫度梯度有關。
   更常用的形式是：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \frac{\partial \Phi}{\partial p}$
   或者，考慮到 $\frac{\partial \Phi}{\partial p} = -RT/p$。
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left(-\frac{RT}{p}\right)$
   這裡的 $\mathbf{v}_g$ 是地轉風，$\omega_g$ 是準地轉垂直速度，$p$ 是壓力，$T$ 是溫度。

   基於渦度和厚度的形式：
   通常，重力位趨勢方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\Phi - \Phi_{ref}) + \omega_g S_T$
   其中 $\Phi$ 是重力位，$\mathbf{v}_g$ 是地轉風，$\omega_g$ 是準地轉垂直速度，$S_T = - \frac{R T}{p} \frac{\partial \ln \theta}{\partial z}$ 是靜力穩定參數。
   更常用且與題目相關的形式是：
   $\frac{\partial \Phi_{500}}{\partial t} = \mathbf{v}_{g,500} \cdot \nabla_p (\Phi_{500} - \Phi_{ref}) - \omega_{g,700} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial p}\right)_{700}$
   其中下标表示壓力面。

   與渦度和厚度相關的形式：
   重力位趨勢方程可以寫成：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g S$
   其中 $S$ 是靜力穩定參數。
   通過尺度分析和一些推導，重力位趨勢方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \frac{R T}{p}$
   或者，更直接與渦度和厚度相關的形式是：
   $\frac{\partial \Phi_{500}}{\partial t} = \mathbf{v}_{g,500} \cdot \nabla (\Phi_{500}) + \omega_{g,700} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)_{700}$
   其中 $\left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)$ 與溫度有關。

   關鍵方程：
   重力位趨勢方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)$
   其中 $\omega$ 是垂直速度（在壓力座標系下）。
   利用地轉關係 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi = \zeta_g \omega_q$ （其中 $\omega_q$ 是準地轉垂直速度）和 $\frac{\partial \Phi}{\partial p} = -\frac{R T}{p}$。
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \zeta_g \omega_q - \omega \frac{R T}{p}$
   其中 $\zeta_g$ 是地轉渦度。

   最直接的聯繫是：
   準地轉重力位趨勢方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \frac{R T}{p}$
   或者，更常見的理解是：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \text{Advection of Geopotential} + \text{Vertical Motion effect}$
   其中 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$ 是重力位的平流。

   與渦度和厚度相關的方程：
   準地轉理論中，重力位趨勢方程可以表示為：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g S$
   其中 $S = - \frac{R}{p} \frac{\partial T}{\partial z}$ (或 $\frac{\partial \theta}{\partial p}$) 是靜力穩定參數。
   這個方程可以進一步推導，與渦度和厚度聯繫起來。
   重力位趨勢方程的關鍵形式：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \frac{R T}{p}$
   或者
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \frac{\partial \Phi}{\partial p}$
   其中 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$ 代表重力位的平流。
   而 $\omega_g \frac{\partial \Phi}{\partial p}$ 代表垂直運動對重力位趨勢的貢獻。

   關鍵方程：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)$
   或者，更為人熟知的形式是：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$
   其中 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$ 是重力位的平流項，$\omega_g \frac{R T}{p}$ 是垂直運動項。

   將其與渦度和厚度聯繫起來：

   • 地轉渦度平流（Vorticity Advection）：
     準地轉渦度方程為：
     $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\zeta_g + f) + f \frac{\partial \omega_g}{\partial p}$
     其中 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla (\zeta_g + f)$ 是地轉渦度的平流。
     重力位趨勢方程與渦度方程之間存在聯繫。
     通過推導，可以得到：
     $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$
     其中 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$ 是重力位的平流。
     另外一個形式是：
     $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)$
     根據準地轉關係， $\frac{\partial \Phi}{\partial p} = -\frac{RT}{p}$。
     所以 $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \frac{RT}{p}$。

     關鍵聯繫：
     重力位趨勢方程可以表示為：
     $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \text{Advection of Geopotential} + \text{Effect of Vertical Motion}$
     其中，重力位趨勢的增加（$\frac{\partial \Phi}{\partial t} > 0$）意味著高壓的發展或脊的加強。
     重力位趨勢的減小（$\frac{\partial \Phi}{\partial t} < 0$）意味著低壓的發展或槽的加強。

     地轉渦度平流 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g$：
     當 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g < 0$（即地轉風將渦度小的區域吹向渦度大的區域，或將渦度大的區域吹向渦度小的區域），這會影響 $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t}$。
     在重力位趨勢方程中，我們關注的是 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$。

   • 差異性的厚度平流（Differential Thickness Advection）：
     大氣的厚度（例如，某兩壓力層之間的垂直距離）與平均溫度有關。
     $\Delta z = z_1 - z_2 = \frac{R}{g} \bar{T} \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)$
     厚度平流是指溫度平流（或相當位溫平流）導致的厚度變化。
     當暖空氣平流時，厚度增加；當冷空氣平流時，厚度減小。
     差異性的厚度平流是指不同高度層的厚度平流存在差異。
     準地轉方程中的熱力方程表明：
     $\frac{\partial T}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla T + \omega_g S$
     或者，更準確地，使用相當位溫。
     差異性厚度平流的影響：
     當暖平流（溫度增加）發生在較低高度，而冷平流（溫度減小）發生在較高高度時，這會導致中高層的重力位高度增加得更快，或者低層的重力位高度增加得更慢。
     這個效應與垂直運動有關。
     重力位趨勢方程與厚度平流的聯繫：
     $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$
     其中 $T$ 可以看作是厚度的指標。
     差異性厚度平流意味著 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T$ 在不同高度是不一樣的。

   將兩者結合到重力位趨勢方程：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \frac{R T}{p}$
   我們可以將 $\omega_g$ 表示為渦度和厚度的函數。
   通過準地轉方程組，可以推導出：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega_g \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)$
   其中 $\frac{\partial \Phi}{\partial p} \propto -T$。
   所以，$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \frac{RT}{p}$。
   這個方程表明，重力位高度的變化率取決於兩項：

   1. 重力位的平流（$\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$）： 如果地轉風將重力位高度高的區域（脊）吹向重力位高度低的區域（槽），則該區域的重力位高度會增加。反之，如果將重力位高度低的區域吹向高的區域，則重力位高度會減小。
   2. 垂直運動效應（$\omega_g \frac{R T}{p}$）： 如果是上升運動（$\omega_g < 0$，在壓力座標系下），並且溫度 $T$ 較高，則會導致重力位高度增加。

   現在，將其應用於 500 hPa 槽脊系統。
   我們主要關注 500 hPa 的重力位高度變化 $\frac{\partial \Phi_{500}}{\partial t}$。
   方程可以簡化為：
   $\frac{\partial \Phi_{500}}{\partial t} = \mathbf{v}_{g,500} \cdot \nabla \Phi_{500} + \omega_{g,700} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)_{700}$
   其中 $\mathbf{v}_{g,500}$ 是 500 hPa 的地轉風，$\omega_{g,700}$ 是 700 hPa 的準地轉垂直速度，$\left( \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right)_{700}$ 與 700 hPa 的溫度有關。

   分析槽（Trough）和脊（Ridge）系統：

   • 槽（Trough）： 500 hPa 地形圖上，重力位高度低值區。槽通常與冷空氣平流和低壓系統相關。
   • 脊（Ridge）： 500 hPa 地形圖上，重力位高度高值區。脊通常與暖空氣平流和高壓系統相關。

   影響因素：

   1. 地轉渦度平流 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g$：
      雖然題目問的是重力位趨勢，但渦度平流是影響天氣系統發展的重要因素，它間接影響重力位趨勢。

      • 槽中心（低渦度）： 通常位於脊的東側。
      • 脊中心（高渦度）： 通常位於槽的西側。
      • 槽西側（冷平流，負渦度平流）： 地轉風將渦度小的區域（例如脊的西部）吹向渦度大的區域（例如槽的西部），這會導致 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g < 0$。
      • 槽東側（暖平流，正渦度平流）： 地轉風將渦度大的區域（例如槽的東部）吹向渦度小的區域（例如脊的東部），這會導致 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g > 0$。

      重力位趨勢與渦度平流的聯繫：
      在準地轉渦度方程中， $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} = - \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\zeta_g + f) + f \frac{\partial \omega_g}{\partial p}$。
      如果 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla (\zeta_g + f) < 0$（負渦度平流），則 $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} > 0$，渦度增加。
      這通常發生在槽的西部。
      渦度的增加與重力位的變化有關。

   2. 差異性厚度平流（Differential Thickness Advection）：
      這意味著不同高度層的溫度平流不同。

      • 暖平流（Temperature Advection > 0）： 暖空氣被平流到某區域。
      • 冷平流（Temperature Advection < 0）： 冷空氣被平流到某區域。
        在 500 hPa 槽脊系統中，我們通常關注的是 1000-500 hPa 或 850-500 hPa 的厚度（平均溫度）。
      • 槽前的暖平流： 在 500 hPa 槽的東側（迎風坡），通常有來自南方的暖平流。這會導致 500 hPa 的重力位高度增加。
      • 槽後的冷平流： 在 500 hPa 槽的西側（背風坡），通常有來自北方的冷平流。這會導致 500 hPa 的重力位高度減小。
      • 脊前的冷平流： 在 500 hPa 脊的西側，通常有來自北方的冷平流，導致重力位高度減小。
      • 脊後的暖平流： 在 500 hPa 脊的東側，通常有來自南方的暖平流，導致重力位高度增加。

   具體分析 500 hPa 槽和脊系統：

   槽（Trough）：

   • 槽中心： 通常是低壓中心，重力位高度低。
     • 槽的東側： 暖平流（來自南方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。這導致厚度增加，進一步加深低壓（如果考慮地面），或使 500 hPa 重力位高度增加。同時，通常伴隨上升運動 ($\omega_g < 0$)，如果溫度較高，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為負，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 減小。
     • 槽的西側： 冷平流（來自北方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。這導致厚度減小，使 500 hPa 重力位高度減小。同時，通常伴隨下沉運動 ($\omega_g > 0$)，如果溫度較低，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為正，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 增加。
     • 渦度平流： 在槽的西部，通常是負渦度平流（冷平流伴隨），導致渦度增加。在槽的東部，通常是正渦度平流（暖平流伴隨），導致渦度減小。

   脊（Ridge）：

   • 脊中心： 通常是高壓中心，重力位高度高。
     • 脊的東側： 冷平流（來自北方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。這導致厚度減小，使 500 hPa 重力位高度減小。同時，通常伴隨下沉運動 ($\omega_g > 0$)，如果溫度較低，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為正，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 增加。
     • 脊的西側： 暖平流（來自南方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。這導致厚度增加，使 500 hPa 重力位高度增加。同時，通常伴隨上升運動 ($\omega_g < 0$)，如果溫度較高，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為負，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 減小。
     • 渦度平流： 在脊的西部，通常是正渦度平流（暖平流伴隨），導致渦度減小。在脊的東部，通常是負渦度平流（冷平流伴隨），導致渦度增加。

   綜合分析：
   重力位趨勢方程： $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$。

   • 槽的發展（加深）：

     • 槽的西部： 通常是冷平流（厚度減小）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。同時，可能伴隨上升運動 ($\omega_g < 0$)。如果溫度較低，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為負，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 減小。
     • 槽的東部： 通常是暖平流（厚度增加）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。同時，可能伴隨下沉運動 ($\omega_g > 0$)。如果溫度較高，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為正，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 增加。
     • 總結： 槽的東側（暖平流和可能的下沉運動）導致重力位高度趨勢為正（增加），槽會向東發展（加深）。槽的西側（冷平流和可能的上升運動）導致重力位高度趨勢為負（減小），槽會向西發展（減弱）。

   • 脊的發展（加強）：

     • 脊的西部： 通常是暖平流（厚度增加）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。同時，可能伴隨上升運動 ($\omega_g < 0$)。如果溫度較高，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為負，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 減小。
     • 脊的東側： 通常是冷平流（厚度減小）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。同時，可能伴隨下沉運動 ($\omega_g > 0$)。如果溫度較低，則 $\omega_g \frac{R T}{p}$ 為正，使 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 增加。
     • 總結： 脊的東側（冷平流和可能的下沉運動）導致重力位高度趨勢為正（增加），脊會向東發展（加強）。脊的西側（暖平流和可能的上升運動）導致重力位高度趨勢為負（減小），脊會向西發展（減弱）。

   地轉渦度平流和差異性厚度平流的影響：

   • 地轉渦度平流： 負渦度平流（例如在槽的西部）導致渦度增加，這通常與冷平流和槽的加深有關。正渦度平流（例如在槽的東部）導致渦度減小。
   • 差異性厚度平流： 這是關鍵。
     • 暖平流在低層，冷平流在高層： 導致厚度增加，有利於高層脊的發展和低層槽的加深。
     • 冷平流在低層，暖平流在高層： 導致厚度減小，不利於脊的發展。
       在 500 hPa 槽脊系統中，我們關注的是 500 hPa 的趨勢。
     • 槽的東側： 暖平流（來自南方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。這會導致 500 hPa 的重力位高度趨勢為正（發展）。
     • 槽的西側： 冷平流（來自北方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。這會導致 500 hPa 的重力位高度趨勢為負（減弱）。
     • 脊的西部： 暖平流（來自南方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T > 0$。這會導致 500 hPa 的重力位高度趨勢為正（發展）。
     • 脊的東側： 冷平流（來自北方）， $\mathbf{v}_g \cdot \nabla T < 0$。這會導致 500 hPa 的重力位高度趨勢為負（減弱）。

   重力位趨勢方程的解釋：
   $\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi + \omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$

   • 平流項 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi$：

     • 槽的東側：地轉風將高 $\Phi$ 值（來自南部脊的西部）吹向低 $\Phi$ 值（槽中心），所以 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi < 0$。
     • 槽的西側：地轉風將低 $\Phi$ 值（槽中心）吹向高 $\Phi$ 值（來自西部脊），所以 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi > 0$。
     • 脊的西部：地轉風將高 $\Phi$ 值（脊中心）吹向低 $\Phi$ 值（槽），所以 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi < 0$。
     • 脊的東側：地轉風將低 $\Phi$ 值（槽）吹向高 $\Phi$ 值（脊中心），所以 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla \Phi > 0$。

   • 垂直運動項 $\omega_g \left( \frac{R T}{p} \right)$：

     • 槽的東側：通常有暖平流，溫度 $T$ 較高。同時，通常伴隨上升運動 ($\omega_g < 0$)。所以 $\omega_g \frac{R T}{p} < 0$。
     • 槽的西側：通常有冷平流，溫度 $T$ 較低。同時，通常伴隨下沉運動 ($\omega_g > 0$)。所以 $\omega_g \frac{R T}{p} > 0$。