114 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班一般生《大氣動力學》

核心觀念

本題綜合考查：

• 自然座標中的切向、法向動量方程式。
• 梯度風平衡與氣旋流的判斷。
• 垂直動量方程式與靜力平衡的尺度分析。
• Rossby number 對科氏力重要性的判斷。
• 梯度風熱力風關係，以及強烈颱風暖心低壓的結構。

以下取法向單位向量 $\hat{n}$ 指向流線曲率中心。對北半球氣旋而言，流線曲率中心位於運動方向的左側，因此 $\hat{n}=\hat{k}\times\hat{t}$。

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(a) 自然座標下的梯度風平衡

解題方法

令水平速度寫成

$$\vec{V}=V\hat{t},$$

其中 $V=|\vec{V}|$，$\hat{t}$ 為流線切向單位向量，$\hat{n}$ 為指向曲率中心的法向單位向量。

自然座標中的水平加速度為

$$\frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{DV}{Dt}\hat{t} + \frac{V^2}{R}\hat{n},$$

其中 $R$ 為流線曲率半徑。科氏力為

$$f\hat{k}\times\vec{V} = fV\hat{n}.$$

因此原方程式

$$\frac{D\vec{V}}{Dt} + f\hat{k}\times\vec{V} = -\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec{F}$$

可分解為切向與法向兩個分量。

切向分量

$$\frac{DV}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} + F_s,$$

其中 $s$ 為流線切向座標，$F_s$ 為摩擦力的切向分量。

法向分量

$$\frac{V^2}{R}+fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} + F_n.$$

若為穩定流，且法向摩擦力相對較小，即 $F_n\approx 0$，則得到梯度風平衡：

$$\boxed{ \frac{V^2}{R}+fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} }$$

這就是自然座標下的梯度風平衡方程。

其中：

• $\dfrac{V^2}{R}$ 為曲率造成的向心加速度。
• $fV$ 為科氏力的法向分量。
• $-\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial p}{\partial n}$ 為法向氣壓梯度力。

對北半球氣旋而言，$\hat{n}$ 指向內側，中心氣壓較低，因此

$$\frac{\partial p}{\partial n}<0,$$

右側氣壓梯度力指向中心，與向心加速度方向一致。

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(b) 垂直運動方程式與靜力平衡

垂直運動方程式

取 $z$ 軸鉛直向上，垂直速度為 $w$，則垂直動量方程式為

$$\boxed{ \frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} -g+F_z }$$

其中 $F_z$ 為摩擦力的垂直分量。

在大氣中，分子摩擦力的垂直分量通常很小，因此可近似寫成

$$\frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} -g.$$

尺度分析

垂直加速度的尺度可表示為

$$\frac{Dw}{Dt}\sim \frac{W}{T},$$

或以水平尺度 $L$、水平速度 $U$ 與垂直尺度 $H$ 估計：

$$T\sim \frac{L}{U}, \qquad W\sim \frac{UH}{L},$$

所以

$$\frac{Dw}{Dt} \sim \frac{U^2H}{L^2}.$$

若

$$\left|\frac{Dw}{Dt}\right|\ll g,$$

且垂直摩擦力可以忽略，垂直動量方程式中垂直加速度相對於重力與垂直氣壓梯度力很小，便可得到靜力平衡：

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g=0.$$

因此

$$\boxed{ \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g }$$

這是靜力平衡方程。

適用情況

靜力平衡適用於水平尺度遠大於垂直尺度、垂直運動相對緩慢的大尺度天氣系統，例如：

• 溫帶氣旋。
• 高壓系統。
• 大尺度颱風環流的多數區域。

在雷暴核心、強烈對流上升氣流或非常小尺度的劇烈運動中，垂直加速度可能不可忽略，便不能直接採用靜力平衡。

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(c) 強烈颱風暴風圈為氣旋流平衡

解題方法

梯度風方程式中的主要法向力為：

• 曲率慣性力：$\dfrac{V^2}{R}$。
• 科氏力：$fV$。

比較兩者大小：

$$\frac{V^2/R}{fV} = \frac{V}{fR}.$$

定義以颱風尺度為基礎的 Rossby number：

$$Ro=\frac{V}{fR}.$$

因此：

• $Ro\ll 1$：科氏力重要，接近地轉平衡。
• $Ro\sim 1$：曲率慣性力與科氏力都重要，為梯度風平衡。
• $Ro\gg 1$：曲率慣性力遠大於科氏力，接近氣旋流平衡。

強烈颱風暴風圈具有很大的風速 $V$ 與很小的曲率半徑 $R$。以典型數值估計：

$$V\sim 50\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad R\sim 50\ \mathrm{km}, \qquad f\sim 5\times 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}},$$

則

$$Ro = \frac{50}{(5\times10^{-5})(5\times10^4)} \approx 20.$$

此時

$$\frac{V^2}{R}\gg fV.$$

因此梯度風方程式可簡化為

$$\frac{V^2}{R} \approx -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}.$$

這就是氣旋流平衡：