114 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《地球物理學》

此題考驗對地震學基本觀念的理解，包含地震活動性、地震學測量方法、重力異常與地震規模定義。

(a) 台灣地區規模2以下的小地震數量增加，主要原因並非全球暖化，而是儀器設備的進步與地震觀測網的密度提高，使得過去無法偵測到的微小地震現在能被記錄下來。全球暖化與微小地震數量增加之間沒有直接的科學證據支持。

(b) 折射震測 (Seismic Refraction) 的基本原理是利用地震波在不同介質界面發生折射的現象來推斷地下地層結構。它主要分析的是地震波從震源傳出，經過地下不同介質層的折射後，在不同距離的接收器上最先到達的波，也就是「初達波」(First Arrival)。透過初達波的走時曲線，可以計算出各介質層的速度結構。雖然理論上也可以分析後續到達的波，但初達波是其核心分析對象，因為它直接反映了最上層介質的速度。因此，說「只使用」初達波來分析是比較精確的說法。

(c) 布歇 (Bouguer) 異常是重力異常的一種，它考慮了地表地形和上方或下方質量體的影響。絕對重力值 (Absolute Gravity) 是在某一點測量到的實際重力加速度。

此題考驗對地震規模、地震構造探測方法以及地震震度的理解。

(a) 兩種規模的獲取與差異：

• 芮氏規模 (ML, Richter Magnitude):

  • 獲取方式： 主要依賴地震儀記錄的地震波最大振幅，並考慮地震與測站之間的距離進行修正。公式通常是 $ML = \log_{10}(A) - \log_{10}(A_0)$，其中 A 是記錄到的最大水平位移振幅（通常是S波或L波），$A_0$ 是距離地震站100公里處標準伍德安德森地震儀所記錄到的單位振幅。
  • 適用性： 主要適用於近距離、規模較小的地震。對於遠距離或大地震，飽和效應明顯，估計的規模會偏低。

• 震矩規模 (Mw, Moment Magnitude):

  • 獲取方式： 震矩規模是基於地震矩 (Seismic Moment, $M_0$) 計算的，地震矩是描述地震源物理特性的更全面的指標。其計算公式為 $M_0 = \mu \cdot A \cdot D$，其中 $\mu$ 是岩石的剪切模量，A 是斷層的破裂面積，D 是斷層的平均滑動量。震矩規模的定義為 $Mw = \frac{2}{3} \log_{10}(M_0) - 10.7$ (單位為 dyne-cm)。
  • 適用性： 適用於各種規模的地震，尤其對於大地震，其結果比芮氏規模更準確、不飽和。

• 規模差異原因：

  1. 測量方法不同： ML 依賴最大振幅，容易受測站距離和地震大小影響而飽和；Mw 依賴地震矩，能更全面反映斷層的物理參數（面積、滑動量、岩石性質），因此更為可靠，特別是對於大地震。
  2. 飽和效應： 對於大地震，芮氏規模的測量會出現飽和現象，即地震規模增大，但記錄到的最大振幅增長趨緩，導致ML低估了地震的真實能量。Mw則不受此限制。
  3. 物理基礎不同： ML 是一個經驗公式，而 Mw 則有更堅實的物理基礎，直接與斷層的破裂過程相關。

(b) 協助釐清無明顯地表破裂大規模地震發震構造的地球物理方法：

此類地震通常發生在地下深處，或斷層破裂未延伸至地表，因此需要藉助地下結構探測技術。

1. 地震層析成像 (Seismic Tomography):

   • 原理： 利用大地地震網或密集佈設的臨時地震觀測網，記錄大量天然地震或人工震源產生的地震波（P波、S波）穿過地殼和上地幔的走時資料。通過分析地震波的到達時間與理論走時的差異，可以反演出地下不同區域的地震波速度結構。速度異常區（高速度區常與較冷的、剛性的地體相關；低速度區常與較熱的、較軟的地體或含流體區域相關）可以指示出地殼應力集中、岩石性質變異或斷層帶的展佈。
   • 所需資料： 大量天然地震的精確地震目錄（包括震源位置、時間、震相資訊），以及接收這些地震波的地面觀測站資料。
   • 可提供訊息： 地下深處斷層帶的展佈、岩石圈的溫度結構、地殼的應力場分佈、可能存在的岩漿庫或流體通道等。對於釐清發震構造，可以識別出與斷層帶展佈相關的速度異常帶。

2. 大地電磁法 (Magnetotellurics, MT):

   • 原理： 利用地球天然存在的電磁場（低頻的變化）與地下的電導率/電阻率分佈之間的關係來反演地下結構。地下電導率的變化與岩石的孔隙度、裂隙度、含水量、溫度以及礦物成分有關。高導帶（低阻帶）通常與含流體（尤其是鹽水）的斷層帶、變質帶或高溫區域相關。

此題考驗對 Gutenberg-Richter (G-R) 律的理解，包括其圖形表示和參數的物理意義。

(a) G-R 律的圖形表示：

G-R 律的關係式為 $\log_{10} N = a - bM$。
這是一個線性關係，其中 $\log_{10} N$ 是因變數，M 是自變數。
我們可以將其視為一個斜率為 -b，y 軸截距為 a 的直線方程式。

• 座標軸：

  • 橫軸 (x-axis) 表示地震規模 M (Magnitude)。
  • 縱軸 (y-axis) 表示規模大於 M 的地震數量 N 的對數 ($\log_{10} N$)。

• 直線特性：

  • 斜率 (Slope): -b。由於 b 值通常為正，因此直線是向下傾斜的，表示隨著地震規模 M 的增加，規模大於 M 的地震數量 N 會呈指數級下降。
  • y 軸截距 (y-intercept): a。當 M = 0 時，$\log_{10} N = a$，因此 $N = 10^a$。這表示規模大於 0 的地震數量，或可理解為在某個基準地震規模 (M=0) 下的總地震發生頻率。

• 繪製草圖：

  1. 畫出兩條互相垂直的座標軸，標記橫軸為 M (Magnitude)，縱軸為 $\log_{10} N$。
  2. 在縱軸上標記一個點，代表 a。
  3. 從點 a 開始，畫一條向下傾斜的直線。
  4. 線上標示出斜率為 -b。
  5. 可以標示出幾個點，例如當 M 增加時，$\log_{10} N$ 減小。如果 M 增加 1，則 N 減少到原來的 $10^{-b}$ 倍。

圖例說明：

      ^ log10(N)
      |
      |       a  (y-intercept)
      |      /
      |     /
      |    /
      |   / -b (slope)
      |  /
      | /
      +----------------------> M (Magnitude)
      0

（請注意，這是一個文字描述的草圖，實際繪製時應為一條直線，斜率為負。）

(b) a 值和 b 值的地震物理意義：

此題考驗對牛頓萬有引力定律與向心力關係的理解，以及如何利用地表重力加速度計算地球質量。

核心觀念：
在地球表面，物體所受的重力是由地球對物體的萬有引力提供的。同時，由於地球自轉，這個重力實際上是萬有引力減去物體隨地球自轉所需的向心力（忽略地球自轉影響時，則重力即為萬有引力）。在本題中，給定了「地表平均重力值」，通常在未特別說明時，指的就是物體在地表所受的「視重力加速度」，即 $g$。若忽略地球自轉效應，則可近似認為 $g$ 就是地球對地表物體的萬有引力加速度。

解題步驟：

1. 列出相關公式：

   • 牛頓萬有引力定律：兩個質量為 $M$ 和 $m$ 的物體，相距 $r$，則它們之間的引力大小為 $F_{gravity} = G \frac{Mm}{r^2}$。
   • 重力加速度：物體在地表受到的重力加速度 $g$ 可以由萬有引力除以物體質量得到：$g = \frac{F_{gravity}}{m} = G \frac{M}{r^2}$。
   • 題目中給定的地表平均重力值 $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$。
   • 地球半徑 $r = 6371 \, \text{km}$。需要轉換為公尺：$r = 6371 \times 10^3 \, \text{m}$。
   • 萬有引力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$。
   • 待求：地球質量 $M$。

2. 代入數值並求解 M：
   從公式 $g = G \frac{M}{r^2}$，我們可以重新整理出地球質量 $M$：
   $M = \frac{g \cdot r^2}{G}$

3. 計算：

   • $r^2 = (6371 \times 10^3 \, \text{m})^2 = (6.371 \times 10^6 \, \text{m})^2 = 40.589641 \times 10^{12} \, \text{m}^2$
   • $M = \frac{(9.81 \, \text{m/s}^2) \cdot (40.589641 \times 10^{12} \, \text{m}^2)}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}}$

此題考驗對電阻法(Resistivity Method)與大地電磁法(Magnetotellurics, MT)這兩種常用地球電物理探勘方法的掌握程度，包含其原理、測量條件與資料呈現方式。

電阻法 (Resistivity Method)

(a) 基本原理：
電阻法探勘是利用地下岩層或土壤的電阻率差異來推斷地質構造。其基本原理是通過在地面施加一對電流電極（A, B），向地下注入電流，然後在另外一對電位電極（M, N）之間測量電位差。根據歐姆定律 ($V=IR$) 和電場/電位關係，可以計算出地下介質的視電阻率 ($\rho_a$)。視電阻率的測量值會受到地下電阻率、電極排列方式、以及地下電性不均勻體（如含水層、礦體、斷層帶）的影響。通過改變電極排列方式和佈設範圍，可以獲得不同深度和空間範圍的電性結構資訊。

(b) 野外施測條件：

• 儀器： 需要電阻率儀（能發射直流或低頻交流電，並測量電位差）、電流電極（如銅棒）、電位電極（如不銹鋼棒）、電纜線、捲尺、GPS（用於記錄測點座標）。
• 供電： 通常使用直流電或低頻率（如 10-100 Hz）的交流電，以避免地電場的自然變化干擾。對於較深層的探勘，可能需要較大的注入電流或較長的電極距，這需要較強的電源。
• 環境： 避免在有強烈人為電場干擾的區域（如變電站、鐵路線附近）進行測量。地形對測量佈設有影響，陡峭地形可能需要特殊佈設方式。土壤的濕度、鹽度也會影響電阻率值。
• 電極排列： 有多種排列方式，如施倫貝謝 (Schlumberger)、偶極-偶極 (Dipole-dipole)、等電位線 (Equipotential) 等，選擇何種方式取決於探勘目標（深度、分辨率）。電極距越大，探測深度越深。

(c) 分析結果如何展示：

• 視電阻率剖面圖 (Apparent Resistivity Pseudo-section): 這是最常見的展示方式。將測量到的視電阻率值，根據相應電極的中心點位置和等效深度（與電極距有關）繪製在一個二維圖上。該圖並非真實的電阻率分佈，而是對地下電性結構的一種近似呈現，其中較亮的顏色（高值）代表高電阻率，較暗的顏色（低值）代表低電阻率。
• 真電阻率剖面圖 (True Resistivity Section): 通過反演計算（使用軟體進行二維或三維模型反演），可以獲得更接近真實地下電阻率分佈的剖面圖。這可以更清晰地展示地下地層的界面、斷層帶、含水層等。
• 電阻率等值線圖 (Contour Map): 在平面上，將特定深度或特定視電阻率值的點連接成等值線，用於展示水平方向的電性變化。

大地電磁法 (Magnetotellurics, MT)

核心觀念

本題考查利用走時曲線辨識震波，以及區分臨界距離與交叉距離。走時—距離圖中，直線的斜率為傳播速度的倒數：斜率越小，代表速度越快。

採用標準的水平雙層模型：上層厚度為 $h$、波速為 $v_1$，下層波速為 $v_2$，且 $v_2>v_1$；震源與接收器均位於地表。依司乃耳定律，臨界入射角 $i_c$ 滿足

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}.$$

解題方法

圖中橫軸為距離 $x$，縱軸為走時 $t$，未標示數值刻度與單位。Ray₁ 是通過原點的直線；Ray₂ 是斜率較小、向左延伸具有正走時截距的直線；Ray₃ 則從正走時起始，隨距離增加逐漸接近 Ray₁。

1. Ray₁：直達波

直達波直接沿上層由震源傳至接收器，其走時為

$$t_1=\frac{x}{v_1}.$$

因此曲線通過原點，斜率為 $1/v_1$，符合圖中的 Ray₁。

2. Ray₂：頭波（臨界折射波）

震波以臨界角入射至下層界面，沿界面以 $v_2$ 傳播，並向上層輻射能量到達接收器。

上下穿越上層的兩段路徑，總長度為 $2h/\cos i_c$；沿界面的路徑長度則為 $x-2h\tan i_c$。因此實際走時為

$$t_2=\frac{2h}{v_1\cos i_c} +\frac{x-2h\tan i_c}{v_2}.$$

利用 $\sin i_c=v_1/v_2$ 化簡：

$$\begin{aligned} t_2 &=\frac{x}{v_2} +\frac{2h}{v_1\cos i_c} -\frac{2h\tan i_c}{v_2}\\ &=\frac{x}{v_2}+\frac{2h\cos i_c}{v_1}. \end{aligned}$$

所以 Ray₂ 的斜率為 $1/v_2$，小於 Ray₁ 的斜率。其截距時間為

$$t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

須注意：$t_i$ 是走時直線延伸至 $x=0$ 的截距；上下穿越上層的實際走時為 $2h/(v_1\cos i_c)$，兩者不同。

3. Ray₃：反射波

震波在上、下層界面反射後返回地表。水平界面下，反射點位於震源與接收器的中點，總路徑長度為