114 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《普通化學》

這題主要在考驗學生對基礎化學定律的理解。需要逐一闡述每個定律的內容與意義。

(A) Raoult's Law (拉午耳定律)：
此定律描述理想溶液中，溶質的蒸氣壓與其莫耳分率的關係。對於理想溶液，其總蒸氣壓是各組分蒸氣壓的總和，而各組分的蒸氣壓等於其純蒸氣壓乘以其在溶液中的莫耳分率。
數學表示為：$P_{total} = \sum_{i} P_i = \sum_{i} x_i P_i^{\circ}$
其中，$P_{total}$ 為總蒸氣壓，$P_i$ 為組分 i 的蒸氣壓，$x_i$ 為組分 i 的莫耳分率，$P_i^{\circ}$ 為組分 i 的純蒸氣壓。
【答案】拉午耳定律指出，在理想溶液中，溶液的蒸氣壓等於其各組分蒸氣壓的總和，而每一組分的蒸氣壓等於該組分的純蒸氣壓乘以其在溶液中的莫耳分率。

(B) Boyle's Law (波以耳定律)：
此定律描述在定溫下，定量的氣體，其壓力與體積成反比。
數學表示為：$P \propto \frac{1}{V}$ 或 $PV = k$ (常數)
其中，P 為壓力，V 為體積，k 為常數。
【答案】波以耳定律說明，在定溫下，一定質量的氣體，其壓力與體積成反比。

這題主要在考驗學生對基礎化學術語的理解。需要逐一闡述每個名詞的定義。

(A) Activation Energy (活化能)：
活化能是指化學反應發生時，反應物分子必須克服的最低能量障礙。只有當反應物分子的動能達到或超過活化能時，才能發生有效的碰撞，進而轉化為產物。
【答案】活化能是使化學反應能夠發生的最低能量，是反應物分子在碰撞時必須具備的能量。

(B) Mass Number (質量數)：
質量數是指原子核中質子數與中子數的總和。它代表了原子核的主要質量。
數學表示為：$Mass Number = Proton Number + Neutron Number$
【答案】質量數是原子核中質子數和中子數的總和，代表了原子原子的總質量。

本題考驗學生對氣體溶解於水以及酸鹼平衡的應用。需要結合亨利定律和弱酸解離平衡來計算。

首先，利用亨利定律計算溶解在雨滴中的 $H_2CO_3$ 的濃度。
亨利定律的公式為 $C = k_H P_{gas}$。
在這裡，$C$ 是 $H_2CO_3$ 的濃度，$k_H$ 是亨利定律常數，$P_{CO_2}$ 是二氧化碳的分壓。
$C_{H_2CO_3} = K_H \times P_{CO_2}$
$C_{H_2CO_3} = (3.4 \times 10^{-2} \, M \, atm^{-1}) \times (0.00042 \, atm)$
$C_{H_2CO_3} = 1.428 \times 10^{-5} \, M$

接下來，利用弱酸解離平衡計算 $HCO_3^{-}$ 的濃度。
給定的 pH 值為 6.0，因此溶液中的氫離子濃度為：
$[H^{+}] = 10^{-pH} = 10^{-6.0} \, M$

第二個平衡反應是 $H_2CO_3 \rightleftharpoons HCO_3^{-} + H^{+}$，其酸解離常數 $K_{a1}$ 為 $4.5 \times 10^{-7} \, M$。

核心觀念

本題考查：

1. 化學方程式的配平：反應前後各元素的原子數必須相等。
2. 化學計量關係：平衡方程式中的係數比，等於各物質反應或生成的莫耳數比。
3. 同種物質的消去：$H_2O$ 同時出現在反應物與生成物時，可先消去兩側相同的部分。

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（A）配平化學方程式

原式為：

$$CO_2+H_2O\rightarrow C_6H_{12}O_6+H_2O+O_2$$

由於 $H_2O$ 同時出現在反應物與生成物，先將兩側各消去一個 $H_2O$，得到淨反應式：

$$CO_2+H_2O\rightarrow C_6H_{12}O_6+O_2$$

設葡萄糖係數為 $1$。

1. 配平碳元素

右側有 $6$ 個碳原子，因此左側需要 $6CO_2$：

$$6CO_2+H_2O\rightarrow C_6H_{12}O_6+O_2$$

2. 配平氫元素

右側葡萄糖含有 $12$ 個氫原子，因此左側需要 $6H_2O$：

$$6CO_2+6H_2O\rightarrow C_6H_{12}O_6+O_2$$

3. 配平氧元素

左側氧原子總數為：

$$6(2)+6(1)=18$$

右側葡萄糖含有 $6$ 個氧原子，剩餘 $12$ 個氧原子形成氧氣，因此需要：

$$\frac{12}{2}=6$$

個 $O_2$。

所以淨配平方程式為：

$$\boxed{6CO_2+6H_2O\rightarrow C_6H_{12}O_6+6O_2}$$

若題目要求保留原式中生成物側的 $H_2O$，則可將消去的 $H_2O$ 加回右側：

核心觀念

本題考查酸性水溶液中的氧化還原反應配平，需同時符合：

1. 原子守恆：反應前後各元素的原子數相等。
2. 電荷守恆：反應前後總電荷相等。
3. 氧化數變化：
   • $Fe^{2+}\rightarrow Fe^{3+}$，氧化數由 $+2$ 升至 $+3$，失去 $1e^-$，屬於氧化。
   • $Cr_2O_7^{2-}\rightarrow Cr^{3+}$，鉻由 $+6$ 降至 $+3$，得到電子，屬於還原。

因為反應式含有 $H^+$，應採用酸性溶液半反應法配平。

解題方法

1. 配平鐵的半反應

鐵離子由 $Fe^{2+}$ 變成 $Fe^{3+}$：

$$Fe^{2+}\rightarrow Fe^{3+}+e^-$$

左右兩側鐵原子數相等，電荷也相等：

• 左側電荷：$+2$
• 右側電荷：$+3-1=+2$

因此鐵的半反應為：

$$Fe^{2+}\rightarrow Fe^{3+}+e^-$$

2. 配平重鉻酸根的半反應

先寫出骨架：

$$Cr_2O_7^{2-}\rightarrow Cr^{3+}$$

配平鉻原子

左側有 $2$ 個鉻，因此右側放置 $2Cr^{3+}$：

$$Cr_2O_7^{2-}\rightarrow 2Cr^{3+}$$

配平氧原子

左側有 $7$ 個氧，在右側加入 $7H_2O$：

$$Cr_2O_7^{2-}\rightarrow 2Cr^{3+}+7H_2O$$

配平氫原子

右側 $7H_2O$ 含有 $14$ 個氫，在左側加入 $14H^+$：

$$Cr_2O_7^{2-}+14H^+\rightarrow 2Cr^{3+}+7H_2O$$

配平電荷

目前：

• 左側總電荷：$-2+14=+12$
• 右側總電荷：$2(+3)=+6$

左側比右側多 $6$ 個正電荷，因此在左側加入 $6e^-$，使兩側電荷皆為 $+6$：

本題考驗學生對酸鹼中和反應的計算，以及 pH 和 pOH 的定義。

首先，計算 HCl 和 NaOH 的莫耳數。
HCl 是強酸，NaOH 是強鹼。它們會發生完全中和反應。
反應式：$HCl(aq) + NaOH(aq) \rightarrow NaCl(aq) + H_2O(l)$

1. 計算 HCl 的莫耳數 (n(HCl))：
   $n(HCl) = 體積 \times 濃度$
   $n(HCl) = (20.0 \, mL) \times (0.100 \, M)$
   將體積換算為公升：$20.0 \, mL = 0.0200 \, L$
   $n(HCl) = (0.0200 \, L) \times (0.100 \, mol/L) = 0.00200 \, mol$

2. 計算 NaOH 的莫耳數 (n(NaOH))：
   $n(NaOH) = 體積 \times 濃度$
   $n(NaOH) = (25.0 \, mL) \times (0.200 \, M)$
   將體積換算為公升：$25.0 \, mL = 0.0250 \, L$
   $n(NaOH) = (0.0250 \, L) \times (0.200 \, mol/L) = 0.00500 \, mol$

3. 判斷過量的反應物：
   由於 HCl 和 NaOH 的莫耳數比例是 1:1，且 $n(NaOH) > n(HCl)$ (0.00500 mol > 0.00200 mol)，所以 NaOH 是過量的。
   過量的 NaOH 的莫耳數為：
   $n(NaOH)_{excess} = n(NaOH) - n(HCl)$

本題考驗學生對二級反應速率定律的理解，以及如何推導其半衰期公式。

二級反應的速率定律為 $-d[A]/dt = k[A]^2$。
我們需要對此微分方程式進行積分，以找到 $[A]$ 與時間 $t$ 的關係。

將方程式改寫為：
$\frac{d[A]}{[A]^2} = -k \, dt$

對兩邊進行積分，從 $t=0$ (此時 $[A] = [A]_0$) 到任意時間 $t$ (此時 $[A] = [A]_t$)：
$\int_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{d[A]}{[A]^2} = \int_{0}^{t} -k \, dt$

積分左邊：
$\int \frac{1}{[A]^2} d[A] = \int [A]^{-2} d[A] = \frac{[A]^{-1}}{-1} = -\frac{1}{[A]}$
所以，$\int_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{d[A]}{[A]^2} = [-\frac{1}{[A]}]_{[A]_0}^{[A]_t} = (-\frac{1}{[A]_t}) - (-\frac{1}{[A]_0}) = \frac{1}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_t}$

本題考驗學生將不同單位的氣體濃度（ppb, 單位體積分子數, 質量濃度）轉換為相同的單位（例如莫耳濃度或單位體積莫耳數），以便進行比較。

首先，我們需要將所有濃度單位轉換為相同的基準，例如莫耳濃度 (M) 或單位體積的莫耳數 (mol/cm³)。由於題目給了溫度和壓力，並且提供了氣體常數，我們可以利用理想氣體定律 $PV=nRT$ 來進行轉換。

給定條件：
Temperature (T) = 25°C = 25 + 273.15 = 298.15 K
Pressure (P) = 1 atm
Universal gas constant (R) = 0.082 L atm K⁻¹ mole⁻¹
MW of CO = 28 g/mole

1. 轉換單位：
我們需要將 ppb、分子數/cm³ 和 µg/m³ 都轉換成 mol/L 或 mol/cm³。
由於 R 的單位是 L atm K⁻¹ mole⁻¹，使用 L 作為體積單位較為方便。

• ppb (parts per billion)：
  ppb 通常指體積比或莫耳比。在氣體混合物中，體積比等於莫耳比。
  200 ppb 意味著每 $10^9$ 體積單位中，有 200 體積單位（或莫耳）的 CO。
  我們可以將其理解為：200 莫耳 CO / $10^9$ 莫耳總氣體。
  或者，在相同的溫度和壓力下，200 體積單位 CO / $10^9$ 體積單位總氣體。
  為了將其轉換為莫耳濃度，我們需要知道總氣體的莫耳濃度。
  利用理想氣體定律計算總氣體的莫耳濃度：
  $n/V = P/(RT)$
  $n/V = (1 \, atm) / (0.082 \, L \, atm \, K^{-1} \, mole^{-1} \times 298.15 \, K)$
  $n/V \approx 1 / 24.465 \, mol/L \approx 0.04087 \, mol/L$ (這是總氣體的莫耳濃度)

  所以，200 ppb 的 CO 濃度為：
  Concentration of CO (M) = (200 / $10^9$) $\times$ (總氣體莫耳濃度)
  Concentration of CO (M) = ($2 \times 10^{-7}$) $\times$ (0.04087 mol/L)
  Concentration of CO (M) $\approx 8.174 \times 10^{-9} \, mol/L$

  或者，我們可以計算 1 莫耳氣體在 1 atm, 25°C 下的體積：
  $V/n = RT/P = (0.082 \, L \, atm \, K^{-1} \, mole^{-1} \times 298.15 \, K) / (1 \, atm) \approx 24.465 \, L/mole$
  200 ppb 表示每 $10^9$ L 總氣體中有 200 L CO。
  這意味著 CO 的體積百分比是 $200 \times 10^{-9}$。
  在相同的 P 和 T 下，體積比等於莫耳比。
  所以，CO 的莫耳分數 $x_{CO} = 200 \times 10^{-9} = 2 \times 10^{-7}$。
  CO 的莫耳濃度 $[CO] = x_{CO} \times (\text{總氣體莫耳濃度})$
  $[CO] = (2 \times 10^{-7}) \times (0.04087 \, mol/L) \approx 8.174 \times 10^{-9} \, mol/L$

• 單位體積分子數 (molecules cm⁻³)：
  5.0×10^12 molecules cm⁻³
  首先，將 cm³ 轉換為 L。1 L = 1000 cm³。
  5.0×10^12 molecules / cm³ = 5.0×10^12 molecules / (0.001 L) = 5.0×10^15 molecules / L
  接下來，將分子數轉換為莫耳數。1 mole = $6.022 \times 10^{23}$ molecules (亞佛加厥常數 $N_A$)。
  Concentration of CO (mol/L) = (5.0×10^15 molecules/L) / ($6.022 \times 10^{23}$ molecules/mol)
  Concentration of CO (mol/L) $\approx 8.303 \times 10^{-9} \, mol/L$

• 質量濃度 (µg m⁻³)：
  168 µg m⁻³
  首先，將 µg 轉換為 g：168 µg = $168 \times 10^{-6}$ g。