114 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《普通物理學》

此題為基礎觀念題，旨在測試考生對普通物理學中重要名詞的理解。
(1) 熵 (Entropy, $S$): 熵是描述一個系統無序程度或隨機性的物理量。在統計力學中，熵與系統微觀狀態的數量相關；在熱力學中，熵的增量定義為系統吸收或放出的熱量除以其絕對溫度（對於可逆過程）。根據熱力學第二定律，孤立系統的熵永不減少，總是趨向於增加或保持不變。
【答案】系統無序程度的度量。

(2) 角動量 (Angular Momentum, $L$): 角動量是描述物體繞軸運動的物理量，類似於直線運動中的動量。對於一個質點，其角動量定義為位置向量 $\vec{r}$ 與其動量 $\vec{p}$ 的向量叉積，即 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$。對於一個剛體繞固定軸轉動，其角動量為轉動慣量 $I$ 與角速度 $\omega$ 的乘積，即 $L = I\omega$。在沒有外力矩作用下，系統的總角動量守恆。
【答案】物體繞參考點轉動的慣性量度，等於其位置向量與動量的叉積，或對於剛體為轉動慣量與角速度的乘積。

(3) 重力位能 (Gravitational Potential Energy, $U_g$): 重力位能是指物體因其在重力場中的位置而具有的能量。在地球表面附近，物體在高度 $h$ 處的重力位能常定義為 $U_g = mgh$，其中 $m$ 是質量，$g$ 是重力加速度。在更廣泛的範圍內，兩個質量為 $M$ 和 $m$ 的物體，相距為 $r$ 時，它們之間的重力位能定義為 $U_g = -\frac{GMm}{r}$，其中 $G$ 是萬有引力常數。重力位能是保守力做功的量度，做正功時位能減少，做負功時位能增加。
【答案】物體因其在重力場中的位置所具有的能量，通常定義為 $mgh$ 或 $-\frac{GMm}{r}$。

(4) 克卜勒定律 (Kepler's Laws): 克卜勒定律是描述行星繞太陽運動的三個經驗定律：

此題考查卡諾循環的熱力學過程與功的計算。卡諾循環由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成，是熱機效率最高的理想循環。

首先，我們需要了解卡諾循環各個階段的特徵：
過程 I (A → B): 等溫膨壓過程，溫度為 $T_1$。氣體從體積 $V_A$ 膨脹到 $V_B$。
過程 II (B → C): 絕熱膨脹過程。氣體從體積 $V_B$ 膨脹到 $V_C$，溫度從 $T_1$ 降到 $T_2$。
過程 III (C → D): 等溫壓縮過程，溫度為 $T_2$。氣體從體積 $V_C$ 壓縮到 $V_D$。
過程 IV (D → A): 絕熱壓縮過程。氣體從體積 $V_D$ 壓縮到 $V_A$，溫度從 $T_2$ 升到 $T_1$。

根據熱力學第一定律 $\Delta U = Q - W$。對於理想氣體，內能 $U$ 只與溫度有關。

過程 I (A → B): 等溫膨脹
在此過程中，溫度保持恆定 ($T_1$)。對於理想氣體，內能變化 $\Delta U_I = 0$。
根據熱力學第一定律，$\Delta U_I = Q_1 - W_I = 0$，所以 $W_I = Q_1$。
等溫過程的功為 $W_I = \int_{V_A}^{V_B} P dV$。由於 $PV = nRT_1$ (理想氣體狀態方程式)，所以 $P = \frac{nRT_1}{V}$。
$W_I = \int_{V_A}^{V_B} \frac{nRT_1}{V} dV = nRT_1 \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)$
由於是膨脹過程，體積增加，所以 $W_I > 0$。

過程 II (B → C): 絕熱膨脹
在此過程中，沒有熱量交換 ($Q_{II} = 0$)。
根據熱力學第一定律，$\Delta U_{II} = Q_{II} - W_{II} = -W_{II}$。
對於絕熱過程，$PV^\gamma = \text{constant}$，其中 $\gamma$ 是絕熱指數 (定壓莫耳熱容與定容莫耳熱容之比)。
絕熱膨脹過程的功為 $W_{II} = \frac{P_B V_B - P_C V_C}{\gamma - 1}$。
由於 $P_B V_B = nRT_1$ 且 $P_C V_C = nRT_2$，且 $P_B V_B^\gamma = P_C V_C^\gamma$，所以
$W_{II} = \frac{nRT_1 - nRT_2}{\gamma - 1} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$
由於是膨脹過程，且 $T_1 > T_2$，所以 $W_{II} > 0$。

過程 III (C → D): 等溫壓縮
在此過程中，溫度保持恆定 ($T_2$)。對於理想氣體，內能變化 $\Delta U_{III} = 0$。
根據熱力學第一定律，$\Delta U_{III} = Q_3 - W_{III} = 0$，所以 $W_{III} = Q_3$。
等溫過程的功為 $W_{III} = \int_{V_C}^{V_D} P dV$。由於 $PV = nRT_2$，所以 $P = \frac{nRT_2}{V}$。
$W_{III} = \int_{V_C}^{V_D} \frac{nRT_2}{V} dV = nRT_2 \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right)$
由於是壓縮過程，體積減小，所以 $V_D < V_C$，因此 $\ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) < 0$，故 $W_{III} < 0$。
通常我們計算外界對系統做的功，如果定義系統對外做的功為正，則此處的 $W_{III}$ 應為負值。

此題考查牛頓第二運動定律的應用。題目給予了小貨車的重量（重力），以及作用在其上的淨力，要求計算其質量與加速度。

首先，我們需要區分重量和質量。重量是物體受到的重力，是一個力，單位是牛頓 (N)。質量是物體慣性的量度，單位是公斤 (kg)。它們之間的關係是 $W = mg$，其中 $W$ 是重量，$m$ 是質量，$g$ 是重力加速度。

(1) 計算質量：
題目給予小貨車的重量為 $W = 2.49 \times 10^4 \text{ N}$。
我們知道重力加速度 $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ (在地球表面)。
利用關係式 $W = mg$，我們可以計算出質量 $m$：
$m = \frac{W}{g}$
$m = \frac{2.49 \times 10^4 \text{ N}}{9.8 \text{ m/s}^2}$
$m \approx 2540.8 \text{ kg}$
為了方便計算，如果使用 $g \approx 10 \text{ m/s}^2$，則 $m = \frac{2.49 \times 10^4}{10} = 2.49 \times 10^3 \text{ kg} = 2490 \text{ kg}$。

此題考查熱傳導與熱平衡的觀念。當兩種不同溫度的物質接觸時，熱量會從高溫物體傳遞到低溫物體，直到兩者達到相同的溫度，即熱平衡。在此過程中，高溫物體放出的熱量等於低溫物體吸收的熱量（假設沒有熱量散失到環境中）。

我們設：
$m_c = 0.3 \text{ kg}$ (咖啡的質量)
$T_{c,i} = 70^\circ \text{C}$ (咖啡的初始溫度)
$c_c = 4190 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1}$ (咖啡的比熱)

$m_{al} = 0.12 \text{ kg}$ (鋁杯的質量)
$T_{al,i} = 20^\circ \text{C}$ (鋁杯的初始溫度)
$c_{al} = 910 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1}$ (鋁杯的比熱)

設最後的平衡溫度為 $T_f$。
請注意，溫度差的計算，攝氏度與克耳文度是相同的，因為 $\Delta T (\text{K}) = \Delta T (^\circ \text{C})$。所以我們可以直接使用攝氏度進行計算。

咖啡放出的熱量 $Q_{c,out}$ 為：
$Q_{c,out} = m_c c_c (T_{c,i} - T_f)$
鋁杯吸收的熱量 $Q_{al,in}$ 為：

此題考查動量守恆定律和動量變化量的計算。由於滑車在無摩擦力軌道上對撞，系統所受的合外力為零，因此總動量守恆。

首先，我們需要定義速度的方向。題目中提到兩台滑車「朝向彼此」對撞，假設 A 滑車的初始速度為 $\vec{v}_{A,i}$，B 滑車的初始速度為 $\vec{v}_{B,i}$。若我們定義 A 滑車的初始運動方向為正，則 B 滑車的初始運動方向為負。
所以，$\vec{v}_{A,i} = +2 \text{ m s}^{-1}$。
由於 B 滑車朝向 A 滑車運動，所以 $\vec{v}_{B,i} = -2 \text{ m s}^{-1}$。

已知質量：
$m_A = 0.5 \text{ kg}$
$m_B = 0.3 \text{ kg}$

已知初始速度：
$v_{A,i} = +2 \text{ m s}^{-1}$
$v_{B,i} = -2 \text{ m s}^{-1}$

已知 B 滑車的末速度：
$v_{B,f} = +2 \text{ m s}^{-1}$

(1) 計算 A 滑車的末速度 ($v_{A,f}$):
根據動量守恆定律，系統的總動量在碰撞前後保持不變：
總初始動量 = 總末動量
$m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}$

代入已知數值：
$(0.5 \text{ kg})(+2 \text{ m s}^{-1}) + (0.3 \text{ kg})(-2 \text{ m s}^{-1}) = (0.5 \text{ kg}) v_{A,f} + (0.3 \text{ kg})(+2 \text{ m s}^{-1})$