111 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班在職生《普通物理學》

本題考查位移、平均速度與平均速率的定義。

核心觀念：

• 位移 (Displacement)：從起始點到結束點的直線距離與方向，是向量。
• 平均速度 (Average Velocity)：總位移除以總時間，是向量。
• 平均速率 (Average Speed)：總路徑長除以總時間，是純量。

解題步驟：
設學校為原點 (0,0)。向南為正方向。

(1) 前 2 小時的位移：
甲生在 2 小時內向南騎了 50 公里。
位移 $\vec{\Delta r}_1 = 50 \text{ km}$ (向南)。

【答案】50 公里 (向南)

(2) 前 2 小時的平均速度：
平均速度 $\vec{v}_{avg,1} = \frac{\vec{\Delta r}_1}{\Delta t_1}$
$\vec{v}_{avg,1} = \frac{50 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 25 \text{ km/h}$ (向南)。

【答案】25 公里/小時 (向南)

(3) 回程的平均速度：
回程距離與前進距離相同，都是 50 公里。
回程時間 $\Delta t_{回程} = 1.5 \text{ h}$。
回程位移 $\vec{\Delta r}_{回程} = -50 \text{ km}$ (因為是往北，與預設的南向相反)。

本題考查一維直線運動的速度與位移關係，以及求極值的方法。

核心觀念：

• 速度是位移對時間的微分：$v(t) = \frac{dy(t)}{dt}$。
• 物體達到最大（或最小）高度時，其垂直速度為零。
• 求函數極值的方法：令其導函數為零。

解題步驟：
給定的高度函數為 $y(t) = 95.0t - 5.0t^2$。

(1) 該模型火箭速度之時間函數：
速度是高度對時間的微分。
$v(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(95.0t - 5.0t^2)$
$v(t) = 95.0 - 5.0 \times (2t)$
$v(t) = 95.0 - 10.0t$

【答案】$v(t) = 95.0 - 10.0t$ (單位: 公尺/秒)

(2) 何時速度為零：
令速度函數 $v(t) = 0$ 來求解時間 $t$。
$95.0 - 10.0t = 0$
$10.0t = 95.0$
$t = \frac{95.0}{10.0} = 9.5$ 秒。

【答案】9.5 秒

本題考查自由落體運動的運動學方程式。

核心觀念：
自由落體運動是等加速度直線運動的一種，其加速度為重力加速度 $g$ (方向向下)。
在不考慮空氣阻力時，物體僅受重力作用。

解題步驟：
我們定義向下為正方向，並假設物體從靜止開始運動。
起始點為高度 $H$ 處，但我們通常以自由落體開始的點作為參考點，即位移的起始點為 $y=0$。

1. 位移隨時間的變化：
   等加速度直線運動的位移公式為：
   $y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
   在此，我們將自由落體的起始點設為 $y_0 = 0$。
   初速度 $v_0 = 0$ (因為是自由落下)。
   加速度 $a = g = 9.8 \text{ m/s}^2$ (向下為正)。
   因此，位移 $y$ (從起始點算起向下移動的距離) 隨時間 $t$ 的變化為：
   $y(t) = 0 + (0)t + \frac{1}{2} g t^2$
   $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$
   代入 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$:
   $y(t) = \frac{1}{2} (9.8) t^2 = 4.9 t^2$

   如果題目意指「離地高度」的變化，則情況不同。設地面為 $y=0$，則起始離地高度為 $H$。
   自由落體開始後，物體向下的位移為 $4.9t^2$。

本題考查牛頓第二運動定律在火箭發射問題上的應用。

核心觀念：

• 牛頓第二運動定律：$\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$，合外力等於質量乘以加速度。
• 重量 (Weight)：物體所受的重力，其大小為 $W = mg$。
• 推力 (Thrust)：火箭引擎對外噴射氣體所產生的反作用力，方向通常向上。

解題步驟：

1. 確定火箭的質量 $m$：
   題目給的是總重量為 $8 \times 10^5$ 公斤。這裡的「公斤」應該是指質量，而非重量單位（牛頓）。因此，火箭的質量 $m = 8 \times 10^5 \text{ kg}$。

2. 計算火箭所受的重力 $W$：
   重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$。
   重力 $W = mg = (8 \times 10^5 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2)$
   $W = 78.4 \times 10^5 \text{ N} = 7.84 \times 10^6 \text{ N}$。
   此重力方向向下。

3. 確定火箭受到的合外力 $\Sigma F$：
   火箭受到兩個主要力的作用：

本題考查圓周運動的向心加速度，以及向量的減法。

核心觀念：

• 等速圓周運動的向心加速度：$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2} r$。
• 角速度：$\omega = \frac{2\pi}{T}$，其中 $T$ 為週期。
• 向心加速度的方向永遠指向圓心。

解題步驟：

1. 確定秒針的相關參數：

   • 半徑 $r_s = 12.0 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$。
   • 秒針的週期 $T_s$ 為 60 秒 (繞一圈)。
   • 秒針的角速度 $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60 \text{ s}} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$。
   • 秒針的向心加速度 $a_s = \omega_s^2 r_s = (\frac{\pi}{30})^2 \times 0.12 \text{ m/s}^2$。
     $a_s = \frac{\pi^2}{900} \times 0.12 = \frac{0.12 \pi^2}{900} = \frac{12 \pi^2}{90000} = \frac{\pi^2}{7500} \text{ m/s}^2$。

2. 確定分針的相關參數：

   • 半徑 $r_m = 10.0 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$。
   • 分針的週期 $T_m$ 為 60 分鐘 = $60 \times 60 = 3600$ 秒 (繞一圈)。
   • 分針的角速度 $\omega_m = \frac{2\pi}{T_m} = \frac{2\pi}{3600 \text{ s}} = \frac{\pi}{1800} \text{ rad/s}$。
   • 分針的向心加速度 $a_m = \omega_m^2 r_m = (\frac{\pi}{1800})^2 \times 0.10 \text{ m/s}^2$。
     $a_m = \frac{\pi^2}{1800^2} \times 0.10 = \frac{0.10 \pi^2}{3240000} = \frac{\pi^2}{32400000} \text{ m/s}^2$。

3. 計算加速度差：
   我們需要計算 $\vec{a}_s - \vec{a}_m$。由於向心加速度的方向指向圓心，且秒針和分針的運動平面相同，但它們的尖端位置隨時間變化，因此它們的向心加速度方向也隨時間變化。
   題目問「加速度差」，通常是指「大小」的差值，或者是指在某一特定時刻的向量差。由於沒有指定時間點，且向量差隨時間變化，我們推測題目是指「向心加速度大小的差值」。

   加速度大小的差值 $|a_s - a_m|$：
   $a_s = \frac{\pi^2}{7500} \text{ m/s}^2$
   $a_m = \frac{\pi^2}{32400000} \text{ m/s}^2$

   $a_s$ 遠大於 $a_m$。
   $a_s \approx \frac{(3.14159)^2}{7500} \approx \frac{9.8696}{7500} \approx 0.001316 \text{ m/s}^2$
   $a_m \approx \frac{(3.14159)^2}{32400000} \approx \frac{9.8696}{32400000} \approx 3.046 \times 10^{-7} \text{ m/s}^2$

本題考查電流密度、歐姆定律在導體中的應用。

核心觀念：

• 電流密度 ($J$)：單位截面積通過的電流，單位是 A/m²。$J = \frac{I}{A}$。
• 歐姆定律：$V = IR$。
• 導體內的電場與電流、電阻率的關係：$E = \rho J$，其中 $\rho$ 是電阻率。對於歐姆定律為 $E = \frac{V}{L}$，所以 $V = EL$。若考慮長直導線，電阻 $R = \rho \frac{L}{A}$，則 $V = \rho \frac{L}{A} I = \rho L (\frac{I}{A}) = \rho L J$。所以 $E = \frac{V}{L} = \rho J$。

解題步驟：
題目給定：

• 最大額定電流 $I_{max} = 24 \text{ A}$。
• 最大電流密度 $J_{max} = 12 \text{ MA/m}^2 = 12 \times 10^6 \text{ A/m}^2$。
• 導體材料為實心銅線。銅的電阻率 $\rho_{Cu} \approx 1.72 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$ (在 20°C)。

(1) 銅線的直徑為何？
我們知道 $J = \frac{I}{A}$。在最大額定電流時，電流密度達到最大容許值。
$J_{max} = \frac{I_{max}}{A}$
其中 $A$ 是銅線的截面積。假設銅線是圓柱形，截面積 $A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$，其中 $d$ 是直徑。
由 $J_{max} = \frac{I_{max}}{A}$，我們可以求出截面積 $A$：
$A = \frac{I_{max}}{J_{max}} = \frac{24 \text{ A}}{12 \times 10^6 \text{ A/m}^2}$
$A = 2 \times 10^{-6} \text{ m}^2$。

本題考查速度選擇器的原理，即帶電粒子在同時存在的電場與磁場中作直線運動的條件。

核心觀念：
速度選擇器利用電場力和磁場力相互抵消的原理，只讓特定速率的粒子通過。
若粒子在電場 E 和磁場 B 中運動，且 E 與 B 互相垂直，粒子要能筆直通過，則其受到的電場力與磁場力大小相等、方向相反。
對於速度為 $v$、電荷為 $q$ 的粒子，在垂直於速度方向的磁場 $B$ 中，受到的磁場力為 $F_B = qvB$ (方向由勞倫茲力法則決定)。
在與磁場垂直的電場 $E$ 中，受到的電場力為 $F_E = qE$ (方向與電場方向相同或相反，取決於 $q$ 的正負)。
若要粒子筆直通過，則 $F_E = F_B$。
$qE = qvB$
$E = vB$
因此，粒子能筆直通過的速度 $v = \frac{E}{B}$。

本題考查法拉第電磁感應定律，以及歐姆定律。

核心觀念：

• 法拉第電磁感應定律：迴路中感應電動勢 $\mathcal{E}$ 的大小等於磁通量 $\Phi_B$ 對時間的變化率的絕對值：$|\mathcal{E}| = |\frac{d\Phi_B}{dt}|$。
• 磁通量 ($\Phi_B$)：均勻磁場穿過一面積 $A$ 的磁通量定義為 $\Phi_B = B A \cos\theta$，其中 $\theta$ 是磁場方向與面積法向量之間的夾角。
• 歐姆定律：感應電動勢 $\mathcal{E}$ 在電阻為 $R$ 的迴路中產生的感應電流 $I$ 為 $I = \frac{\mathcal{E}}{R}$。

解題步驟：
題目給定：

• 迴路面積 $A = 240 \text{ m}^2$。
• 迴路電阻 $R = 37 \Omega$。
• 迴路面積與均勻磁場垂直，表示磁場方向與面積法向量平行，夾角 $\theta = 0^\circ$。所以 $\cos\theta = 1$。
• 感應電流 $I = 36 \text{ mA} = 36 \times 10^{-3} \text{ A}$。

1. 計算感應電動勢 $\mathcal{E}$：
   由歐姆定律 $I = \frac{\mathcal{E}}{R}$，我們可以求出感應電動勢：

本題考查週期性波的參數，包括震幅、波長、週期和波速。

核心觀念：
標準的平面波位移方程式通常寫為：
$y(x, t) = A \cos(kx \pm \omega t + \phi)$ 或 $y(x, t) = A \sin(kx \pm \omega t + \phi)$
其中：

• $A$ 是震幅 (Amplitude)。
• $k$ 是波数 (Wave number)，與波長 $\lambda$ 的關係為 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$。
• $\omega$ 是角頻率 (Angular frequency)，與週期的關係為 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。
• $\phi$ 是初相位 (Initial phase)。
• 波速 $v$ 與波長 $\lambda$ 和週期 $T$ 的關係為 $v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$，或 $v = \frac{\omega}{k}$。
• 方程式中的正負號表示波的傳播方向。若為 $(kx + \omega t)$，則波向 $x$ 的負方向傳播；若為 $(kx - \omega t)$，則波向 $x$ 的正方向傳播。

解題步驟：
給定的波位移方程式為 $y = 2.5 \cos(2.0x + 3.0t)$。
將此方程式與標準形式 $y(x, t) = A \cos(kx + \omega t + \phi)$ 進行比較。

本題考查胡克定律以及牛頓第二運動定律。

核心觀念：

• 胡克定律：彈簧受力 $F$ 時，其形變量 (伸長或壓縮量) $\Delta x$ 與力成正比，即 $F = k |\Delta x|$，其中 $k$ 是彈簧的彈性常數。此力稱為彈簧力。
• 牛頓第二運動定律：$\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$。
• 系統受力分析：當兩個物體以彈簧連接時，彈簧力是它們之間的交互作用力。

解題步驟：
設兩個鐵塊的質量分別為 $m_1 = 200 \text{ kg}$ (較小) 和 $m_2 = 300 \text{ kg}$ (較大)。
彈簧的彈性常數 $k = 7 \text{ kN/m} = 7000 \text{ N/m}$。
彈簧被壓縮量 $\Delta x = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$。
假設水平作用力 $F_{ext}$ 施加在 $m_1$ 上，使兩塊體一起移動。
由於不考慮摩擦力，所以系統只受水平外力 $F_{ext}$ 和彈簧力 $F_{spring}$ 的作用。

1. 計算彈簧力：
   根據胡克定律，彈簧力的大小為：
   $F_{spring} = k |\Delta x| = (7000 \text{ N/m}) \times (0.06 \text{ m})$
   $F_{spring} = 420 \text{ N}$。
   由於彈簧被壓縮，彈簧會試圖恢復原狀，因此彈簧力會推動 $m_1$ 向右 (與壓縮方向相反)，同時推動 $m_2$ 向左 (與壓縮方向相同，但我們通常看它對 $m_2$ 的作用)。
   在此情境下，彈簧力對 $m_1$ 是向右的，對 $m_2$ 是向左的。