111 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班在職生《地球物理學》

核心觀念

本題考查地震波速度與介質彈性參數的關係，以及球對稱地球在自重作用下的靜力平衡。

由

$$V_p^2=\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}, \qquad V_s^2=\frac{\mu}{\rho},$$

可得

$$V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2=\frac{K}{\rho}.$$

定義

$$\Phi\equiv V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2,$$

因此

$$K=\rho\Phi.$$

其中 $K$ 為體積模數，代表介質抵抗壓縮的能力；$\mu$ 為剪切模數；$\rho$ 為密度。

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解題方法：球殼的靜力平衡

將地球視為由許多半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的無限薄球殼組成。半徑 $r$ 以內的質量為 $M_r$，則該處重力加速度為

$$g(r)=\frac{GM_r}{r^2}.$$

考慮半徑 $r$ 到 $r+dr$ 的薄球殼，其體積為

$$dV=4\pi r^2dr,$$

質量為

$$dm=\rho(r)dV=4\pi r^2\rho(r)dr.$$

球殼受到上下兩側壓力差及自身重力作用。靜力平衡要求壓力隨半徑增加而降低，因此有

$$\frac{dP}{dr}=-\rho g =-\frac{GM_r\rho}{r^2}.$$

這是球對稱地球的流體靜力平衡方程式。

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由體積模數連結壓力與密度

體積模數的定義為

$$K=-V\frac{dP}{dV}.$$

因為密度 $\rho=m/V$，在質量固定時有

$$\frac{dV}{V}=-\frac{d\rho}{\rho}.$$

代入體積模數定義，可得

$$dP=\frac{K}{\rho}\,d\rho.$$

因此沿半徑方向，

$$\frac{dP}{dr} = \frac{K}{\rho}\frac{d\rho}{dr}.$$

又因為

$$\frac{K}{\rho}=\Phi = V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2,$$

所以

$$\frac{dP}{dr} = \Phi\frac{d\rho}{dr}.$$

將此式與靜力平衡方程式相等：

$$\Phi\frac{d\rho}{dr} = -\frac{GM_r\rho}{r^2}.$$

故得到 Adams–Williamson 方程式的標準形式：

$$\boxed{ \frac{d\rho}{dr} = -\frac{GM_r\rho(r)} {r^2\Phi} }$$

或寫成

$$\boxed{ \frac{d\rho}{dr} = -\frac{GM_r\rho(r)} {r^2\left(V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2\right)} }.$$

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與題目所列方程式的關係

若以向地心增加的深度 $z$ 作為座標，則

本題共分為兩個子題，第一小題考驗學生對地震規模 (magnitude) 的理解，特別是芮氏規模的定義及其可能出現的負值情況；第二小題則要求學生了解我國中央氣象局地震震度 (intensity) 的計算方式演進，並比較新舊差異。

核心觀念：

1. 地震規模 (Magnitude)： 量測地震本身釋放的能量，通常與地震儀記錄的波幅有關。芮氏規模 (Richter Magnitude, $M_L$) 是其中一種，定義為特定距離處之最大地動位移的對數。
2. 地震震度 (Intensity)： 量測地震在某一特定地點造成的地面振動程度及影響，與地震規模不同，震度是區域性的，受距離、地質條件、建築物結構等因素影響。
3. 芮氏規模的定義與限制： $M_L$ 的定義涉及對數，其計算方式可能導致負值，尤其對於非常小的地震。
4. 震度計算方式的演進： 台灣的地震震度計算方式經過多次修正，以更精確地反映地震對民眾和環境的影響。

子題 (a) 芮氏地震規模 $M_L$ 是否可能為 0 或負值？其意義為何？

芮氏規模 ($M_L$) 的定義：
芮氏規模是加州理工學院的 Charles Richter 在 1935 年提出的，用於量測加州地區發生的地震。其定義為在距離震央 100 公里處，使用標準的 Wood-Anderson 扭力地震儀記錄到的最大水平地動位移 (以微米 $\mu m$ 為單位) 的常用對數。
$M_L = \log_{10}(\Delta x) - \log_{10}(A_0)$
其中 $\Delta x$ 是在特定距離處觀測到的最大地動位移 (以 $\mu m$ 為單位)，$A_0$ 是在距離震央 100 公里處，一個單位位移所對應的地震儀讀數。
更廣泛的公式考慮了距離 $D$ (以公里為單位)：
$M_L = \log_{10}(A) + C \log_{10}(D) + B$
其中 $A$ 是觀測到的最大地動位移 (以 $\mu m$ 為單位)，$D$ 是震源距離 (以公里為單位)，$C$ 和 $B$ 是常數，取決於使用的地震儀類型和地區。

$M_L$ 是否可能為 0 或負值？
是的，芮氏規模 $M_L$ 可能為 0 或負值。
這是因為其定義是基於對數，而地震儀記錄到的最大地動位移 $\Delta x$ (或 $A$) 可以非常小。

• 如果觀測到的最大地動位移小於某一參考值 (例如，在距離 100 公里處，若最大位移為 $10^{-6}$ 公尺 $= 1 \mu m$，則 $\log_{10}(1) = 0$)，則規模就可能為 0 或負值。
• 對於非常微小的地震，其釋放的能量很小，地震儀記錄到的波幅可能非常微弱，導致計算出的 $M_L$ 值為 0 或負值。

$M_L$ 為 0 或負值的意義：

• 代表非常小的地震： 負值或零值的 $M_L$ 表示地震的能量非常小，其引起的地面振動非常微弱，甚至可能小於一般人體能夠明顯感知或造成損害的程度。
• 與實際能量的關係： 雖然數值上為負，但它仍然代表一個實際存在的地震事件。其能量釋放量相對較小。例如，$M_L=0$ 的地震，其能量大約是 $M_L=1$ 的十分之一，而 $M_L=-1$ 的地震，能量則是 $M_L=0$ 的十分之一。
• 儀器靈敏度與噪音： 有時，非常小的負值規模也可能與地震儀的背景噪音水平接近，需要仔細判讀。

總結 (a)： 芮氏規模 $M_L$ 可能為 0 或負值，這表示該地震釋放的能量非常小，地面振動非常微弱，通常不會造成顯著的損害。

子題 (b) 中央氣象局目前的震度計算方法？與舊有方法的不同？

背景：
地震震度 (Seismic Intensity) 是衡量地震在特定地點對人、物體和環境造成的影響程度。台灣地區的震度系統經歷了多次改版，以求更貼近實際感受和災害評估。

中央氣象局目前的震度計算方法 (2020年起採用)：
台灣中央氣象局自 2020 年 1 月 1 日起，採用新的地震震度分級表，並依據「最大地表加速度 (PGA, Peak Ground Acceleration)」來計算震度。新的震度等級仍維持 0 至 7 級，共 10 個等級，但分級標準改為 PGA 的範圍。

• 計算原理： 新的震度系統主要以測站觀測到的「地表加速度」為主要依據，特別是 PGA (Peak Ground Acceleration，最大地表加速度)。PGA 是地震時地面運動的最大加速度值，它與搖晃的劇烈程度和可能造成的破壞力有較好的關聯性。
• 分級標準 (簡化)：
  • 0 級：PGA < 0.8 cm/s² (微震，無感)
  • 1 級：0.8 ≤ PGA < 2.5 cm/s² (極微弱，僅儀器可記錄)
  • 2 級：2.5 ≤ PGA < 8.0 cm/s² (微弱，少數人有感)

本題主要考驗學生對地球磁場紀錄在地質物質中形成機制及其相關名詞的理解，涵蓋了磁學地層學和古地磁學的核心概念。

核心觀念：

1. 居里溫度 ($T_C$)： 鐵磁性物質在加熱到某個特定溫度後，其磁性會完全消失，變成順磁性。這個溫度稱為居里溫度。反之，當順磁性物質冷卻通過居里溫度時，會重新獲得磁性。
2. 殘磁 (Remanent Magnetization)： 指的是岩石或礦物在形成或經歷某些過程後，所獲得並保持的永久性磁性。這是古地磁學研究的基礎，因為殘磁的方向和強度可以反映當時地球磁場的狀態。
3. 三種主要的殘磁形成機制： 熱殘磁 (TRM)、沈積殘磁 (DRM) 和化學殘磁 (CRM)。

詳解：

1. 居里溫度 (Curie Point, $T_C$)

• 定義： 居里溫度是指鐵磁性物質 (ferromagnetic material) 轉變為順磁性物質 (paramagnetic material) 的臨界溫度。在這個溫度以上，物質的熱擾動足以克服電子自旋之間的相互作用，使得物質失去永久磁性。
• 在地質學中的意義： 許多對地磁場敏感的礦物（如磁鐵礦 $\text{Fe}_3\text{O}_4$、赤鐵礦 $\text{Fe}_2\text{O}_3$）都具有居里溫度。當岩漿冷卻或沉積物中的磁性礦物在沉積後經歷加熱時，它們的磁性狀態會與居里溫度密切相關。例如，岩漿冷卻時，當溫度降至某礦物的居里溫度以下，該礦物就會記錄下當時地球磁場的方向。

2. 熱殘磁 (Thermoremanent Magnetization, TRM)

• 形成機制： TRM 是岩石在高溫下（高於其主要磁性礦物的居里溫度）獲得的磁性，並在冷卻過程中（低於居里溫度）被記錄下來。
• 過程： 當岩漿或熔岩冷卻時，其中的鐵磁性礦物（如磁鐵礦）在通過其居里溫度時，由於受到當時地球磁場的影響，其磁疇 (magnetic domains) 會趨向於與外部磁場方向一致。一旦溫度降到居里溫度以下，這種磁化狀態就會被「凍結」在礦物晶體結構中，形成 TRM。
• 重要性： TRM 被認為是記錄古地磁場最可靠和最強的磁性形式之一，因為它通常具有較高的穩定性和較強的磁化強度。因此，噴發的火成岩是研究古地磁學的重要對象。

3. 沈積殘磁 (Depositional Remanent Magnetization, DRM)

• 形成機制： DRM 是在沉積物沉降並堆積在水體（如海洋、湖泊）底部時，由於磁性顆粒的物理定向而獲得的磁性。
• 過程： 當懸浮在水中的磁性礦物顆粒（如磁鐵礦）沉降時，它們會像小羅盤一樣，在地球磁場的作用下，使其磁矩大致與當前的地磁場方向對齊。

本題包含兩個子題，皆與牛頓萬有引力定律相關。子題 (a) 要求計算地球的質量，需要結合靜力學平衡和重力加速度的關係；子題 (b) 則要求計算人與蘋果之間的引力，屬於基本的點質量間的萬有引力計算。

核心觀念：

1. 牛頓萬有引力定律： 任意兩個質點之間的引力，與它們質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。
   $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
2. 靜力學平衡： 在球對稱的行星內部，壓力梯度與重力加速度平衡。
   $\frac{dp}{dr} = -\rho(r)g(r)$
3. 重力加速度與質量、半徑的關係： 在行星表面，重力加速度 $g$ 與行星質量 $M$ 和半徑 $R$ 的關係為：
   $g = G \frac{M}{R^2}$
   在行星內部，半徑 $r$ 處的重力加速度 $g(r)$ 與該處內部的總質量 $M_r$ 有關：
   $g(r) = G \frac{M_r}{r^2}$

子題 (a)：計算地球質量

已知條件：

• 地球半徑 $R = 6370$ 公里 $= 6370 \times 10^3$ 公尺 $= 6.37 \times 10^6$ m
• 萬有重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}$
• 地球表面的重力加速度 $g \approx 9.8 \ m/s^2$ (此為常識，題目未直接給出，但計算地球質量必須用到。若題目未給，可使用此常用值，或假設題目預設了這個值，或從其他地方推導，但在此計算中，若無 $g$ 值，則無法計算。)
  • 備註： 題目未直接給出 $g$ 值，這是一個潛在問題。然而，在計算行星質量時，通常會假設已知地表重力加速度。若此題為獨立問題，且無其他資訊，則無法求解。假設此為一般性問題，我們可以使用 $g \approx 9.8 \ m/s^2$。

解題思路：
利用地球表面重力加速度 $g$ 與地球質量 $M$ 和半徑 $R$ 的關係，重新排列公式以求解 $M$。

計算步驟：

1. 從重力加速度公式出發：
   $g = G \frac{M}{R^2}$

2. 重新整理公式，求解地球質量 $M$：
   $M = \frac{g R^2}{G}$

3. 代入已知數值：

   • $g = 9.8 \ m/s^2$
   • $R = 6.37 \times 10^6 \ m$
   • $G = 6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}$

4. 進行計算：
   $M = \frac{(9.8 \ m/s^2) \times (6.37 \times 10^6 \ m)^2}{6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}}$
   $M = \frac{9.8 \times (6.37^2 \times 10^{12}) \ m^2}{6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}}$
   $M = \frac{9.8 \times 40.5769 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \ kg$
   $M = \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \ kg$
   $M \approx 59.62 \times 10^{12} \times 10^{11} \ kg$
   $M \approx 59.62 \times 10^{23} \ kg$
   $M \approx 5.962 \times 10^{24} \ kg$

結果：
地球的質量約為 $5.96 \times 10^{24} \ kg$。

驗算：
此結果與地球質量公認的數值（約 $5.972 \times 10^{24} \ kg$）非常接近，說明計算過程和使用的 $g$ 值是合理的。

子題 (b)：計算人與蘋果之間的引力

已知條件：

• 蘋果質量 $m_1 = 100$ 克 $= 0.1$ kg

• 人與蘋果之間的距離：題目描述為「經由你身旁 30 公分而掉到地上」。這個描述比較模糊。

  • 解釋 1： 「你身旁 30 公分」是指人與蘋果之間的「水平」距離，而蘋果是垂直落下。
  • 解釋 2： 「你身旁 30 公分」是指人與蘋果之間的「最短」距離，即垂直距離。
  • 解釋 3： 「經由你身旁 30 公分」是指蘋果從你頭頂上方 30 公分處落下。
  • 最合理的解釋： 在計算引力時，我們需要的是兩個質點之間的「距離」。題目中的「你身旁 30 公分」最可能指的是人與蘋果之間的「最短」距離，也就是它們之間的「垂直」距離。假設人是一個質點，蘋果是另一個質點，它們之間的距離 $r = 30$ 公分 $= 0.3$ 公尺。
  • 關於「人」的質量： 題目沒有給出人的質量。這是一個問題。通常，在這種情況下，會假設「人」的質量為一個典型值，或者，題目可能意指「地球」與蘋果之間的引力，但題目明確寫了「你和蘋果之間」。
  • 假設： 由於題目未給人質量，且要求計算「最大引力」，我們需要考慮人質量的影響。如果人質量很大，引力會更大。
    • 情況 A： 題目可能忽略了人的質量，而只考慮蘋果與「某個物體」之間的引力，或者此處的「你」是指一個點（例如，你站立的點）。
    • 情況 B： 題目可能期望我們假設一個人的平均質量。一般成年人約 50-80 kg。
    • 情況 C： 題目可能意指「地球」與蘋果之間的引力，但這與「你和蘋果之間」的文字不符。
    • 最可能的意圖： 題目可能是在測試對萬有引力定律的基本應用。最簡單的假設是，如果沒有給出人的質量，那麼「你」可以被視為一個點，而引力計算僅需蘋果質量和距離。然而，牛頓萬有引力定律需要兩個質量。
    • 重新閱讀： 「則你和蘋果之間質量所造成的最大引力是多少？」這句「質量所造成的」可能意味著「由你和蘋果的質量共同造成的」。
    • 最合理的假設 (考慮到題目未給人質量)： 題目可能是在問「如果有一個人，質量為 $m_{person}$，與蘋果相距 0.3 公尺，他們之間的引力是多少？」，但由於未給 $m_{person}$，我們必須自己假設一個值。為了得到「最大引力」，我們應該假設一個較大的質量。
    • 另一種可能性： 題目可能存在印刷錯誤，或者意圖是計算蘋果與地球之間的引力。
    • 假設一個典型人的質量： 我們假設一個成年人的質量為 $m_{person} = 70 \ kg$。

• 距離 $r = 0.3$ m

• 萬有重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}$

解題思路：
直接應用牛頓萬有引力定律。

計算步驟：

1. 確定參與計算的兩個質量：蘋果質量 $m_1 = 0.1 \ kg$，假設人的質量 $m_2 = 70 \ kg$。
2. 確定兩個質量之間的距離：$r = 0.3 \ m$。
3. 應用萬有引力定律公式：
   $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
4. 代入數值：
   $F = (6.67 \times 10^{-11} \ m^3 kg^{-1} s^{-2}) \times \frac{(0.1 \ kg) \times (70 \ kg)}{(0.3 \ m)^2}$
   $F = (6.67 \times 10^{-11}) \times \frac{7.0}{0.09} \ kg^2 m^3 kg^{-1} s^{-2} m^{-2}$
   $F = (6.67 \times 10^{-11}) \times \frac{7.0}{0.09} \ N$
   $F = (6.67 \times 10^{-11}) \times 77.777... \ N$
   $F \approx 518.8 \times 10^{-11} \ N$
   $F \approx 5.19 \times 10^{-9} \ N$

結果：
如果假設人的質量為 70 kg，則人與蘋果之間的引力約為 $5.19 \times 10^{-9} \ N$。

考慮「最大引力」的含義：
題目要求「最大引力」。這可能意味著：

1. 最大化人的質量： 如果人質量是變數，理論上質量越大，引力越大。但人質量有上限。
2. 最大化距離的倒數平方： 距離越小，引力越大。題目給定的 30 公分是「最短」距離。
3. 人與蘋果的相對位置： 這裡假設人與蘋果的距離是 0.3m。
4. 人與蘋果的相對運動： 蘋果落下過程中，距離在變化，引力也在變化。但題目問的是「最大引力」，這通常指在給定條件下的瞬時最大值。

如果題目意圖是計算蘋果與地球之間的引力：

• 地球質量 $M_{earth} \approx 5.97 \times 10^{24} \ kg$ (從 (a) 計算或取公認值)
• 蘋果質量 $m_{apple} = 0.1 \ kg$
• 地球半徑 $R_{earth} = 6.37 \times 10^6 \ m$ (這裡的距離是地球質心到蘋果的距離，假設蘋果在地面附近，距離約等於地球半徑)
• $F_{earth-apple} = G \frac{M_{earth} m_{apple}}{R_{earth}^2} = \frac{GM_{earth}}{R_{earth}^2} m_{apple} = g m_{apple}$

核心觀念

本題利用震測初達波的「到時—展距」圖判斷地層波速：

• 直達波斜率：$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{v_1}$
• 臨界折射波斜率：$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{v_2}$
• 臨界角 $i_c$ 滿足史涅耳定律：

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$$

• 臨界折射波的截距時間：

$$t_i=\frac{2h_1\cos i_c}{v_1}$$

其中 $h_1$ 為第一層厚度。

由圖可讀得：

• 第一段：$(0\ \text{m},0\ \text{ms})$ 至 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$
• 第二段：$(100\ \text{m},50\ \text{ms})$ 至 $(200\ \text{m},70\ \text{ms})$

(a) 第一層與第二層波速

第一層波速

第一段為第一層中的直達波：

$$\frac{dt}{dx} =\frac{50\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.5\ \text{ms/m} =5.0\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_1=\frac{1}{dt/dx} =\frac{1}{5.0\times10^{-4}} =2000\ \text{m/s}$$

第二層波速

第二段斜率為：

$$\frac{dt}{dx} =\frac{70-50}{200-100} =\frac{20\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.2\ \text{ms/m} =2.0\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_2=\frac{1}{2.0\times10^{-4}} =5000\ \text{m/s}$$

(b) 第一層厚度

第二段直線可寫成：

$$t=t_i+\frac{x}{v_2}$$

由圖上第二段通過 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$：

$$t_i=50\ \text{ms}-\frac{100}{5000}\ \text{s}$$ $$t_i=50\ \text{ms}-20\ \text{ms} =30\ \text{ms} =0.030\ \text{s}$$

先由波速求臨界角：

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2} =\frac{2000}{5000} =0.4$$

所以

核心觀念

本題利用地震矩與震矩規模的關係：

$$M_0=\mu A D$$

其中：

• $M_0$：地震矩
• $\mu$：岩石剪切模數
• $A$：地震破裂面的面積
• $D$：斷層面的平均錯動量

震矩規模公式為：

$$M_w=\frac{2}{3}\log_{10}M_0-10.7$$

題目未明示大陸地殼厚度，採地球物理學常用的大陸地殼厚度 $H=35\ \text{km}$ 計算。

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解題方法

正斷層的錯動方向沿斷層面，山體下降的高度為錯動量的垂直分量。

1. 求斷層面的實際錯動量

設斷層面錯動量為 $D$，斷層傾角為 $\delta=45^\circ$，則：

$$D\sin\delta=3800\ \text{m}$$

因此：

$$D=\frac{3800}{\sin45^\circ} =\frac{3800}{\sqrt{2}/2} \approx 5374\ \text{m}$$

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2. 求地震破裂面的面積

斷層長度：

$$L=1300\ \text{km}$$

由於斷層完全貫穿厚度 $35\ \text{km}$ 的大陸地殼，斷層面上的傾向寬度 $W$ 為：

$$W=\frac{H}{\sin\delta} =\frac{35}{\sin45^\circ} \approx49.50\ \text{km}$$

故破裂面面積：

$$A=LW =1300\times49.50 \approx64350\ \text{km}^2$$

換算為平方公尺：

$$A=6.435\times10^{10}\ \text{m}^2$$

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3. 單位換算

題目給定：

$$\mu=4\times10^{11}\ \text{dyne/cm}^2$$

由於：

$$1\ \text{dyne/cm}^2=0.1\ \text{Pa}$$