108 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《地球物理學》

這題主要考查地球磁場的生成機制、空間分布特性、海洋地殼記錄磁場的原因，以及海洋磁力條帶的解讀。

(a) 地球磁場的形成理論主要為「地球發電機理論」(Geodynamo Theory)。此理論認為地球內核的外核部分，主要由液態鐵鎳合金組成，由於地球自轉、熱對流以及科里奧利力(Coriolis force)的作用，使得導電流體產生運動，進而產生電流，這些電流又產生了磁場，形成一個自我維持的迴路。簡單來說，液態外核的導電流體運動產生了電流，電流產生了磁場，而磁場又影響了流體的運動，進而產生更強的磁場。

(b) 地球磁場的空間分布近似於一個偶極子(dipole)，其磁軸略微傾斜於地球自轉軸。在地表，磁場強度大致由兩極向赤道遞減。磁場的強度在地表平均約為$30,000 \sim 60,000$奈特(nT)。理論上，一個理想的偶極子磁場強度與距離的立方成反比，即$B \propto \frac{1}{r^3}$。在地表，磁場的分布並非完美的偶極子，還受到地殼磁性物質以及地函深部異常的影響，因此會有局部性的磁場變化。

(c) 海洋地殼能夠記錄磁場的原因，主要與其形成過程和物質成分有關。海洋地殼主要由玄武岩質岩石組成，其中含有磁性礦物，如磁鐵礦($Fe_3O_4$)。當岩漿從中洋脊噴發並冷卻固化時，這些磁性礦物會在居里溫度($T_C$)以下定向排列，記錄下當時地球磁場的方向和強度。隨著新的地殼不斷生成並向兩側擴張，這些記錄下來的磁場信息就被「凍結」在海洋地殼中，形成條帶狀的磁力異常。

這題主要考查重力異常的計算與解釋，以及重力異常對衛星軌道的影響。

(a) 重力異常的推導過程涉及多個修正步驟，旨在消除非地質因素造成的重力變化，以凸顯地下密度結構對重力場的影響。

1. 實際觀測值 ($g_{obs}$)：這是直接在地面上觀測到的重力加速度值。
2. 正常重力值 ($g_{norm}$)：這是根據參考橢球體（如GRS80）和地球自轉計算出來的理論重力值。它考慮了緯度效應（赤道處較小，兩極處較大）和高度效應（隨高度增加而減小）。
3. 自由空間異常 (Free-air Anomaly)：
   • 計算公式：$\Delta g_{FA} = g_{obs} - g_{norm}$
   • 意義：此異常值僅消除了正常重力值，但尚未考慮觀測點下方到參考橢球面之間的岩石密度影響。它反映了地表地形和地下質量分布對重力的影響。如果觀測點位於高地上，重力值會比正常值低，因為距離地心較遠且上方有空氣。
4. 布蓋異常 (Bouguer Anomaly)：
   • 計算步驟：在自由空間異常的基礎上，進一步消除觀測點下方到參考海平面之間一層均勻密度岩石板（厚度為觀測點高程 $h$）的重力影響。
   • 布蓋修正項 ($\Delta g_{Bouguer}$)：假設觀測點下方有一無限大的均勻密度板，其厚度為 $h$ 且密度為 $\rho$。該板產生的重力加速度為 $2 \pi G \rho h$。
   • 計算公式：$\Delta g_{Bouguer} = \Delta g_{FA} - 2 \pi G \rho h = g_{obs} - g_{norm} - 2 \pi G \rho h$
   • 意義：布蓋異常消除了海平面以上岩石層的影響，主要反映了地下密度不均勻性，特別是深部結構。若地下密度較大，布蓋異常值會為負；若密度較小，則為正。
5. 地形修正 (Terrain Correction)：
   • 意義：由於地形起伏，觀測點周圍的山丘會對重力產生向上的拉力，而山谷則會產生向下的拉力。地形修正就是為了消除這些由局部地形起伏造成的額外影響。
   • 計算：此修正較為複雜，通常需要藉助計算機，將觀測點周圍地形劃分為許多小塊，計算每個小塊對觀測點的重力貢獻，並進行疊加。
6. 完整布蓋異常 (Complete Bouguer Anomaly)：
   • 計算公式：$\Delta g_{CBA} = \Delta g_{Bouguer} + \text{Terrain Correction}$ (地形修正值通常為正，因為地形效應使觀測值偏離理論值)
   • 意義：這是最能反映地下密度結構的重力異常值，消除了正常重力、海平面以上岩石板以及局部地形的影響。

(b) 圖中X點和Y點位於紅海區域，但重力異常值不同，主要原因在於它們所處的地質環境不同，導致地下密度分布差異。

• Y點：位於紅海海槽（Red Sea Trough）內，該區域是典型的裂谷帶，地殼被拉伸變薄，並有玄武岩質岩漿湧出。海水和較低的密度岩石（如沉積物）填充了裂谷，導致該區域的平均地下密度相對較低。

核心觀念

本題考查折射震測的「走時—距離圖」分析。均質兩層地層中：

• 近距離初達波為第一層中的直達波，斜率為 $\dfrac{1}{v_1}$。
• 遠距離初達波為沿第二層頂部傳遞的臨界折射波，斜率為 $\dfrac{1}{v_2}$。
• 臨界角 $i_c$ 滿足 Snell 定律：

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$$

圖中可讀得走時曲線約通過：

$$(0,0),\quad (80\text{ m},50\text{ ms}),\quad (200\text{ m},80\text{ ms})$$

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解題方法

(a) 第一層與第二層震波速度

第一層速度

第一段直達波的斜率為：

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{50\text{ ms}-0}{80\text{ m}} =0.625\text{ ms/m}$$

因為 $1\text{ ms}=10^{-3}\text{ s}$：

$$v_1=\frac{1}{0.625\times10^{-3}} =1600\text{ m/s}$$

第二層速度

第二段臨界折射波的斜率為：

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{80-50}{200-80} =\frac{30\text{ ms}}{120\text{ m}} =0.25\text{ ms/m}$$

因此：

$$v_2=\frac{1}{0.25\times10^{-3}} =4000\text{ m/s}$$

所以：

$$\boxed{v_1=1600\text{ m/s}},\qquad \boxed{v_2=4000\text{ m/s}}$$

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(b) 第二層頂部深度

第二段直線可寫為：

$$t=t_i+\frac{x}{v_2}$$

其中 $t_i$ 為截距時間。由圖上 $(x,t)=(80\text{ m},50\text{ ms})$：

$$t_i=50\text{ ms} -\frac{80}{4000}\text{ s}$$ $$t_i=50\text{ ms}-20\text{ ms} =30\text{ ms} =0.030\text{ s}$$

臨界折射波的截距時間公式為：

$$t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}$$

因此：

$$h=\frac{t_i v_1}{2\cos i_c}$$

先由 Snell 定律求臨界角：

$$\sin i_c=\frac{1600}{4000}=0.4$$

這題主要考查地熱流的分布差異、影響因素以及特定地質作用對地熱流的影響。

(a) 大陸地殼和海洋地殼在地熱流分布上的差異及其原因：

• 地熱流分布差異：
  • 大陸地殼：大陸地殼平均地熱流值約為 $65 \text{ mW/m}^2$。在地殼較薄的區域（如穩定克拉通），地熱流較低；在地殼較厚的區域（如造山帶、大陸裂谷），地熱流較高。大陸地殼內部地熱流的差異較大。
  • 海洋地殼：海洋地殼平均地熱流值約為 $101 \text{ mW/m}^2$（但扣除年輕的海底擴張中心後，平均值約為 $50 \text{ mW/m}^2$）。在地質年輕、熱活動活躍的海底擴張中心（中洋脊），地熱流非常高，可達數百甚至上千 $\text{mW/m}^2$。隨著離擴張中心越遠，地殼越老，地熱流值越低，趨近於一個較低的穩定值。
• 造成原因：
  1. 地殼厚度和成分：
     • 大陸地殼：較厚（平均約 30-50 km），且富含放射性元素（如U, Th, K），這些元素衰變時會釋放大量熱能，是大陸地殼內部熱的主要來源。較厚的地殼有利於熱量傳導。
     • 海洋地殼：較薄（平均約 5-10 km），主要由緻密的玄武岩和輝長岩組成，放射性元素含量遠低於大陸地殼。因此，海洋地殼的熱量主要來自於其下方的熱幔。
  2. 熱源分布：
     • 大陸地殼：放射性元素主要集中在地殼上部，是大陸地殼內部熱的主要貢獻者。
     • 海洋地殼：熱量主要來自地幔，通過對流和傳導傳遞到地殼。海底擴張中心是地幔熱量湧出的地方，因此地熱流極高。
  3. 地質活動：
     • 海底擴張中心：年輕、活躍，岩漿活動頻繁，地幔熱量直接湧出，導致極高的地熱流。
     • 大陸裂谷：地殼變薄，地幔上隆，熱量傳導距離縮短，地熱流也較高。
     • 穩定克拉通：地殼厚且老，下部地幔熱量傳導距離長，且放射性元素較少，地熱流較低。

(b) 各項參數或作用對地熱流的影響：

1. 熱傳導係數 (thermal conductivity; $k$)：
   • 影響：地熱流 $q$ 與地溫梯度 $dT/dz$ 和熱傳導係數 $k$ 的關係為 $q = -k \frac{dT}{dz}$。若其他條件相同，熱傳導係數越高的物質，越能有效地將熱量從深部傳導到地表，因此地熱流值會越高。例如，金屬的熱傳導係數遠高於岩石，但地殼主要由岩石組成。不同種類的岩石，其熱傳導係數也不同（例如，石英含量高的岩石熱傳導係數較高）。