113 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《地球物理學》

本題主要考查地震學中b值的定義及其地質意義。

b值是地震學中一個重要的統計參數，用來描述特定區域地震活動中，小地震與大地震數量的相對頻率。它源自於古騰堡-芮克 (Gutenberg-Richter) 定律，該定律指出，在一個給定的區域和時間段內，震級為 M 的地震數量 N 與地震級數 M 的關係式為：

$\log_{10} N = a - bM$

其中，N 是大於或等於 M 級的地震數量，a 和 b 是常數。b值通常是一個正值，一般在 0.8 到 1.5 之間。

b值的意義：

1. 岩石圈的應力狀態： b值與地殼岩石的應力狀態密切相關。
   • 較低的b值（例如 b < 1）： 通常表示該區域地殼應力較高，岩石較為破碎，容易發生較大地震。這可能與活躍的構造變形、斷層活動或岩石的脆性破壞有關。
   • 較高的b值（例如 b > 1）： 通常表示該區域地殼應力相對較低，岩石較為完整，或者岩石的延性較強，傾向於發生較多的小地震而較少大地震。這可能出現在應力釋放較為緩慢的區域，或是在地震序列的餘震階段。
2. 斷層的破裂特性： b值可以反映斷層破裂的過程。

本題主要考查地球重力研究的目的以及重力資料處理中的各種修正方法。

研究地球重力的目的：

研究地球重力主要有以下幾個目的：

1. 確定地球的形狀與大小： 重力測量是確定地球大地水準面（Geoid）形狀的重要手段，進而了解地球的真實形狀（大地體，Geoid）以及地球的大小。
2. 探測地下物質密度變化： 地下不同密度物質的存在會導致地表重力的異常變化。透過分析這些重力異常，可以推斷地下地質結構、岩性分佈、礦產資源（如金屬礦、石油、天然氣）以及地下空洞等。
3. 研究地球內部結構與動力學： 重力場的空間變化和時間變化（如潮汐重力變化）可以提供關於地球內部質量分佈、地幔對流、板塊運動、地殼均衡（Isostasy）等動力學過程的資訊。
4. 大地測量與導航定位： 精確的重力場模型是高精度大地測量（如GPS/GNSS高程測量）和慣性導航系統的基礎。
5. 地球物理學研究： 重力學是地球物理學的重要分支，與地震學、地磁學等共同構成了地球物理探測的基礎，用於建立地球的整體物理模型。

各種重力修正：

在進行重力測量時，觀測到的重力值受到許多因素的影響，必須進行一系列的修正，以獲得反映地下真實地質結構的「重力異常」（Gravity Anomaly）。主要的重力修正包括：

1. 儀器內在修正 (Instrumental Correction)：

   • 零點漂移 (Drift Correction)： 由於儀器本身的溫度變化、機械老化等因素，讀數會隨時間發生漂移。需要通過往返測量或定期校準來修正。
   • 潮汐修正 (Tidal Correction)： 月球和太陽的引力會引起地球重力的週期性變化（潮汐），這是一個非常小的影響，但對於高精度測量需要考慮。

2. 外部因素修正 (External Factor Correction)：

   • 緯度修正 (Latitude Correction)： 地球自轉和地球為非均勻球體，導致重力值隨緯度變化。赤道處重力較小，兩極處重力較大。

本題考查熱傳導的基本原理，特別是傅立葉定律在穩態和非穩態情況下的應用，以及熱量平衡的觀念。

核心概念：熱量守恆與傅立葉定律。

(a) 寫出 $Q(z+\delta z)$ 的泰勒展開式。

此小題要求對熱流函數 $Q$ 在點 $z$ 處進行泰勒展開。對於任意一個可微函數 $f(x)$，其在點 $x_0$ 處的泰勒展開式為：
$f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \frac{f''(x_0)}{2!}(\Delta x)^2 + \dots$

將此應用於函數 $Q(z)$，其中 $z$ 作為變數，我們想計算 $Q(z + \delta z)$。令 $x_0 = z$ 且 $\Delta x = \delta z$。
則 $Q(z + \delta z)$ 的泰勒展開式為：
$Q(z + \delta z) = Q(z) + \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z) + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 Q}{\partial z^2}\bigg|_z (\delta z)^2 + \dots$

其中 $\frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z$ 表示熱流函數 $Q$ 對變數 $z$ 的偏導數在點 $z$ 處的值。

【答案】
$Q(z + \delta z) = Q(z) + \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z) + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 Q}{\partial z^2}\bigg|_z (\delta z)^2 + \dots$

(b) 忽略 (a) 中二次以上的高次項,寫出此岩體在單位時間內的淨熱量增益 (net gain of heat per unit time)。

熱量在單位時間內的淨增益，等於進入岩體的熱量減去離開岩體的熱量，再加上岩體內部產生的熱量。
題目假設熱能僅透過 $z$ 和 $z+\delta z$ 兩個垂直截面傳入傳出，其他側面沒有熱傳遞。

進入岩體的熱流（單位時間） $= aQ(z)$
離開岩體的熱流（單位時間） $= aQ(z + \delta z)$

因此，單位時間內的淨熱量淨增益（不考慮內部生熱） $= aQ(z) - aQ(z + \delta z)$。

根據 (a) 中的泰勒展開式，忽略二次以上高次項：
$Q(z + \delta z) \approx Q(z) + \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z)$

將此代入淨熱量增益的表達式：
淨熱量增益 $\approx aQ(z) - a\left( Q(z) + \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z) \right)$
$= aQ(z) - aQ(z) - a\frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z)$
$= -a \frac{\partial Q}{\partial z}\bigg|_z (\delta z)$

這個結果表示，在忽略高次項的情況下，單位時間內的淨熱量淨增益與熱流的空間變化率（$\frac{\partial Q}{\partial z}$）成正比，並且符號是負的，這意味著如果熱流隨 $z$ 增加而增加（$\frac{\partial Q}{\partial z} > 0$），則淨熱量增益為負，即熱量在流出。

本題要求列出並討論至少三種地球物理方法，並說明其資料收集與處理方式。地球物理方法眾多，可從地震學、重力學、地磁學、大地電磁法、大地熱流等角度選擇。這裡選擇三種較為代表性的方法進行討論。

1. 地震波探測法 (Seismic Exploration)

• 原理： 利用人工產生地震波（如爆炸、振動器），通過地下介質傳播後，在不同地層界面反射或折射回來，在地表或井下接收這些地震波的時程記錄（地震圖）。根據地震波在不同介質中的傳播速度（P波、S波）和走時，反演出地下地層的速度結構、密度變化以及斷裂構造等。
• 資料收集：
  • 震源 (Source)： 在陸地上常用爆炸（炸藥）、振動器 (Vibroseis)；在海上常用空氣槍 (Airgun)。
  • 接收器 (Receiver)： 陸地上使用地震檢波器 (Geophone)，海上使用海底電纜中的檢波器 (Hydrophone)。
  • 佈線 (Layout)： 震源和接收器按照特定的幾何排列方式（如單炮多檢、多炮組合、三維勘探）進行佈置，以獲得不同角度和距離的地震波數據。
  • 記錄： 記錄地震波從震源產生到傳播到接收器的時程數據。
• 資料處理：
  • 數據預處理： 濾波（去除噪聲）、增益恢復（補償信號衰減）、數據格式轉換等。
  • 靜力修正 (Static Correction)： 校正地表不均勻、低速帶（如表土層）對地震波走時的影響。
  • 速度分析 (Velocity Analysis)： 通過各種方法（如Dix公式、Velocity Spectrum）確定地下介質的地震波速度。
  • 靜態疊加 (Stacking)： 對來自同一地下點的多個地震記錄進行疊加，以增強有效信號，壓制隨機噪聲。
  • 偏移成像 (Migration)： 根據地下速度結構，將地震記錄上的數據點「搬移」到其真實的地下位置，獲得地下構造的真實圖像。
  • 反演與解釋： 根據處理後的地震剖面或三維體數據，解釋地下地層界面、斷層、褶皺、異常體等。

2. 重力探測法 (Gravity Exploration)

• 原理： 測量地表不同點的重力加速度值。地下密度不均勻的物質會引起局部重力加速度的異常變化。通過分析這些重力異常，推斷地下地質體（如緻密岩體、疏鬆沉積物、礦體、空洞）的規模、深度和密度。
• 資料收集：
  • 儀器： 使用高精度重力儀（如絕對重力儀、相對重力儀）。
  • 測點佈置： 在感興趣的區域內，按照一定的測線或網格佈置測量點。
  • 測量： 在每個測點記錄重力加速度值。同時需要記錄測點的位置（經緯度、高程）和時間。
• 資料處理：
  • 儀器修正： 零點漂移修正、潮汐修正。
  • 外部因素修正：
    • 緯度修正： 消除因地球自轉和非均勻體形引起的緯度效應。
    • 高度修正： 包括自由空間修正（離地心變遠）和布格修正（下方介質引力）。

本題要求解釋四個地球物理學中的重要名詞或觀念。

(a) 地震學之震源機制 (Focal Mechanism)

• 定義： 震源機制是指地震發生時，斷層破裂的運動學參數，包括斷層的傾角 (dip)、走向 (strike) 和滑動角 (rake)。它描述了地震斷層的幾何形狀以及在破裂過程中岩石塊體的相對運動方向。
• 意義與應用：
  • 了解構造應力場： 通過分析區域內大量地震的震源機制，可以反演出該區域地殼的應力狀態，例如主壓應力 ( $\sigma_1$ ) 和主張應力 ( $\sigma_3$ ) 的方向。
  • 斷層類型判斷： 根據滑動角，可以判斷地震斷層的類型，如正斷層 (normal fault)、逆斷層 (reverse fault) 或走滑斷層 (strike-slip fault)。
  • 地震成因分析： 幫助理解地震發生的構造背景和驅動力。
  • 地震危險性評估： 了解斷層的運動方式對評估未來地震風險至關重要。
• 獲取方法： 主要通過分析地震波（特別是P波的初動方向和S波的偏振方向）在地表各個方位記錄的特徵來確定。常以「雙力偶模型」(Double Couple Model) 來表示。

【答案】
震源機制是描述地震斷層的幾何形狀（走向、傾角）和運動方式（滑動角）的參數，用於推斷地殼應力場和斷層類型。

(b) 震測法的共同中點重合 (Common Midpoint Stack, CMP Stack)

• 定義： CMP Stack 是陸地地震勘探中一種重要的數據疊加處理技術。在傳統的單炮多檢地震記錄中，對於同一個地下反射點，不同偏移距的地震記錄會被記錄下來。CMP Stack 的核心思想是，將具有「相同地下反射點之中點」的地震記錄組合起來進行疊加。
• 原理：
  • 在陸地地震勘探中，通常採用「共炮點 (Common Shot Point, CSP)」或「共接收點 (Common Receiver Point, CRP)」的記錄方式。
  • CMP 的概念是，當一個地震波從地下某一點反射（或折射）到地表的多個接收點時，這些接收點與震源點的「中點」在地表上的位置是相同的（或非常接近）。這個中點就被稱為「共同中點」。
  • CMP Stack 將所有具有相同 CMP 位置的地震道（來自同一地下反射點的多條記錄）進行疊加。
• 意義與應用：
  • 提高信噪比： 疊加過程可以有效壓制隨機噪聲，增強來自同一地下點的真實反射信號。
  • 提高分辨率： 疊加後的記錄信號更清晰，有助於分辨更細微的地質結構。
  • 速度分析： CMP 疊加的前提是準確的速度模型。在 CMP 疊加的過程中，可以通過分析不同偏移距的反射波走時曲線（稱為速度譜或semblance圖）來進行精確的速度分析，從而獲得地下介質的速度結構。
  • 偏移成像基礎： 準確的速度結構是進行地震數據偏移成像的關鍵。
• CMP 的概念： 簡單來說，CMP 疊加就是把從同一個地下點發出的、經過不同路徑（不同偏移距）回到地表的地震波數據，在進行適當的速度校正後，疊加在一起。

【答案】
CMP Stack 是地震勘探中將來自同一地下反射點（其震源和接收點中點相同）的多條地震記錄進行疊加，以提高信噪比、分辨率，並為速度分析和偏移成像提供基礎的數據處理技術。

(c) 大地電磁法之原理 (Magneto-Telluric Method, MT)

本題是一個典型的物理學問題，但看似是運動場景，實際上考驗的是平均速度的計算概念，特別是需要區分「平均速度」與「平均時速」在不同情境下的應用。題目所問的「平均時速」實際上是指「平均速率」，但由於運動軌跡是連續且有方向的，我們也需要考慮位移。

核心概念： 平均速度、平均速率、位移、路徑長。

題目描述了宮城從後場底線接球到前場上籃得分的整個過程，並給出了兩個階段的速度：

1. 從後場底線到中線：速度為 10 公里/小時。
2. 從中線到前場上籃：速度為 25 公里/小時。

關鍵問題： 我們不知道這兩個階段所經過的「距離」是多少。籃球場的尺寸是固定的，但題目沒有給出具體數值。

假設與推導：

由於題目沒有給出距離，我們無法精確計算出平均時速。然而，這類問題在考試中通常有其設計意圖。我們可以從以下幾個角度思考：

1. 平均速度 vs. 平均速率：

   • 平均速度 $=\frac{\text{總位移}}{\text{總時間}}$。位移是起點到終點的直線距離和方向。
   • 平均速率 $=\frac{\text{總路徑長}}{\text{總時間}}$。路徑長是運動軌跡的總長度。
     題目問「平均時速」，通常指的是平均速率。

2. 運動學方程：

   • 設從後場底線到中線的距離為 $d_1$，時間為 $t_1$。

   • 設從中線到前場的距離為 $d_2$，時間為 $t_2$。

   • 根據題目，我們有：
     $v_1 = \frac{d_1}{t_1} = 10 \, \text{km/h}$
     $v_2 = \frac{d_2}{t_2} = 25 \, \text{km/h}$

   • 總路徑長 $L = d_1 + d_2$。

   • 總時間 $T = t_1 + t_2$。

   • 平均速率 $= \frac{L}{T} = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}$。

3. 問題的關鍵點： 我們不知道 $d_1$ 和 $d_2$ 的具體數值。籃球場的長度標準為 28 公尺（94 英尺）。

   • 底線到中線的距離大約是籃球場長度的一半。
   • 中線到籃下的距離，根據進攻的路線，可能也接近半個場地長度。

   如果我們假設：

   • 籃球場長度為 $D$。
   • 從後場底線到中線的距離 $d_1 \approx D/2$。
   • 從中線到前場（籃下）的距離 $d_2 \approx D/2$。
   • 那麼總路徑長 $L = d_1 + d_2 \approx D$。

   但是，我們仍然不知道 $t_1$ 和 $t_2$。
   $t_1 = d_1 / v_1 \approx (D/2) / 10$
   $t_2 = d_2 / v_2 \approx (D/2) / 25$

   平均速率 $= \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2} = \frac{D/2 + D/2}{(D/2)/10 + (D/2)/25} = \frac{D}{D/20 + D/50} = \frac{1}{1/20 + 1/50}$
   $= \frac{1}{(5+2)/100} = \frac{100}{7} \approx 14.28 \, \text{km/h}$

   這個計算的前提是假設兩個階段的距離相等。

4. 另一種解釋： 有時這類問題是想考驗學生對「平均」的理解。如果給定的速度是「瞬間速度」，而我們需要計算「平均速度」，那麼必須知道總位移和總時間。

5. 題目敘述的陷阱： 「從後場底線接球後以10公里時速運球到中線，然後藉由櫻木在中線的一次擋人，忽然加速到時速25公里，就這樣閃過防守者，直奔前場籃下後上籃得分。」

   • 「接球」到「運球到中線」是一個階段。
   • 「在中線」經過擋人後「忽然加速」到 25 公里/小時，並「直奔前場籃下」。
   • 「上籃得分」是終點。

   這個描述暗示了兩個速度階段。

標準解法（若假設距離相等）：