111 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《地球物理學》

核心觀念

本題考查地球內部的自壓縮模型，以及如何利用地震波速度反推出密度梯度。關鍵關係有三個：

1. 體波速度與材料彈性參數的關係

$$V_p^2=\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}$$ $$V_s^2=\frac{\mu}{\rho}$$

2. 靜力平衡，即壓力梯度由重力造成

$$\frac{dP}{dr}=-\rho g(r)$$

其中 $P$ 為壓力，$r$ 為地心距離，$g(r)$ 為半徑 $r$ 處的重力加速度。

3. 等熵壓縮條件

體積模數定義為

$$K=\rho\frac{dP}{d\rho}$$

因此

$$\frac{d\rho}{dP}=\frac{\rho}{K}$$

本題的第三個方程式，正是由這三項關係結合而成的 Adams–Williamson 方程式。

---

解題方法

將地球視為由許多無限薄的球殼組成，先求半徑 $r$ 處的重力，再利用靜力平衡與體積模數定義推導密度梯度。

設半徑 $r$ 以內的質量為 $M(r)$。根據萬有引力定律，半徑 $r$ 處的重力加速度為

$$g(r)=\frac{G M(r)}{r^2}$$

其中 $G$ 為萬有引力常數。

對一個位於半徑 $r$、厚度 $dr$ 的無限薄球殼，若其密度為 $\rho(r)$，則壓力隨半徑增加而降低。球殼的靜力平衡給出

$$\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)$$

代入重力加速度：

$$\frac{dP}{dr} = -\rho(r)\frac{G M(r)}{r^2}$$

這是地球內部的流體靜力平衡方程式。

另一方面，體積模數定義為

$$K=\rho\frac{dP}{d\rho}$$

因此

$$\frac{dP}{d\rho}=\frac{K}{\rho}$$

取倒數可得

$$\frac{d\rho}{dP}=\frac{\rho}{K}$$

利用鏈鎖律，

$$\frac{d\rho}{dr} = \frac{d\rho}{dP}\frac{dP}{dr}$$

代入上述兩式：

$$\frac{d\rho}{dr} = \frac{\rho}{K} \left( -\rho\frac{G M(r)}{r^2} \right)$$

整理為

$$\frac{d\rho}{dr} = -\frac{\rho^2 G M(r)}{K r^2}$$

接著由 $P$ 波與 $S$ 波速度關係消去 $K$ 與 $\mu$。

由

$$V_p^2=\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}$$

以及

$$V_s^2=\frac{\mu}{\rho}$$

可得

$$\frac{4}{3}V_s^2 = \frac{\frac{4}{3}\mu}{\rho}$$

兩式相減：

$$V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2 = \frac{K}{\rho}$$

定義

$$\Phi = V_p^2-\frac{4}{3}V_s^2 = \frac{K}{\rho}$$

因此

$$K=\rho\Phi$$

代回密度梯度方程式：

本題包含兩個部分，(a)討論地震規模的性質，(b)比較不同震度計算方法。這兩部分都與地震學的基本概念有關。

(a) 芮氏地震規模 (Richter Magnitude, $M_L$) 是否可能為0或負值？其意義為何？

核心觀念： 地震規模是一種對數標度，用於量化地震釋放的能量大小。其定義基於地震儀記錄的地震波振幅，並考慮了地震波隨距離衰減的效應。

解題思路：
芮氏規模 $M_L$ 的定義通常是基於特定類型地震儀（Wood-Anderson 扭力地震儀）在特定距離（例如 100 公里）記錄的最大水平地面位移振幅。其公式為：
$M_L = \log_{10} A - \log_{10} A_0(\Delta)$
其中，$A$ 是地面振動的最大振幅（通常以微米為單位），$\Delta$ 是震源到測站的距離（以公里為單位），而 $A_0(\Delta)$ 是一個與距離相關的衰減函數。

1. 對數標度： 規模是 log 標度。這意味著規模每增加 1，振幅（或能量）就增加約 10 倍（或 32 倍）。
2. 振幅 $A$： 這是地震儀記錄的實際值。
3. 衰減函數 $A_0(\Delta)$： 地震波能量會隨著距離增加而衰減，這個函數描述了這種衰減。

可能性：

• 可能為 0 或負值： 是的，芮氏規模有可能為 0 或負值。
  • 原因： 如果一個地震釋放的能量非常小，以至於其記錄的地震波振幅 $A$ 非常小，當與衰減函數 $A_0(\Delta)$ 比較時，其對數值可能會是負的。例如，如果 $\log_{10} A < \log_{10} A_0(\Delta)$，則 $M_L$ 為負值。
  • 舉例： 許多微小的、人類幾乎無法感知的地震（微震）就可能具有負的芮氏規模。這代表了非常小的能量釋放。

意義：

• 規模為 0： 表示地震的振幅與特定距離下的標準衰減振幅相同。
• 規模為負值： 表示地震的振幅比特定距離下的標準衰減振幅還要小。這代表了非常微弱的地震活動，通常只有高靈敏度的地震儀才能偵測到。

總結 (a)： 芮氏規模是採用對數尺度，其計算涉及地震波振幅和距離衰減。當地震非常微弱，導致記錄的振幅很小時，其計算結果可能為零或負值。這代表著非常小的能量釋放，通常是人類無法直接感受到的微震。

(b) 中央氣象局目前的震度計算方法及其與舊方法的不同

核心觀念： 地震震度 (Seismic Intensity) 是描述地震在特定地點對地面、建築物和人類造成的影響程度，它與地震的能量（規模）和距離有關，但更直接反映了地面運動的「加速度」或「速度」的峰值。

解題思路：
台灣在 2020 年 1 月 1 日起，中央氣象局（現為中央氣象署）採用了基於「地表水平向最大加速度」（Peak Ground Acceleration, PGA）的新版地震震度分級表。舊版則主要基於「地震波的周期」和「地面振動的加速度或速度」。

目前的震度計算方法（新版，自 2020 年 1 月 1 日起）：

1. 核心指標： 地表水平向最大加速度 (PGA)。
2. 計算方式：
   • 由地震儀記錄的地震波形資料，計算出地表在每個測站的水平向最大加速度值 (PGA)。
   • 將計算出的 PGA 值，對應到新的震度分級表。
3. 震度分級表（簡述）：
   • 震度 0 級：PGA < 0.8 cm/s² (或 8 gal)

本題考查古地磁學中的幾個重要名詞解釋，包括居里溫度、熱殘磁、沈積殘磁和化學殘磁。這些概念是理解地球磁場變化及其在地質記錄中保存機制的核心。

核心觀念： 磁性礦物在特定溫度和環境條件下，會獲得或記錄地磁場的資訊。這些記錄的形成機制和溫度條件是理解古地磁學的關鍵。

解題思路： 逐一解釋每個名詞的定義、形成條件和意義。

1. 居里溫度 (Curie Temperature, $T_C$)

   • 定義： 居里溫度是鐵磁性物質轉變為順磁性物質的臨界溫度。
   • 形成條件： 當溫度超過居里溫度時，物質的磁疇結構被熱能破壞，其強烈的鐵磁性消失，轉變為較弱的順磁性。反之，當順磁性物質冷卻至其居里溫度以下時，內部會形成磁疇，重新表現出鐵磁性，並傾向於沿外部磁場方向排列。
   • 意義： 在古地磁學中，居里溫度是判斷岩石磁性記錄形成溫度的重要指標。例如，熱殘磁的獲得與冷卻過程中的居里溫度密切相關。若岩石曾經歷溫度超過其磁性礦物的居里溫度，則原有的磁性記錄會被清除。

2. 熱殘磁 (Thermoremanent Magnetization, TRM)

   • 定義： 當鐵磁性岩石（如玄武岩）在超過其居里溫度後，於外部磁場中冷卻至居里溫度以下時，所獲得的磁性。
   • 形成條件：
     • 岩石必須含有鐵磁性礦物（如磁鐵礦 $Fe_3O_4$ 或鈦鐵礦 $FeTiO_3$）。
     • 岩石必須加熱到其居里溫度以上，使原有的磁性消失（退磁）。
     • 在溫度高於居里溫度時，岩石處於一個外部磁場（通常是當時的地磁場）中。
     • 然後，岩石在該外部磁場的作用下冷卻至居里溫度以下。在這個過程中，磁性礦物的磁疇會沿著外部磁場的方向排列，並在冷卻後被「凍結」下來，形成 TRM。
   • 意義： TRM 是最常見且最強的岩石磁性記錄之一，它能可靠地記錄形成時的地磁場方向和強度。因此，TRM 是研究古地磁場變化的重要依據。

本題包含兩個部分，(a)計算地球質量，(b)計算人與蘋果之間的萬有引力。這兩部分都涉及牛頓的萬有引力定律。

(a) 計算地球質量

核心觀念： 地球表面的重力加速度與地球質量、半徑及萬有引力常數有關。

解題思路：
我們知道地球表面的重力加速度 $g$ 可以由牛頓的萬有引力定律推導出來：
$F = G \frac{M_{Earth} m}{R_{Earth}^2}$
同時，根據牛頓第二運動定律，物體在重力作用下的加速度為 $g = F/m$。
因此，$g = G \frac{M_{Earth}}{R_{Earth}^2}$。
我們可以重新排列這個公式來計算地球質量 $M_{Earth}$：
$M_{Earth} = \frac{g R_{Earth}^2}{G}$

已知條件：

• 地球半徑 $R_{Earth} = 6370$ 公里 $= 6370 \times 10^3$ 米 $= 6.37 \times 10^6$ 米
• 重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
• 地球表面的重力加速度 $g$（此為常識性數值，若題目未給，通常取 $9.8 \, \text{m/s}^2$ 或 $9.81 \, \text{m/s}^2$。此處假設使用 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$）。

計算：
$M_{Earth} = \frac{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times (6.37 \times 10^6 \, \text{m})^2}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times (6.37)^2 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times 40.5769 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 59.62 \times 10^{23} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$

答案 (a)：
地球的質量約為 $5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$。

(b) 計算人與蘋果之間的萬有引力

核心觀念： 牛頓的萬有引力定律描述了兩個質點間的引力大小。

解題思路：
萬有引力定律公式為：
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中：

• $F$ 是兩個物體之間的引力。
• $G$ 是萬有引力常數。
• $m_1$ 和 $m_2$ 是兩個物體的質量。
• $r$ 是兩個物體質心之間的距離。

核心觀念

本題利用震測初達波的「走時—展距」圖，判斷水平雙層地層的波速與厚度。

• 直接波斜率：$\dfrac{1}{v_1}$

• 折射波斜率：$\dfrac{1}{v_2}$

• 臨界角 $i_c$ 滿足 Snell 定律：

  $\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$

• 折射波走時方程式：

  $t=t_i+\frac{x}{v_2}$

  其中 $t_i$ 為截距時間，且

  $t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}$

---

(a) 第一層與第二層波速

由圖可讀得：

• 第一段通過 $(0,0)$ 與 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$
• 第二段通過 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$ 與 $(200\ \text{m},70\ \text{ms})$

第一層波速

第一段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{50\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.5\ \text{ms/m} =5\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_1=\frac{1}{5\times10^{-4}} =2000\ \text{m/s}$$

第二層波速

第二段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{70-50}{200-100} =\frac{20\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.2\ \text{ms/m} =2\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_2=\frac{1}{2\times10^{-4}} =5000\ \text{m/s}$$

---

(b) 第一層地層厚度

第二段折射波直線的截距時間可由圖求得：

$$t_i=50\ \text{ms} -\left(0.2\ \text{ms/m}\right)(100\ \text{m}) =30\ \text{ms}$$

先由 Snell 定律求臨界角的餘弦值：

核心觀念

本題使用地震矩與震矩規模的關係：

$$M_0=\mu A D$$

其中：

• $M_0$：地震矩，單位為 $\mathrm{dyne\cdot cm}$
• $\mu$：剪切模數，$\mu=4\times10^{11}\ \mathrm{dyne/cm^2}$
• $A$：破裂斷層面積
• $D$：斷層平均錯動量

震矩規模公式為：

$$M_w=\log_{10}M_0-10.7$$

正斷層的錯動方向沿斷層面，因此垂直方向的下降量為：

$$H=D\sin\delta$$

其中 $\delta$ 為斷層面傾角。

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解題方法與合理假設

題目給定富士山高度為 $3800\ \mathrm{m}$，且富士山剛好完全沒入海中，因此日本地塊的垂直下降量取為：

$$H=3800\ \mathrm{m}$$

由於傾角 $\delta=45^\circ$，斷層面上的錯動量為：

$$D=\frac{H}{\sin45^\circ} =\frac{3800}{0.7071} \approx5374\ \mathrm{m}$$

題目未直接提供斷層的破裂寬度。依「大陸地殼完全斷裂」的理想化設定，取垂直破裂尺度同樣為 $3800\ \mathrm{m}$，則沿傾斜斷層面的破裂寬度為：

$$W=\frac{3800}{\sin45^\circ} \approx5374\ \mathrm{m}$$

此為本題計算斷層面積所需的合理假設。

---

計算斷層面積

斷層長度：

$$L=1300\ \mathrm{km} =1300\times10^5\ \mathrm{cm} =1.30\times10^8\ \mathrm{cm}$$

斷層面寬度：

$$W=5374\ \mathrm{m} =5.374\times10^5\ \mathrm{cm}$$

本題考驗對地球內部結構與物理性質關係的理解，特別是重力、壓力、密度、彈性模數之間的關聯，以及如何從基本物理定律推導出描述地球結構的方程式。核心概念是靜力平衡、重力勢能、以及彈性體的應力-應變關係。

解題思路：
Adams-Williamson 方程式描述的是地球內部壓力隨半徑的變化率，其推導過程需要結合靜力平衡條件、重力定律以及彈性模數的定義。

1. 定義參數與關係式：

   • P波速度 $V_p = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$
   • S波速度 $V_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$
   • 其中 $K$ 是體積模數，$\mu$ 是剪切模數，$\rho$ 是密度。
   • 題目給出參數 $\Phi = V_p^2 - \frac{4}{3}V_s^2$。
   • 我們推導 $\Phi$ 與 $K$ 的關係：
     $V_p^2 = \frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}$
     $V_s^2 = \frac{\mu}{\rho}$
     $\Phi = V_p^2 - \frac{4}{3}V_s^2 = \frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho} - \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho} = \frac{K}{\rho}$。
     因此，$\Phi = K/\rho$，或 $K = \rho \Phi$。

2. 靜力平衡條件：
   考慮地球內部一個半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的無限薄殼層。

   • 殼層承受內外壓力差，導致壓力梯度 $\frac{dp}{dr}$。
   • 殼層自身的質量在重力作用下產生向內的力。
   • 在標準的靜力平衡下，壓力梯度與重力加速度的關係為：$\frac{dp}{dr} = -\rho(r) g(r)$。
   • 其中 $g(r)$ 是半徑 $r$ 處的重力加速度，$g(r) = \frac{GM(r)}{r^2}$，$M(r)$ 是半徑 $r$ 以內的總質量，$G$ 是重力常數。
   • 因此，標準靜力平衡方程式為：$\frac{dp}{dr} = -\rho(r) \frac{GM(r)}{r^2}$。

3. 推導題目給定的 Adams-Williamson 方程式：
   題目要求推導的方程式為：
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + \rho(r)r^2\Phi}{r^2\Phi}$
   這個方程式的形式與標準的靜力平衡方程式不同。它可能是在「自壓縮模型」下，考慮了除了重力之外的其他因素，或者是一個特定形式的表達。
   我們將 $\Phi = K/\rho$ 代入題目給定的方程式，以化簡和理解其形式：
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + \rho r^2 (K/\rho)}{r^2 (K/\rho)}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + r^2 K}{r^2 K/\rho}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{\rho(GM\rho + r^2 K)}{r^2 K}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \frac{r^2 K \rho}{r^2 K}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \rho$

4. 物理意義的討論：

   • 推導出的形式 $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \rho$ 顯示了壓力梯度與重力 ($GM\rho^2/r^2$)、密度 ($\rho$) 以及體積模數 ($K$) 的關係。
   • 第一項 $\frac{GM\rho^2}{r^2 K}$ 與重力相關，其中 $K$ 在分母，表示較大的體積模數（較硬的材料）會減小該項的影響。
   • 第二項 $+\rho$ 是密度本身。
   • 標準靜力平衡方程式 $\frac{dp}{dr} = -\rho \frac{GM}{r^2}$ 顯示壓力隨半徑增加而減小（即向內壓力梯度為負）。

本題考驗對地球內部結構與物理性質關係的理解，特別是重力、壓力、密度、彈性模數之間的關聯，以及如何從基本物理定律推導出描述地球結構的方程式。核心概念是靜力平衡、重力勢能、以及彈性體的應力-應變關係。

解題思路：
Adams-Williamson 方程式描述的是地球內部壓力隨半徑的變化率，其推導過程需要結合靜力平衡條件、重力定律以及彈性模數的定義。

1. 定義參數與關係式：

   • P波速度 $V_p = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$
   • S波速度 $V_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$
   • 其中 $K$ 是體積模數，$\mu$ 是剪切模數，$\rho$ 是密度。
   • 題目給出參數 $\Phi = V_p^2 - \frac{4}{3}V_s^2$。
   • 我們推導 $\Phi$ 與 $K$ 的關係：
     $V_p^2 = \frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}$
     $V_s^2 = \frac{\mu}{\rho}$
     $\Phi = V_p^2 - \frac{4}{3}V_s^2 = \frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho} - \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho} = \frac{K}{\rho}$。
     因此，$\Phi = K/\rho$，或 $K = \rho \Phi$。

2. 靜力平衡條件：
   考慮地球內部一個半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的無限薄殼層。

   • 殼層承受內外壓力差，導致壓力梯度 $\frac{dp}{dr}$。
   • 殼層自身的質量在重力作用下產生向內的力。
   • 在標準的靜力平衡下，壓力梯度與重力加速度的關係為：$\frac{dp}{dr} = -\rho(r) g(r)$。
   • 其中 $g(r)$ 是半徑 $r$ 處的重力加速度，$g(r) = \frac{GM(r)}{r^2}$，$M(r)$ 是半徑 $r$ 以內的總質量，$G$ 是重力常數。
   • 因此，標準靜力平衡方程式為：$\frac{dp}{dr} = -\rho(r) \frac{GM(r)}{r^2}$。

3. 推導題目給定的 Adams-Williamson 方程式：
   題目要求推導的方程式為：
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + \rho(r)r^2\Phi}{r^2\Phi}$
   這個方程式的形式與標準的靜力平衡方程式不同。它可能是在「自壓縮模型」下，考慮了除了重力之外的其他因素，或者是一個特定形式的表達。
   我們將 $\Phi = K/\rho$ 代入題目給定的方程式，以化簡和理解其形式：
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + \rho r^2 (K/\rho)}{r^2 (K/\rho)}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho + r^2 K}{r^2 K/\rho}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{\rho(GM\rho + r^2 K)}{r^2 K}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \frac{r^2 K \rho}{r^2 K}$
   $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \rho$

4. 物理意義的討論：

   • 推導出的形式 $\frac{dp}{dr} = \frac{GM\rho^2}{r^2 K} + \rho$ 顯示了壓力梯度與重力 ($GM\rho^2/r^2$)、密度 ($\rho$) 以及體積模數 ($K$) 的關係。
   • 第一項 $\frac{GM\rho^2}{r^2 K}$ 與重力相關，其中 $K$ 在分母，表示較大的體積模數（較硬的材料）會減小該項的影響。
   • 第二項 $+\rho$ 是密度本身。
   • 標準靜力平衡方程式 $\frac{dp}{dr} = -\rho \frac{GM}{r^2}$ 顯示壓力隨半徑增加而減小（即向內壓力梯度為負）。

本題包含兩個部分，(a)計算地球質量，(b)計算人與蘋果之間的萬有引力。這兩部分都涉及牛頓的萬有引力定律。

(a) 計算地球質量

核心觀念： 地球表面的重力加速度與地球質量、半徑及萬有引力常數有關。

解題思路：
我們知道地球表面的重力加速度 $g$ 可以由牛頓的萬有引力定律推導出來：
$F = G \frac{M_{Earth} m}{R_{Earth}^2}$
同時，根據牛頓第二運動定律，物體在重力作用下的加速度為 $g = F/m$。
因此，$g = G \frac{M_{Earth}}{R_{Earth}^2}$。
我們可以重新排列這個公式來計算地球質量 $M_{Earth}$：
$M_{Earth} = \frac{g R_{Earth}^2}{G}$

已知條件：

• 地球半徑 $R_{Earth} = 6370$ 公里 $= 6370 \times 10^3$ 米 $= 6.37 \times 10^6$ 米
• 重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
• 地球表面的重力加速度 $g$（此為常識性數值，若題目未給，通常取 $9.8 \, \text{m/s}^2$ 或 $9.81 \, \text{m/s}^2$。此處假設使用 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$）。

計算：
$M_{Earth} = \frac{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times (6.37 \times 10^6 \, \text{m})^2}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times (6.37)^2 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times 40.5769 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 59.62 \times 10^{23} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$

答案 (a)：
地球的質量約為 $5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$。

(b) 計算人與蘋果之間的萬有引力

核心觀念： 牛頓的萬有引力定律描述了兩個質點間的引力大小。

解題思路：
萬有引力定律公式為：
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中：

• $F$ 是兩個物體之間的引力。
• $G$ 是萬有引力常數。
• $m_1$ 和 $m_2$ 是兩個物體的質量。
• $r$ 是兩個物體質心之間的距離。

核心觀念

本題利用震測初達波的「走時—展距」圖，判斷水平雙層地層的波速與厚度。

• 直接波斜率：$\dfrac{1}{v_1}$

• 折射波斜率：$\dfrac{1}{v_2}$

• 臨界角 $i_c$ 滿足 Snell 定律：

  $\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$

• 折射波走時方程式：

  $t=t_i+\frac{x}{v_2}$

  其中 $t_i$ 為截距時間，且

  $t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}$

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(a) 第一層與第二層波速

由圖可讀得：

• 第一段通過 $(0,0)$ 與 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$
• 第二段通過 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$ 與 $(200\ \text{m},70\ \text{ms})$

第一層波速

第一段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{50\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.5\ \text{ms/m} =5\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_1=\frac{1}{5\times10^{-4}} =2000\ \text{m/s}$$

第二層波速

第二段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{70-50}{200-100} =\frac{20\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.2\ \text{ms/m} =2\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_2=\frac{1}{2\times10^{-4}} =5000\ \text{m/s}$$

---

(b) 第一層地層厚度

第二段折射波直線的截距時間可由圖求得：

$$t_i=50\ \text{ms} -\left(0.2\ \text{ms/m}\right)(100\ \text{m}) =30\ \text{ms}$$

先由 Snell 定律求臨界角的餘弦值：

本題包含兩個部分，(a)計算地球質量，(b)計算人與蘋果之間的萬有引力。這兩部分都涉及牛頓的萬有引力定律。

(a) 計算地球質量

核心觀念： 地球表面的重力加速度與地球質量、半徑及萬有引力常數有關。

解題思路：
我們知道地球表面的重力加速度 $g$ 可以由牛頓的萬有引力定律推導出來：
$F = G \frac{M_{Earth} m}{R_{Earth}^2}$
同時，根據牛頓第二運動定律，物體在重力作用下的加速度為 $g = F/m$。
因此，$g = G \frac{M_{Earth}}{R_{Earth}^2}$。
我們可以重新排列這個公式來計算地球質量 $M_{Earth}$：
$M_{Earth} = \frac{g R_{Earth}^2}{G}$

已知條件：

• 地球半徑 $R_{Earth} = 6370$ 公里 $= 6370 \times 10^3$ 米 $= 6.37 \times 10^6$ 米
• 重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
• 地球表面的重力加速度 $g$（此為常識性數值，若題目未給，通常取 $9.8 \, \text{m/s}^2$ 或 $9.81 \, \text{m/s}^2$。此處假設使用 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$）。

計算：
$M_{Earth} = \frac{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times (6.37 \times 10^6 \, \text{m})^2}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times (6.37)^2 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times 40.5769 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 59.62 \times 10^{23} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$

答案 (a)：
地球的質量約為 $5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$。

(b) 計算人與蘋果之間的萬有引力

核心觀念： 牛頓的萬有引力定律描述了兩個質點間的引力大小。

解題思路：
萬有引力定律公式為：
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中：

• $F$ 是兩個物體之間的引力。
• $G$ 是萬有引力常數。
• $m_1$ 和 $m_2$ 是兩個物體的質量。
• $r$ 是兩個物體質心之間的距離。

核心觀念

本題利用震測初達波的「走時—展距」圖，判斷水平雙層地層的波速與厚度。

• 直接波斜率：$\dfrac{1}{v_1}$

• 折射波斜率：$\dfrac{1}{v_2}$

• 臨界角 $i_c$ 滿足 Snell 定律：

  $\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$

• 折射波走時方程式：

  $t=t_i+\frac{x}{v_2}$

  其中 $t_i$ 為截距時間，且

  $t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}$

---

(a) 第一層與第二層波速

由圖可讀得：

• 第一段通過 $(0,0)$ 與 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$
• 第二段通過 $(100\ \text{m},50\ \text{ms})$ 與 $(200\ \text{m},70\ \text{ms})$

第一層波速

第一段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{50\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.5\ \text{ms/m} =5\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_1=\frac{1}{5\times10^{-4}} =2000\ \text{m/s}$$

第二層波速

第二段斜率為

$$\frac{\Delta t}{\Delta x} =\frac{70-50}{200-100} =\frac{20\ \text{ms}}{100\ \text{m}} =0.2\ \text{ms/m} =2\times10^{-4}\ \text{s/m}$$

因此

$$v_2=\frac{1}{2\times10^{-4}} =5000\ \text{m/s}$$

---

(b) 第一層地層厚度

第二段折射波直線的截距時間可由圖求得：

$$t_i=50\ \text{ms} -\left(0.2\ \text{ms/m}\right)(100\ \text{m}) =30\ \text{ms}$$

先由 Snell 定律求臨界角的餘弦值：

本題包含兩個部分，(a)計算地球質量，(b)計算人與蘋果之間的萬有引力。這兩部分都涉及牛頓的萬有引力定律。

(a) 計算地球質量

核心觀念： 地球表面的重力加速度與地球質量、半徑及萬有引力常數有關。

解題思路：
我們知道地球表面的重力加速度 $g$ 可以由牛頓的萬有引力定律推導出來：
$F = G \frac{M_{Earth} m}{R_{Earth}^2}$
同時，根據牛頓第二運動定律，物體在重力作用下的加速度為 $g = F/m$。
因此，$g = G \frac{M_{Earth}}{R_{Earth}^2}$。
我們可以重新排列這個公式來計算地球質量 $M_{Earth}$：
$M_{Earth} = \frac{g R_{Earth}^2}{G}$

已知條件：

• 地球半徑 $R_{Earth} = 6370$ 公里 $= 6370 \times 10^3$ 米 $= 6.37 \times 10^6$ 米
• 重力常數 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
• 地球表面的重力加速度 $g$（此為常識性數值，若題目未給，通常取 $9.8 \, \text{m/s}^2$ 或 $9.81 \, \text{m/s}^2$。此處假設使用 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$）。

計算：
$M_{Earth} = \frac{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times (6.37 \times 10^6 \, \text{m})^2}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times (6.37)^2 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} = \frac{9.8 \times 40.5769 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 59.62 \times 10^{23} \, \text{kg}$
$M_{Earth} \approx 5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$

答案 (a)：
地球的質量約為 $5.96 \times 10^{24} \, \text{kg}$。

(b) 計算人與蘋果之間的萬有引力

核心觀念： 牛頓的萬有引力定律描述了兩個質點間的引力大小。

解題思路：
萬有引力定律公式為：
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
其中：

• $F$ 是兩個物體之間的引力。
• $G$ 是萬有引力常數。
• $m_1$ 和 $m_2$ 是兩個物體的質量。
• $r$ 是兩個物體質心之間的距離。