111 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《普通物理學》

此題考驗對位移、平均速度、平均速率等基本運動學概念的理解。

(1) 前2小時的位移
位移是從起始點到結束點的直線距離與方向。甲生在最初的2小時內，從學校出發向南騎了50公里。因此，2小時後的位移就是向南50公里。
【答案】向南 50 公里

(2) 前2小時的平均速度
平均速度定義為總位移除以總時間。
$\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
在最初的2小時內，位移是向南50公里，時間是2小時。
$\vec{v}_{avg} = \frac{50 \text{ km (South)}}{2 \text{ h}} = 25 \text{ km/h (South)}$
【答案】25 公里/小時 (向南)

(3) 回程的平均速度
回程是指從最遠點（向南50公里處）騎回學校。整個路程是50公里，時間是1.5小時。
$\vec{v}_{avg, return} = \frac{\Delta \vec{r}_{return}}{\Delta t_{return}}$

此題考驗對運動學中位移、速度、加速度的關係，以及利用微積分求極值的應用。

給定高度 $y$ 與時間 $t$ 的關係式為 $y(t) = 95.0t - 5.0t^2$。

(1) 該模型火箭速度之時間函數
速度是位移對時間的一階導數。
$v(t) = \frac{dy}{dt}$
$v(t) = \frac{d}{dt}(95.0t - 5.0t^2)$
$v(t) = 95.0 - 5.0 \times (2t)$
$v(t) = 95.0 - 10.0t$
【答案】$v(t) = 95.0 - 10.0t$ (公尺/秒)

(2) 何時速度為零
將速度函數 $v(t)$ 設定為零，求解 $t$。
$v(t) = 0$
$95.0 - 10.0t = 0$
$10.0t = 95.0$
$t = \frac{95.0}{10.0} = 9.5$ 秒
【答案】9.5 秒

此題考驗對自由落體運動的運動學方程式的掌握。自由落體運動是等加速度直線運動的一種特殊情況，其加速度為重力加速度 $g$。

我們假設：

• 起始時間 $t=0$。
• 起始位置為高度 $H$。
• 起始速度 $v_0 = 0$ (因為是自由落下)。
• 重力加速度 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$。

為了方便表示，我們將座標原點設在物體開始下落的點（離地高度 $H$ 處），並定義向下為正方向。
則加速度 $a = g = 9.8 \, \text{m/s}^2$。

位移隨時間的變化
對於等加速度直線運動，位移 $\Delta y$ 與時間 $t$ 的關係式為：
$\Delta y(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
由於 $v_0 = 0$ 且 $a = g$，則：
$\Delta y(t) = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$
$\Delta y(t) = \frac{1}{2} g t^2$
這個 $\Delta y(t)$ 表示物體從起始點 (高度 $H$ 處) 開始下落後 $t$ 秒內向下移動的距離。

若我們將地面定義為 $y=0$，則起始高度為 $y_0 = H$。此時，物體在時間 $t$ 的位置 $y(t)$ 為：
$y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
$y(t) = H + 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$
$y(t) = H + \frac{1}{2} g t^2$
這個方程式描述了物體從高度 $H$ 處自由落下，在時間 $t$ 時離地面的高度。

速度隨時間的變化
對於等加速度直線運動，速度 $v$ 與時間 $t$ 的關係式為：
$v(t) = v_0 + a t$

此題考驗牛頓第二運動定律 $F=ma$ 的應用，特別是在處理火箭發射時的合力問題。

首先，我們要釐清題目給的「總重量」單位是公斤 (kg)，這通常指的是質量 (mass)，而不是力 (weight)。在物理學中，重量是質量乘以重力加速度。

已知：

• 火箭的質量 $m = 8 \times 10^5$ kg
• 火箭的推力 $F_{thrust} = 9.8 \times 10^6 \, \text{N}$ (向上)
• 重力加速度 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$

我們要計算火箭的初始加速度。根據牛頓第二運動定律，合力等於質量乘以加速度：
$F_{net} = m a$

火箭受到的力有兩個：

1. 推力 (Thrust)：這是火箭引擎產生的向上的力，大小為 $F_{thrust} = 9.8 \times 10^6 \, \text{N}$。
2. 重力 (Gravity)：這是地球對火箭的吸引力，大小為 $W = m g$。

首先計算重力的大小：
$W = m g = (8 \times 10^5 \, \text{kg}) \times (9.8 \, \text{m/s}^2)$

此題考驗對圓周運動中向心加速度的理解，以及向量的減法應用。

時鐘的秒針和分針都在做近似的圓周運動。我們需要分別計算它們尖端的向心加速度，然後計算兩者加速度向量的差值。

已知：

• 秒針長度 (半徑) $r_s = 12.0 \, \text{cm} = 0.120 \, \text{m}$
• 分針長度 (半徑) $r_m = 10.0 \, \text{cm} = 0.100 \, \text{m}$

1. 計算秒針尖端的加速度
秒針完成一圈需要 60 秒。
秒針的週期 $T_s = 60 \, \text{s}$。
秒針的角速度 $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60 \, \text{s}} = \frac{\pi}{30} \, \text{rad/s}$。
秒針尖端的向心加速度 $a_s$ 為：
$a_s = \omega_s^2 r_s = \left(\frac{\pi}{30} \, \text{rad/s}\right)^2 \times (0.120 \, \text{m})$
$a_s = \frac{\pi^2}{900} \, \text{s}^{-2} \times 0.120 \, \text{m} = \frac{0.120 \pi^2}{900} \, \text{m/s}^2 = \frac{12 \pi^2}{90000} \, \text{m/s}^2 = \frac{\pi^2}{7500} \, \text{m/s}^2$
$\pi^2 \approx 9.87$
$a_s \approx \frac{9.87}{7500} \, \text{m/s}^2 \approx 0.001316 \, \text{m/s}^2$

2. 計算分針尖端的加速度
分針完成一圈需要 60 分鐘 = $60 \times 60 = 3600$ 秒。
分針的週期 $T_m = 3600 \, \text{s}$。
分針的角速度 $\omega_m = \frac{2\pi}{T_m} = \frac{2\pi}{3600 \, \text{s}} = \frac{\pi}{1800} \, \text{rad/s}$。
分針尖端的向心加速度 $a_m$ 為：
$a_m = \omega_m^2 r_m = \left(\frac{\pi}{1800} \, \text{rad/s}\right)^2 \times (0.100 \, \text{m})$
$a_m = \frac{\pi^2}{1800^2} \, \text{s}^{-2} \times 0.100 \, \text{m} = \frac{0.100 \pi^2}{3240000} \, \text{m/s}^2 = \frac{\pi^2}{32400000} \, \text{m/s}^2$
$a_m \approx \frac{9.87}{32400000} \, \text{m/s}^2 \approx 3.046 \times 10^{-7} \, \text{m/s}^2$

3. 計算加速度差
向心加速度的方向永遠指向圓心。所以，秒針尖端的加速度向量 $\vec{a}_s$ 和分針尖端的加速度向量 $\vec{a}_m$ 的方向是相同的（都指向時鐘的圓心）。
因此，加速度的差值是兩者大小的差。
$|\Delta \vec{a}| = |a_s - a_m|$
由於 $a_s$ 遠大於 $a_m$ ($0.001316 \gg 3.046 \times 10^{-7}$)，所以 $a_m$ 的影響可以忽略不計，或者說，分針的加速度非常小。
$|\Delta \vec{a}| \approx a_s$

如果題目是要求「加速度的向量差」，則需要考慮特定時間點兩個指針的相對位置。但題目只問「加速度差」，通常是指兩者加速度大小之差，或是當兩者指向相同方向時的差值。由於題目未指定時間點，且向心加速度方向皆指向圓心，我們假設兩者方向相同時計算差值。

如果我們忽略分針的加速度（因為它非常小），則加速度差近似等於秒針的加速度。
$a_s \approx 0.001316 \, \text{m/s}^2 = 1.316 \times 10^{-3} \, \text{m/s}^2$

讓我們將結果轉換回 cm/s² 以便比較：
$a_s \approx 0.1316 \, \text{cm/s}^2$
$a_m \approx 3.046 \times 10^{-5} \, \text{cm/s}^2$

加速度差 $= a_s - a_m \approx 0.1316 \, \text{cm/s}^2$

此題考驗對電流密度、歐姆定律以及電阻率的理解。

已知：

• 最大額定電流 $I_{max} = 24 \, \text{A}$
• 最大允許電流密度 $J_{max} = 12 \, \text{MA/m}^2 = 12 \times 10^6 \, \text{A/m}^2$

(1) 銅線的直徑為何?
電流密度 $J$ 的定義為單位截面積的電流：
$J = \frac{I}{A}$
其中 $I$ 是電流， $A$ 是導體的截面積。
我們知道最大電流 $I_{max}$ 和最大電流密度 $J_{max}$，所以可以求出銅線的截面積 $A$：
$A = \frac{I_{max}}{J_{max}}$
$A = \frac{24 \, \text{A}}{12 \times 10^6 \, \text{A/m}^2} = \frac{24}{12} \times 10^{-6} \, \text{m}^2 = 2 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$

銅線是實心的圓柱形，所以截面積 $A$ 可以表示為：
$A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
其中 $r$ 是半徑，$d$ 是直徑。
現在我們可以用截面積來求直徑 $d$：
$\frac{\pi d^2}{4} = 2 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$
$d^2 = \frac{4 \times 2 \times 10^{-6} \, \text{m}^2}{\pi} = \frac{8 \times 10^{-6}}{\pi} \, \text{m}^2$
$d = \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{\pi}} \, \text{m} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \times 10^{-3} \, \text{m}$

此題考驗對速度選擇器原理的理解，即在電場和磁場同時作用下，只有特定速率的帶電粒子才能沿直線運動。

速度選擇器利用了電場力和磁場力之間的平衡。當帶電粒子進入速度選擇器時，它會同時受到電場力和磁場力的作用。為了讓粒子沿直線運動，這兩個力的大小必須相等，方向必須相反。

已知：

• 磁場強度 $B = 3 \, \text{mT} = 3 \times 10^{-3} \, \text{T}$
• 電場強度 $E = 36 \, \text{kN/C} = 36 \times 10^3 \, \text{V/C}$

假設帶電粒子帶電量為 $q$，速度為 $v$。
電場力 $F_E$ 的大小為：
$F_E = |q| E$
電場力的方向與電場方向相同（如果 $q>0$）或相反（如果 $q<0$）。

磁場力 $F_B$ 的大小為：
$F_B = |q| v B \sin \theta$
其中 $\theta$ 是速度向量 $\vec{v}$ 與磁場向量 $\vec{B}$ 之間的夾角。
題目說磁場「垂直於」電場，並且粒子要「筆直通過」，這意味著粒子運動的方向必須與電場和磁場的方向都有特定關係。

此題考驗法拉第電磁感應定律，即磁通量變化率產生感應電動勢（進而產生感應電流）。

已知：

• 迴路面積 $A = 240 \, \text{m}^2$
• 迴路電阻 $R = 37 \, \Omega$
• 感應電流 $I_{感應} = 36 \, \text{mA} = 36 \times 10^{-3} \, \text{A}$
• 面積與磁場垂直，表示磁通量 $\Phi_B = B A$，其中 $B$ 是磁場強度。

法拉第電磁感應定律指出，迴路中產生的感應電動勢 $\mathcal{E}$ 等於磁通量對時間的變化率的負值：
$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$

由於面積 $A$ 是常數，且磁場 $B$ 與面積垂直，磁通量變化率主要來自磁場 $B$ 的變化：
$\frac{d\Phi_B}{dt} = A \frac{dB}{dt}$

所以，感應電動勢為：
$\mathcal{E} = -A \frac{dB}{dt}$

根據歐姆定律，迴路中的感應電流 $I_{感應}$ 與感應電動勢 $\mathcal{E}$ 和迴路電阻 $R$ 的關係為：
$I_{感應} = \frac{|\mathcal{E}|}{R}$

此題考驗對一維簡諧波方程式的理解，包括如何從方程式中提取波的各種參數。

標準的一維行進波方程式通常寫成以下形式之一：
$y(x, t) = A \cos(kx \pm \omega t + \phi)$
或
$y(x, t) = A \sin(kx \pm \omega t + \phi)$

其中：

• $A$ 是震幅 (Amplitude)
• $k$ 是波数 (Wave number)，與波長 $\lambda$ 的關係為 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
• $\omega$ 是角頻率 (Angular frequency)，與週期 $T$ 和頻率 $f$ 的關係為 $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
• $\phi$ 是初相位 (Initial phase)
• 波速 $v$ 可以由 $v = \frac{\omega}{k}$ 或 $v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$ 計算。
• 方程式前面的正負號表示波的傳播方向：若為 $kx - \omega t$ (或 $kx + \omega t$ 形式，但 $x$ 係數為正)，表示波向 $x$ 負方向傳播；若為 $kx + \omega t$ (或 $kx - \omega t$ 形式，但 $x$ 係數為正)，表示波向 $x$ 正方向傳播。

給定的方程式是：$y = 2.5 \cos(2.0x + 3.0t)$。
我們將此方程式與標準形式 $y(x, t) = A \cos(kx + \omega t + \phi)$ 進行比較。

(1) 震幅 (Amplitude)
震幅 $A$ 是餘弦函數前面的係數。
從方程式 $y = 2.5 \cos(2.0x + 3.0t)$ 中，我們可以讀出震幅 $A = 2.5$ 公分。
【答案】2.5 公分

(2) 波長 (Wavelength)
波数 $k$ 是 $x$ 的係數。

此題考驗胡克定律以及牛頓第二運動定律在多物體系統上的應用。

系統由兩個鐵塊和一個連接它們的彈簧組成。當施加水平作用力時，整個系統會一起移動。由於不考慮摩擦力，系統將以恆定的加速度運動（除非作用力是瞬間施加的）。題目問的是「水平作用力的大小」，這暗示著系統可能處於加速狀態，我們需要找出這個作用力。

已知：

• 鐵塊 1 質量 $m_1 = 200 \, \text{kg}$ (較小質量)
• 鐵塊 2 質量 $m_2 = 300 \, \text{kg}$ (較大質量)
• 彈簧彈性常數 $k = 7 \, \text{kN/m} = 7000 \, \text{N/m}$
• 彈簧被壓縮量 $\Delta x = 6 \, \text{cm} = 0.06 \, \text{m}$
• 作用力施加在較小的鐵塊 (質量 $m_1$) 上。
• 不考慮摩擦力與彈簧質量。

當彈簧被壓縮（或伸長）時，它會產生一個彈力，試圖恢復到其自然長度。此彈力作用在兩個鐵塊上，方向相反。
彈簧力 $F_{spring}$ 的大小由胡克定律給出：
$F_{spring} = k |\Delta x|$
$F_{spring} = (7000 \, \text{N/m}) \times (0.06 \, \text{m}) = 420 \, \text{N}$

這個彈力作用在兩個鐵塊上。

• 對於質量為 $m_1$ 的鐵塊，彈簧在其右側，且被壓縮，所以彈簧對 $m_1$ 的力是向右（與壓縮方向相反）。
• 對於質量為 $m_2$ 的鐵塊，彈簧在其左側，且被壓縮，所以彈簧對 $m_2$ 的力是向左（與壓縮方向相反）。

題目說「以一水平作用力施加於質量較小的鐵塊, 使兩塊體在地板移動」。這個「水平作用力」是如何施加的，以及它與彈簧力的關係，是關鍵。

情況一：水平作用力是導致彈簧被壓縮的原因
通常，若要壓縮彈簧並使兩個物體移動，需要有一個外力作用。如果這個外力就是施加在 $m_1$ 上的力 $F_{ext}$，並且系統是靜止的（在壓縮彈簧的瞬間），那麼 $m_1$ 上的力平衡是：
$F_{ext} - F_{spring} = m_1 a$
$m_2$ 上的力平衡是：
$F_{spring} = m_2 a$

如果題目指的是「在壓縮彈簧並使系統開始移動的那個瞬間，施加的水平作用力是多少？」，那麼我們需要假設系統在某一瞬間被壓縮了，並且在那個瞬間，有某個外力 $F_{ext}$ 作用在 $m_1$ 上，而這個外力 $F_{ext}$ 導致了 $m_1$ 和 $m_2$ 一起運動，並且彈簧被壓縮。

如果題目是指「在彈簧被壓縮 6 公分時，系統正在運動，且此時的水平作用力是多少？」，並且假設這個作用力是維持系統移動的原因。
那麼，我們需要考慮整個系統的運動。
假設作用力 $F_{ext}$ 施加在 $m_1$ 上，且方向與 $F_{spring}$ 相同（例如，都向右），那麼系統的合力為 $F_{ext} + F_{spring}$。
如果作用力 $F_{ext}$ 施加在 $m_1$ 上，且方向與 $F_{spring}$ 相反（例如，$F_{ext}$ 向左，而 $F_{spring}$ 對 $m_1$ 是向右），那麼系統的合力為 $F_{ext} - F_{spring}$ (如果 $F_{ext}$ 向左)。

題目描述「以一水平作用力施加於質量較小的鐵塊, 使兩塊體在地板移動, 若移動時彈簧被壓縮 6 公分」。這通常意味著，我們是通過施加外力使系統移動，而彈簧被壓縮是這個移動過程中的一個狀態。